专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；设，则，再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴（负值已舍）， ∴，， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴（负值已舍）， ∴， 故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 2．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，于点D，于点E，AD与BE相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求BF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定． （1）由垂直定义得到，再证明，即可证明； （2）由得到，由三角形相似得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ∴； （2）∵ ∴， ∵， ， ． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 1．如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米．    A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5 【答案】B 【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，    由i＝3：4， 可设AF＝3x，DF＝4x， ∵AD＝10， ∴9x2+16x2＝100， 解得：x＝2（负值舍去）， 则AF＝BE＝6，DF＝8， ∴AE＝DF+BD＝8+12＝20， ∵∠CAE＝45°， ∴CE＝AE＝20， 则BC＝CE+BE＝20+6＝26， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 2．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则AB＝ ． 【答案】4 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，得到一个30°和一个45°的直角三角形，再利用锐角三角形函数求解即可． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D ∴∠ADC=∠ADB=90° ∵AC＝2，∠ACB＝45° ∴sin∠ACB＝= ∴AD=2 ∵∠ABC＝60° ∴sin∠ABC== ∴AB=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，利用特殊角60°和45°构造直角三角形是解决问题的关键． 3．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 2．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 3．如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73． 【答案】甲楼的高度约为 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， 由， ， 在中，， 由， 得， ， ， 答：甲楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：如图所示，连接，设正方形网格中小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键． 1．如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值． 【详解】解：如图，作于， 设小正方形边长为1， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 的值是， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度． 2．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ． 【答案】 【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出EC、EB即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝，EB＝， ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠AGF＝60°， ∴∠EAB＝180°， ∴E、A、B共线， 在Rt△CEB中，tan∠ABC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度直尺完成下列问题：    (1)在网格中找出格点D，连接，并使，且C、D在两侧； (2)在网格中作的平分线，E点在边上； (3)设的垂足为M，在边上画出点N，使得点N与点M关于对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角，勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）如图所示，取格点D，连接，点D即为所求； （2）如图所示，取格点H，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取与格线的交点F，取格点G，连接交格线于N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点H，连接交于E，点E即为所求； 易证明是直角三角形，进而可证明，则； （3）解：如图所示，取与格线的交点F，取格点G，连接交格线于N，点N即为所求； 易求得，而，则可求出，则点M与点N关于对称．    【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 1．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点O为原点，，，作以下操作∶①将菱形绕点 O 顺时针旋转得到菱形；②将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形；③将菱形绕点O 顺时针旋转得到菱形…按此规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知菱形绕点O顺时针旋转次即可回到原始位置，则点和点相同，利用菱形的性质即可知点和点，结合点B绕点O顺时针旋转3次后，可知点B和点关于原点对称，即可得到答案． 【详解】解：∵，且圆周角为， ∴菱形绕点O顺时针旋转次即可回到原始位置，如图， ∵， ∴点和点相同， ∵，， ∴， ， ∴点， 即点， ∵点B绕点O顺时针旋转3次后 ∴， ∴点B和点关于原点对称， 即点， 故选：A． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、菱形的性质、解直角三角形和关于原点对称的知识，解题的关键是找到旋转的周期和点B坐标，以及3次旋转后的位置． 2．把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接．将纸片沿折叠，使点落在的位置．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题过点作于点，交于点，由矩形的性质和折叠的性质，证明，得到，设，则，在中应用勾股定理构建方程，即可求出和，使用等面积法求出，点的纵坐标就求出来了，利用勾股定理求出，即可求出点的横坐标．即可解题． 【详解】解：过点作于点，交于点，如图所示： ∵， 则， ∴，， 四边形为矩形， ，，， 由题易知，四边形为矩形， 有， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 设，则， 有， 即，解得， ， ，解得， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 3．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．    (1)直接写出 ， ； (2)当时，求点的坐标； (3)在运动过程中，是否一个定值，如果是，求出该值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)，2 (2)点的坐标为 (3)是个固定值，，理由见解析 【分析】（1）直接根据矩形的性质结合点到坐标轴的距离作答即可； （2）设点的横坐标是，利用勾股定理进行求解即可； （3）如图，过点作于，的延长线交于，设，证明，求出，即可得出结果． 【详解】（1）∵矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）设点的横坐标是，根据勾股定理即可得到 ， 或（舍去）， 点的坐标为； （3）是个固定值， 如图，过点作于，的延长线交于，   ，四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图，矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上． 若四边形是菱形，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用定理是解题的关键．连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，设，，解直角三角形，得，，则，，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，设，， ，可得， ∴，，则，， ∴． 故选：D． 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 故选：A 2．如图，在四边形中，，，，于点，连接，， ，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意延长，使，连接，，证明，证明，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：延长，使，连接，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为：， 故答案为： 3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， 故答案为：1； （2）解：如图2，设与交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 中，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是相似综合题三角形、四边形的综合题，考查的是正方形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．在Rt△DBE中，DE=BD，则OD+BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM． 【详解】解：∵弧BA的度数为120°， ∴∠C=60°， ∵AC是直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=30°， 作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB， ∵BK∥AC， ∴∠DBE=∠BAC=30°， 在Rt△DBE中，DE=BD， ∴OD+BD=OD+DE， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM， ∵∠BAO=∠ABO=30°， ∴∠OBM=60°， 在Rt△OBM中， ∵OB=2，∠OBM=60°， ∴OM=OB•sin60°=， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查平行的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 1．