专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质（考题猜想，易错、好题必刷49题9种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质 （易错、好题必刷49题9种题型专项训练） 目录 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1 【题型02 线段垂直平分线的判定】 4 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 9 【题型04 作垂线（尺规作图）】 12 【题型05 角平分线性质定理及证明】 16 【题型06 角平分线的性质定理】 24 【题型07 角平分线的判定定理】 29 【题型08 角平分线性质的实际应用】 34 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 40 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图， 在中，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．8 B．11 C．14 D．18 【答案】C 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【规范解答】解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为8， ， ， ， 的周长． 故选：C 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点连接，若，，则的长为 ．    【答案】6 【思路点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么的周长为 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分上的点到线段两端点的距离相等”得到，而的周长为：，得到的周长为：，然后把，代入计算即可． 【规范解答】解：的垂直平分线交于点， ， 的周长为：， 的周长为：， 而，， 的周长为：． 故答案为：13． 【题型02 线段垂直平分线的判定】 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在上，且，过点D作的垂线交于点E，点F为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，作点D关于的对称点H，连接，，则，，证明，进而可证明垂直平分，得到；由含30度角的直角三角形的性质得到，再根据的周长，可得当三点共线时有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，作点D关于的对称点H，连接，， ∴，，即， ∵， ∴， ∵，     ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； ∵的周长， ∴当三点共线时有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， 故选：A． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【规范解答】证明：，， ， 点D在AC边的垂直平分线上． 8．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    【答案】证明过程见详解 【思路点拨】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，利用条件证得是解题的关键． 由垂直平分，可得，由D为中点，则可得，且F为的中点，则可证得结论． 【规范解答】证明：垂直平分， ， ∵D为的中点， ， ， ∵F为的中点， 即, 垂直平分． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 【规范解答】解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为9，可得，从而求出的周长，即可解答． 【规范解答】∵点D是的中点， ∴， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 11．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【规范解答】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【思路点拨】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 点即为所求． 13．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 14．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，由三角形周长公式得到，进而得到，则的周长． 【规范解答】解：∵的垂直平分线分别交，于，两点， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 15．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点． 本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【规范解答】解：如图，点P就是学校的位置． 【题型04 作垂线（尺规作图）】 16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据作图方法和步骤，即可解答． 【规范解答】解：根据尺规作图—作垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是6， 故选：A． 17．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 【答案】C 【思路点拨】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【规范解答】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：C． 18．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交，即可得出答案； （2）依据证明，即可得出是的对称轴，从而得解． 【规范解答】（1）解：如果等于，那么只相交一点；如果小于，那么没有相交， 所以作图第一步要大于的长； （2）解：小芸的作图是正确的． 理由：由作图知：，，而是两个三角形的公共边． ∵在和中， ∴． ∴是的对称轴 ∴是的垂直平分线． 19．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，且与之间的距离为3，请用尺规作图法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【思路点拨】本题考查的是作已知直线的垂线，先过作于，则． 【规范解答】解：如图，即为所求； 过作于， ∵，且与之间的距离为3， ∴． 20．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和含30度角直角三角形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，求出，利用含30度角直角三角形三边的关系求，然后计算即可． 【规范解答】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型05 角平分线性质定理及证明】 21．（22-23八年级上·北京西城·期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处 C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 【答案】B 【思路点拨】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择． 【规范解答】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处． 故选：B． 22．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【规范解答】解：在中，， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ，故②正确； ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即：， ， ，故③错误； 垂直平分， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个， 故选B． 23．（21-22八年级上·广西百色·期末）已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】作GF⊥AB于点F，则根据角平分线性质和直角三角形性质可以得到解答． 【规范解答】证明：如下图所示：作GF⊥AB于点F， ∵AG为∠BAC平分线，GF⊥AB，GD⊥AC， ∴GF＝GD     ∵EG∥AC， ∴∠BEG＝∠BAC＝30°，   ∴GE＝2GF     又∵GF＝GD， ∴GE＝2GD． 即 24．（21-22八年级下·河南·期末）已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解； 【思路点拨】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证即可求解； （2）在AB上截取CP=CD，分别证、即可求证； 【规范解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴点F是的内心， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，在AB上截取CP=CD， 在和中， ∵ ∴ ∴，∠CFD=∠CFP， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE， ∵∠B=60°， ∴∠ACB+∠BAC=120°， ∴∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠AFC=120°， ∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°， ∵∠CFD=∠CFP， ∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°， 在和中， ∵ ∴ ∴FP=EF ∴FD=EF． 25．