专题2.3 等腰三角形的性质和判定（考题猜想，易错、好题必刷52题13种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

专题2.3 等腰三角形的性质和判定 （易错、好题必刷52题13种题型专项训练） 目录 【题型01 根据等边对等角证明】 1 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 7 【题型03 三线合一】 12 【题型04 格点图中画等腰三角形】 17 【题型05 找出图中的等腰三角形】 20 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 24 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 28 【题型08 根据等角对等边求边长】 31 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 34 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 38 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 41 【题型12 等边三角形的判定和性质】 44 【题型13 根据三线合一证明】 51 【题型01 根据等边对等角证明】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可． 【规范解答】解：小明的作图中， ∴， ∴， ∴平分，故小明的作法正确； 小颖的作图中， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ， ∴平分，故小颖的作法正确； 小亮的作图中，， ∴， ∴平分，故小亮的作法正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是上一点，，，．求证：平分． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件可证得，于是可得，由等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． 【规范解答】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中，，点，分别在所在直线上，且 ，则吗？请说明理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定证得是解决问题的关键．根据，可证得是等腰三角形，得到，，进而得到，即可证明，即可得出结论． 【规范解答】证明：，， 是等腰三角形， ，， ， ， ． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； （3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）证明：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 5．（21-22八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长（　　） A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】利用角平分线和平行可以证明和是等腰三角形，而可得即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ∴和是等腰三角形， ，， ， ， ， 故选：B． 6．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧交于，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，，则的长为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点F作于M，交的延长线于N，根据全等三角形的判定和性质得出，再由角平分线的性质得出，根据三角形等面积法得出，再由各角之间的关系及等角对等边得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点F作于M，交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【思路点拨】（1）延长至，使得，证明得出，，证明得出，从而得到，即可得证； （2）连接．由（1）可得，推出．连接，证明得出．证明得出，推出．设，则．再由角平分线的定义得出，求出．即可得解． 【规范解答】（1）证明：延长至，使得， 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ， ，即． 在与中， ， ． ， （2）解：连接． 由（1）可得， ． 连接， 在与中， ， ， ． 在与中， ， ， ， ． 设，则． 是的角平分线， ， ∴． ． 8．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，和都是直角三角形，直角顶点分别是和，点依次排列在直线上，． (1)证明：； (2)若于点，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，，再利用证明即可； （2）证明是等腰直角三角形．结合（1）可得与都是等腰直角三角形，且，可得，再进一步可得结论． 【规范解答】（1）证明：， ，即． ， ． ， ． 和都是直角三角形，直角顶点分别是和， ， ． 在与中， ． （2）证明：， 是等腰直角三角形． 结合（1）可得与都是等腰直角三角形，且， ． ， ． 【题型03 三线合一】 9．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是线段的垂直平分线 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积． 【规范解答】解：根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故B结论正确； ∴，故A结论正确； ， ，故C结论正确； ， ∴四边形的面积，故D错误． 故选：D． 10．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定； （1）先证明，可得，进一步可得结论； （2）先证明，即，结合，进一步可得结论； 【规范解答】（1）证明：在与中， ， ， 又， ，即． （2）证明：，点是的中点， ，即， 由（1）知：， ，即， 又， 平分． 11．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【规范解答】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 12．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，如图所示，连接，可得，，，由垂直平分线的性质可得，当点三点共线时，值最小，此时的周长最短，最短为，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵，为边上的中点， ∴，， ∴，且， ∴， ∵腰的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴当点三点共线时，值最小，此时的周长最短，最短为， 故答案为：8 ． 【题型04 格点图中画等腰三角形】 13．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为轴对称图形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【规范解答】 解：如图：分情况讨论 ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个， 故点C的个数是8个． 故选：C． 14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【规范解答】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 15．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    16．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、是两格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据以为等腰三角形的底边和腰进行分类求解即可 【规范解答】解：如图：分情况讨论， 为等腰直角底边时，符合条件的点有个； 为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有个． 故选：B． 【题型05 找出图中的等腰三角形】 17．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【规范解答】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 18．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路点拨】（1）先证明，根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定方法判断即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴． （2）如图： 由（1）可知， ∴是等腰三角形； ∵点E是的中点，， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故等腰三角形有，，，． 19．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   【答案】3 【思路点拨】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【规范解答】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 20．（20-21八年级上·吉林延边·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE 【思路点拨】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解． 【规范解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， ∴DE+BE=BD， ∵BD=CD， ∴AB+BE=CD； （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AD=EC， ∵AD=BC，BD=CD， ∴AD=BC=EC， ∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形． 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 21．（23-24八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查等角对等边及垂直平分线的性质，根据，得到， 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 故答案为：2． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰三角形；理由见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是全等三角形的性质和判定定理的应用． （1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明； （2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证． 【规范解答】（1）证明：如图． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即是等腰三角形． 23．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在和中，与相交于点．，． (1)求证：； (2)的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键． (1)由已知条件，结合公共边可以利用判定； (2)由三角形全等得角相等，可得，所以是等腰三角形． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． 24．