2.7二次根式 习题 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

2.7二次根式 习题 2024-2025学年北师大版数学八上 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．二次根式中，字母的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 7．下列根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 9．实数的倒数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 二、填空题 11．若最简二次根式与可以合并，则 ． 12．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高为 ． 13．若，都是实数，且，则的值为 ． 14．一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 ． 15.已知2m﹣3和m﹣12是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 　 　 三、解答题 16．（1） （2） 17．先化简，再求值：，其中． 18（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 19（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知：A，B在数轴上，且满足．点B向右平移个单位得到点C，点C向右平移个单位得到点D，点A，B，C，D对应的数分别为a，b，c，d，． (1) ， ． (2)用含n的代数式表示c和d， ， ． (3)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．有理数a，b，c，d，四个数的积为负数，点C，D中存在的美好点，求n的值． 20．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 21．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为，且满足，点的坐标为． (1)填空：____，____，的形状为____； (2)点是轴上的动点： ①用含的代数式表示的面积； ②若，求点的坐标； (3)直线是第一、三象限的平分线，上是否存在一点（除外），使得为直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，画图说明这样的点有几个，并求出其中一个点的坐标． 22．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 23．观察下列规律： ∵， ∴． ∴． … (1)__________； (2)__________； (3)利用上面的规律计算： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C D C C D B 1．A 【分析】本题考查二次根式的性质，开方运算，根据二次根式的性质，立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选A． 2．B 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 【详解】解：A、，因此选项A不符合题意； B、的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，故选项B符合题意； C、，因此选项C不符合题意； D、，因此选项D不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，由二次根式的乘法可得，再利用夹逼法估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．D 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，进行解答即可． 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身， ∴的绝对值是， 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了化为最简二次根式，利用二次根式的性质化简，同类二次根式等知识点，牢记同类二次根式的定义是解题的关键． 先将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 8．C 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查实数倒数的概念：注意在求无理数的倒数时，要进行分母有理化，化为最简二次根式． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数为： 故选D． 10．B 【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解，，可得，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和12； ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B 11． 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 12．/ 【分析】此题考查了勾股定理以及利用三角形面积求高． 根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 设边上的高为， ∴， ∴， ∴即边上的高为． 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得：， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 【详解】由数轴得，，， ∴，， ， 故答案为：． 15．120 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设两条直角边分别为、，根据勾股定理得，解得，则两条直角边分别为、，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：设两条直角边分别为、， 根据勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴两条直角边分别为、， ∴此直角三角形面积， 故答案为：120． 16．（1）（2），或 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及利用平方根解方程，正确掌握相关法则、定义是解题关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可． （2）直接开平方化为两个一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1） ． （2） ∴， 解得：或． 17．，6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等内容，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开化简得出，再把整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入，得出． 18．（1）（2）2 【分析】本题考查了平方根，实数与数轴，化简绝对值以及二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数a的两个平方根分别是和，得出，解得，即可作答． （2）结合从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，求出点B所表示的数，再代入进行化简求值，即可作答． 【详解】解：（1）∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 则， ∴； （2）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． ∴ 则 ． 19．(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 20．(1)①是；②不是 (2)的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵，，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是奇异三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，新定义“奇异三角形”，等腰三角形的性质等知识，理解新定义“奇异三角形”的定义是解本题的关键． 21．(1)，，等腰三角形 (2)①；②点的坐标为或； (3)存在，共有三个点，图见解析，点的坐标为． 【分析】（1）利用非负数的性质求得的值，再求得，和的长，可以判断出是等腰三角形； （2）①利用三角形的面积公式列式即可； ②利用三角形的面积公式列式得，解方程即可求解； （3）分当或或时，三种情况讨论，分别画出图形即可；当时，过点作轴，轴，垂足分别为和，证明，推出是等腰直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等腰三角形； （2）解：①∵点是轴上的动点， ∴； ②∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，当或或时，点，点，点都符合题意，如图， 当时， 过点作轴，轴，垂足分别为和， ∵， ∴， ∵直线是第一、三象限的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 22．(1)； (2) (3)最多能截出8块这样的木条，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；． （2）解：， ∴剩余木料的面积为． （3）解：剩余木条长为，宽为， ∵，， ∴能截出块木条， 答：最多能截出8块这样的木条． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点． （1）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （3）利用题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$