（22-23八年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用格点找出线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可得上的点到点O与点A的距离相等，直线与或的角平分线的交点即为所求． 【规范解答】解：如下图， 由图可知，直线垂直平分，因此直线上的点是点O与点A的“等长点”， 由图可知，是直线与的角平分线的交点，是直线与的角平分线的交点， 因此或到线段与线段距离相等，是线段与线段的“等长点”， 故点P的坐标为或． 故答案为：或． 26．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点，若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)1 【思路点拨】（1）由外角的性质可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图1， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）如图2，连接，过点作于， 由（1）可知平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型06 角平分线的性质定理】 27．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点P作于点E，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：过点P作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 28．（22-23八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【规范解答】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 29．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【规范解答】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， 解得． 30．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键．根据图形已知作法，由，那么点在线段的垂直平分线上；若要使到两边的距离相等，那么点在 的角平分线上，所以点应该是线段的垂直平分线与的角平分线的交点；接下来按基本作图求点即可完成解答． 【规范解答】如图，点为满足条件的点． 31．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 32．（22-23八年级上·重庆梁平·期末）如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则①平分；②；③；④．这四个结论中正确的有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质；根据角平分线的判定定理可判断①；证明出，再利用全等三角形的性质可得，从而可判断②；由，利用等边对等角得，从而有，利用内错角相等两直线平行可得，可判断③；根据已知条件可知与只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，可判断④． 【规范解答】解：∵，，， ∴平分，故①正确； ∴， 在和中， ， ， ∴，故②正确； ， ， 又∴， ∴， ；故③正确； ④在和中， 只有，两个条件， 不一定全等与（只具备一角一边的两三角形不一定全等）． 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：B． 【题型07 角平分线的判定定理】 33．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【思路点拨】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【规范解答】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 34．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【规范解答】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 35．（22-23八年级下·广东深圳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【思路点拨】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【规范解答】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 36．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形． （1）根据得即可求出点坐标． （2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得； （3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得． 【规范解答】（1）解：如图1， ， ， ， ， ∵、， ∴ 在和中， ， ， ， ∴点， （2）解：如图2，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分； 即是的角平分线； （3）解：如图3，过作轴，过作于，过作于，交轴于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 37．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形性质和判断，以及角平分线的判定，连接、，根据“”证得和根据“”证得，利用全等三角形性质，即可解题． 【规范解答】证明：如图，连接、， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【题型08 角平分线性质的实际应用】 38．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 39．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【规范解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：D． 40．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查了作图与应用设计，应用比例尺画图，角平分线性质的应用，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．作的角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【规范解答】解： 设距离交点， ， 解得：， ． ． 如图所示：作的角平分线，在射线上截取，使得，   集贸市场应建于点处，点即为所求． 41．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查线段垂直平分线性质的应用、角平分线性质的应用，分别作出线段的垂直平分线，的角平分线交于点D即可求解，掌握相关尺规作图方法是关键． 【规范解答】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条高速公路、的距离也必须相等， ∴发射塔应建在的角平分线上， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线和的角平分线的交点上， ∴连接，作的垂直平分线，作的角平分线交于点， 则点即为发射塔修建位置，如图所示： 42．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，道路的交叉区域（的内部）为东山公园，C、D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点M，使M到两条道路的距离相等，且，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．分别作的平分线与的垂直平分线交于点M，即可，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，点M即为所求． 43．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称； (2)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短； (3)在直线上找一点，使点到边的距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路点拨】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点并依次连接即可； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． 连接，根据题意得：， ∴点Q在直线l和的交点处时， 点Q到边的距离相等． 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作角平分线，根据题意，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：根据尺规作图可得，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：D ． 45．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案； 【规范解答】解：连接，， 从角平分线的作法得出， ，， ∵， ∴． ∴， 故选：C． 46．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【规范解答】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 47．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，小新同学按以下步骤作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若，则的面积为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了尺规作图—角平分线，含30度角直角三角形的特征，过点D作于点D，平分，则，再得出，最后根据三角形的面积公式，即可解答． 【规范解答】解：过点D作于点D， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为：4． 48．（23-24八年级上·青海果洛·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了角平分线的作图与性质，解题关键是理解角平分线作图方法和熟记角平分线性质． 