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 【答案】 等腰 3 【思路点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定； 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到是等腰三角形，，，进而计算即可． 【规范解答】解：∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，， ∴． 故答案为：等腰，3． 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 25．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定，一元一次方程的应用． 设运动时间为，表示出，的长，由得到，从而，即可得到关于t的方程，求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为，则 ，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 26．（23-24八年级上·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：． 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键． 先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，F是高和高的交点． (1)求证：． (2)写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）由题意得，则，证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵F是高和高的交点， ∴， ∴； （2）解：，证明如下； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 28．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与相交于点，且，，，的周长为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而得到，，然后利用等量代换可得到的周长为，进行计算即可解答． 【规范解答】解：平分，平分， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故答案为：16． 【题型08 根据等角对等边求边长】 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路点拨】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 30．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，因此，同理：，即可求出．关键是由以上知识点推出，． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：A． 31．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 【答案】3 【思路点拨】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案； 【规范解答】解：作，， 由题意可得，如图所示， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴， 故答案为：3． 32．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F，先证，，即可求出的长，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 33．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【思路点拨】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【规范解答】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    34．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论，并分别作图即可求解，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 【规范解答】如图， ①当时，以点A为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ②当时，以点O为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ③当时，作线段的垂直平分线，与y轴交于点； 综上，共有4个， 故选：A． 35．（21-22七年级下·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【思路点拨】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【规范解答】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 36．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【规范解答】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 37．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点P，使得是等腰三角形，则这样的点P共有（    ）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路点拨】分三种情况，三种情况画出图形，即可得出结果． 【规范解答】解：建立平面直角坐标系，标出点A的位置，分别以A和O为圆心，以为半径作圆，再作线段的垂直平分线，可知使得是等腰三角形的点P共有8个，如， 故选：C． 38．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路点拨】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【规范解答】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    39．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【思路点拨】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【规范解答】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 40．（22-23八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【思路点拨】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【规范解答】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 41．（23-24八年级上·福建福州·期末）王飞同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）． 已知一条线段，分别以点A、B为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段上方），作的角平分线交与D． 由作图可知 是__________三角形 __________（______________________________） 平分 垂直平分（______________________________） 又 即在中，，则． 【答案】作图见解析；等边；60；等边三角形的每个角是；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合 【思路点拨】本题考查了尺规作图、等边三角形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”等知识点，熟知相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形与等腰三角形的相关性质进行填空和补充理由即可． 【规范解答】所作等边三角形及角平分线见下图． 由作图可知 是等边三角形 （等边三角形的每个角都等于） 平分 垂直平分（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合） ∵ 又 即在中，，则． 42．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知线段a、b．求作等腰三角形，使底边，底边上的高．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】图形见解析 【思路点拨】作线段，再作线段的垂直平分线，垂足为点D，再在线段的垂直平分线上截取，连接，即可得到等腰三角形．此题考查了三角形和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 【规范解答】解：如图，即为所求三角形．    43．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，求作等腰三角形，使底边AB的长为，底上高的长为（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】图见解析 【思路点拨】本题考查复杂作图—作等腰三角形，作射线，截取，作的中垂线，交于点，在中垂线上截取，连接，即为所求．掌握中垂线的作图方法，是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示，即为所求； 44．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作； （1）利用基本作图作平分， （2）利用基本作图作垂直平分； 【规范解答】（1）解：如图，为所作； 以为圆心，小于的长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心任意长为半径画弧交于一点，连接点和这点即可； （2）如图，为所作； 分别以点、点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，连接交于两点即可． 【题型12 等边三角形的判定和性质】 45．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的的判定与性质,叠的性质．连接，过作于点，于点，由折叠性质可得，，，从而证明是等边三角形，证明，可证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】如图，连接，过作于点，于点， ∵平分， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 46．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【规范解答】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E， 如图，则，，    ∵且 ∴是等边三角形， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图②，连接，则 ，    ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，则 ，    ∴，即 ， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2022得，， ∴，即． 47．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】连接、，证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，从而得到，证明，得出，结合即可得解． 【规范解答】解：如图：连接、， ， ∵关于对称得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·全国·期末）已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，．如图，，求证： ． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；在上截取，连接，证明，得出，，即可得出结论． