专题6.1 向量的概念与线性运算（考点清单，5个考点梳理+6题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题6.1 向量的概念与线性运算 【清单01】向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单02】向量的加法 （1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接” （2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点” （3）向量加法的运算律 ①交换律 ②结合律 【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则． ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 【清单03】向量减法 1．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量 【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b. 【清单04】向量的数乘 1. 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0（零向量！） λ<0 λa的方向与a的方向相反 2.几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 3.运算律 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa)＝ (λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 【清单05】向量的线性运算 1.向量加法与数乘的混合运算 λa＋μa＝(λ＋μ)a 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 【考点题型一】向量的有关概念 【例1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【变式1-1】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【变式1-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【变式1-4】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【考点题型二】向量的加法 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式2-3】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律： （1）； （2）． 向量，，是否满足该类运算律？ 【考点题型三】向量的减法 【例3】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【变式3-1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（多选）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【考点题型四】数乘向量 【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【变式4-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【变式4-3】（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 【变式4-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 【考点题型五】向量的线性运算 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式5-2】（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【变式5-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【变式5-4】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【考点题型六】向量线性运算的几何应用 【例6】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 【变式6-1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·天津·阶段练习）在正方形中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 向量的概念与线性运算 【清单01】向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单02】向量的加法 （1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接” （2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点” （3）向量加法的运算律 ①交换律 ②结合律 【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则． ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 【清单03】向量减法 1．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量 【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b. 【清单04】向量的数乘 1. 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0（零向量！） λ<0 λa的方向与a的方向相反 2.几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 3.运算律 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa)＝ (λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 【清单05】向量的线性运算 1.向量加法与数乘的混合运算 λa＋μa＝(λ＋μ)a 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 【考点题型一】向量的有关概念 【例1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得. 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 【变式1-4】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是 【答案】A 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D． 【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误； 对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误． 故选：A． 【考点题型二】向量的加法 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的运算律 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式2-1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量加法的法则 【分析】根据向量运算法则，结合向量相等的定义判断①，根据向量相等定义判断②，根据向量加法和零向量定义判断③. 【详解】互为相反向量．又互为相反向量，故，故①正确； 当时，应有，且由点到点与由点到点的方向相同，但不一定有点与点重合，点与点重合，故②错误； 若且，则，，故③正确． 故选：B. 【变式2-3】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量加法的法则、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 【变式2-4】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律： （1）； （2）． 向量，，是否满足该类运算律？ 【答案】满足． 【知识点】向量加法的运算律 【详解】向量，，满足以下加法的交换律、结合律，如下： （1）， （2）. 【考点题型三】向量的减法 【例3】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 【变式3-1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式3-2】（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 【变式3-3】（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 【变式3-4】（多选）（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 【考点题型四】数乘向量 【例4】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C. 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 【变式4-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、零向量与单位向量 【分析】由数乘向量的运算以及单位向量的定义直接判断即可. 【详解】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量. 故选：A 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【知识点】向量数乘的有关计算、零向量与单位向量 【分析】先写出的单位向量，再由和反向可得. 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 【变式4-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 【答案】3 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则 【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值. 【详解】已知，根据向量的减法法则， 则.因为，又，所以，移项可得. 由于，那么，所以. 故答案为：. 【考点题型五】向量的线性运算 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式5-1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式5-2】（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式5-3】（22-23高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算、向量减法的运算律、向量加法的运算律 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 【变式5-4】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【考点题型六】向量线性运算的几何应用 【例6】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】取的中点，则，进而可得. 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 【变式6-1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 【变式6-2】（23-24高一下·天津·阶段练习）在正方形中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】根据题意分析可知：为的重心，结合正方形以及重心的性质分析可得，结合向量的加法运算分析求解. 【详解】设，则为的中点，    由题意可知：为的重心，且四点共线， 因为，即， 所以. 故选：A. 【变式6-3】（多选）（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 【变式6-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 【答案】2 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据条件得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$