根据作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质求解即可． 【规范解答】解：由作图可知，是的角平分线， 过作于，则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∴点到边的距离等于， 故答案为：3． 49．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查尺规基本作图．熟练掌握尺规基本作图：作角平分线，经过直线上一点作已知直线的垂线，是解决问题的关键． （1）利用尺规基本作图，作已知角的平分线，作出图形即可； （2）利用尺规基本作图，经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可． 【规范解答】（1）解：以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交于M，N两点， 分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线交于点E， 线段即为所求作； （2）作直线， 以点E为圆心，以适当长为半径画弧交于K，L两点， 分别以点K，L为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点Q， 作射线交于点F， 连接， 即为所求作． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 线段的垂直平分线和角平分线的性质 （易错、好题必刷49题9种题型专项训练） 目录 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1 【题型02 线段垂直平分线的判定】 2 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 4 【题型04 作垂线（尺规作图）】 6 【题型05 角平分线性质定理及证明】 8 【题型06 角平分线的性质定理】 11 【题型07 角平分线的判定定理】 13 【题型08 角平分线性质的实际应用】 15 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 17 【题型01 线段垂直平分线的性质】 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图， 在中，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．8 B．11 C．14 D．18 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 3．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点连接，若，，则的长为 ．    4．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么的周长为 ． 【题型02 线段垂直平分线的判定】 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在上，且，过点D作的垂线交于点E，点F为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 8．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【题型03 作已知线段的垂直平分线】 11．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 13．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 15．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型04 作垂线（尺规作图）】 16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 17．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 18．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段． 小芸的作法如图： 如图：（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点； （2）作直线． 请你回答： (1)作图第一步为什么要大于的长？ (2)小芸的作图是否正确？请说明理由． 19．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，且与之间的距离为3，请用尺规作图法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于于E、于D，连接，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【题型05 角平分线性质定理及证明】 21．（22-23八年级上·北京西城·期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处 C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 22．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 23．（21-22八年级上·广西百色·期末）已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：． 24．（21-22八年级下·河南·期末）已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 25．（22-23八年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 26．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点，若，． (1)求证：平分； (2)如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 【题型06 角平分线的性质定理】 27．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 28．（22-23八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 29．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 30．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，线段与，通过作图求一点，使，并且点到两边的距离相等．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 31．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 32．（22-23八年级上·重庆梁平·期末）如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则①平分；②；③；④．这四个结论中正确的有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型07 角平分线的判定定理】 33．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 34．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级下·广东深圳·期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 36．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 37．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，点是的中点，求证：平分． 【题型08 角平分线性质的实际应用】 38．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 39．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 40．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    41．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 42．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，道路的交叉区域（的内部）为东山公园，C、D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点M，使M到两条道路的距离相等，且，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点（保留作图痕迹，不写作法） 43．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称； (2)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短； (3)在直线上找一点，使点到边的距离相等． 【题型09 作角平分线（尺规作图）】 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 45．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明是的角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 47．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，小新同学按以下步骤作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若，则的面积为 ． 48．（23-24八年级上·青海果洛·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 49．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，且边上有一点D．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)． (1)作的平分线，交边于点E； (2)作，其中，点F在边上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$