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接， ，， 为等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ∵， ， ， ， 又， ， ， 在与中，， ， ，， 又， ， 即． 【题型13 根据三线合一证明】 49．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 50．（20-21八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，与的延长线交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明． （1）证明，即可证明； （2）根据得到，根据等腰三角形的性质可得． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 51．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 52．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知．    (1)在的下方作，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若O为中点，求证：A，O，B三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质． （1）以A为圆心，为半径作弧，以B为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所作； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质证得，，即可得到A，O，B三点共线． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作；    （2）证明：由作图知，，， ∵O为中点， ∴，， ∴A，O，B三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形的性质和判定 （易错、好题必刷52题13种题型专项训练） 目录 【题型01 根据等边对等角证明】 1 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 3 【题型03 三线合一】 5 【题型04 格点图中画等腰三角形】 7 【题型05 找出图中的等腰三角形】 8 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 9 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 11 【题型08 根据等角对等边求边长】 12 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 13 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 14 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 15 【题型12 等边三角形的判定和性质】 17 【题型13 根据三线合一证明】 19 【题型01 根据等边对等角证明】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，是上一点，，，．求证：平分． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中，，点，分别在所在直线上，且 ，则吗？请说明理由． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【题型02 等腰三角形的性质和判定】 5．（21-22八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长（　　） A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能确定 6．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧交于，分别以A，D为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于，，则的长为 ． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 8．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，和都是直角三角形，直角顶点分别是和，点依次排列在直线上，． (1)证明：； (2)若于点，证明：． 【题型03 三线合一】 9．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（    ） A． B．是线段的垂直平分线 C． D．四边形的面积为 10．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 11．（23-24八年级上·福建厦门·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 12．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ． 【题型04 格点图中画等腰三角形】 13．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为轴对称图形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 16．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、是两格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型05 找出图中的等腰三角形】 17．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，，，． (1)求证：； (2)如图2，若点E是的中点，连接、，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形． 19．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   20．（20-21八年级上·吉林延边·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【题型06 根据等角对等边证明等腰三角形】 21．（23-24八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 ． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 23．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在和中，与相交于点．，． (1)求证：； (2)的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）． 24．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 【题型07 根据等角对等边证明边相等】 25．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：． 27．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，F是高和高的交点． (1)求证：． (2)写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 28．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分，平分，经过点与相交于点，且，，，的周长为 ． 【题型08 根据等角对等边求边长】 29．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 30．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，的平分线与外角的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，，，则的值为（      ） A．2 B．9 C．6 D． 31．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 32．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ． 【题型09 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 33．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 34．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．（21-22七年级下·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 36．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 37．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点P，使得是等腰三角形，则这样的点P共有（    ）个． A．6 B．7 C．8 D．9 38．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 39．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 40．（22-23八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【题型11 作等腰三角形（尺规作图）】 41．（23-24八年级上·福建福州·期末）王飞同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）． 已知一条线段，分别以点A、B为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段上方），作的角平分线交与D． 由作图可知 是__________三角形 __________（______________________________） 平分 垂直平分（______________________________） 又 即在中，，则． 42．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知线段a、b．求作等腰三角形，使底边，底边上的高．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    43．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，求作等腰三角形，使底边AB的长为，底上高的长为（不写作法，保留作图痕迹）． 44．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【题型12 等边三角形的判定和性质】 45．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 46．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 47．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 48．（24-25八年级上·全国·期末）已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，．如图，，求证： ． 【题型13 根据三线合一证明】 49．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 50．（20-21八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，与的延长线交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 51．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 52．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知．    (1)在的下方作，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若O为中点，求证：A，O，B三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$