如图，过点，点D是y轴左侧圆上一点，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】连接BC，根据三角函数求出∠BCO的度数，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】连接BC 在Rt△BOC中 ∵OB=1，OC= ∴tan∠BCO= ∴∠BCO=30° 根据圆周角定理得 =∠BCO=30° 故选B 2．如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，解直角三角形的应用．分圆P与圆C外切和圆P与圆C内切时，两种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：当圆P与圆C外切时，如图，作，垂足为， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，，， 由勾股定理得， 解得，即， 当圆P与圆C内切时，如图，此时， ∴圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是． 故答案为：． 3．如图所示，矩形中，，，以点为圆心作半径的圆，交于点，点在线段上，过点作，交圆于两点，，连接，的延长线交于点．设（）． (1)当时，=________； (2)在从减少到的过程中，求点下降的高度； (3)设的中点为，当点在线段上时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由，，得到，即可求出的长； （）分别求出和时的长度，相减即可求出点下降的高度； （）利用相似三角形分别求出点在点时的值，即可求出的取值范围； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质和运算是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在矩形中，， ∵，， ∴， 当时，，， 则， ∴， 当时，，， 则， ∴， ∴在从减少到的过程中，点下降的高度为； （3）当点与点重合时，过点作于，如图所示， ∵，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点与点重合时，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 1．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，过点作轴，过点作轴，连接，证明，得到，求出，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，连接，则：， ∵关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴； 故选C． 2．如图，在直角坐标系中，点A是函数图象上的动点，1为半径作，已知点，连接，当与两坐标轴同时相切时，的值为 . 【答案】或 【分析】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分两种情况讨论，一是点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，由切线的性质得轴，轴，所以，而，所以，则；二是点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，所以，则，于是得到问题的答案．正确地作出画出两种图形是解题的关键． 【详解】解：如图1，点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、， 的半径长为1， ， 轴，轴， ， 点， ， ， ； 如图2，点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、， ，轴，轴， ， ， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 3．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案. 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴ 米． 故选：C 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．延长交于点，由题意可得：，，，，推出，证明四边形是矩形，得到，设，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， 由题意可得：，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ． 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形，根据题意，得到为等腰直角三角形，得到，再由解直角三角形，求出的长度，然后得到的长度． 【详解】解：如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 故选：A． 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 【答案】(1) (2)小明路线的长为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作于点，可证明四边形是矩形，得到，，推出，最后根据，即可求解； （2）根据矩形的性质可得：，，推出，可求出，进而求出，由，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 小明路线的长为． 1．在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查解直角三角形，由余角的性质推出，，再由锐角三角函数的定义逐个判断计算即可． 【解答】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故A不符合题意； ∵，， ∴， 故B符合题意； ∵，， ∴， 故C不符合题意； ∵，， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 故选： B. 5．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 6．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 7．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数、线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可知：， ∵是的中点， ， 故答案为： 8．如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为 m ． 【答案】130 【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可． 【详解】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∵斜坡CD的坡比为1：2，即， ∴DF=2CF，又CD=m， ∴CF=20m，DF=40m， 由题意得，四边形BEFC是矩形， ∴BE=CF=20m，EF=BC=30m， ∵斜坡AB的坡比为1：3， ∴，即AE=3BE=60m， ∴AD=AE+EF+DF=130m， 故答案为130. 【点睛】本题为解直角三角形的应用中坡度坡角问题，需熟知定义. 9．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 10．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 11．如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个三角形的其他元素． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，牢记直角三角形三边之间的关系以及边角之间的关系是解题的关键．根据勾股定理可以推出的值，然后根据三边的关系可以推出，的度数． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， 12．如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先证明在中，由，，得，，利用余切的定义即可解决问题； （2）过作的垂线交的延长线于，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解:过作的垂线交的延长线于， 在中， ∵即， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，余切定义等知识熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 13．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用， （1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出； （2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， ∵ ∴在中， ∴ ∴ ∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为； （2）解：在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 15．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 2．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 3．如图，在中，于点D，于点E，AD与BE相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求BF的长． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 1．如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米．    A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5 2．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则AB＝ ． 3．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米． 3．如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 1．如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ． 3．如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度直尺完成下列问题：    (1)在网格中找出格点D，连接，并使，且C、D在两侧； (2)在网格中作的平分线，E点在边上； (3)设的垂足为M，在边上画出点N，使得点N与点M关于对称． 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点O为原点，，，作以下操作∶①将菱形绕点 O 顺时针旋转得到菱形；②将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形；③将菱形绕点O 顺时针旋转得到菱形…按此规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接．将纸片沿折叠，使点落在的位置．若，则点的坐标为 ． 3．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．    (1)直接写出 ， ； (2)当时，求点的坐标； (3)在运动过程中，是否一个定值，如果是，求出该值，如果不是，说明理由． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图，矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上． 若四边形是菱形，则的长是（   ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，于点，连接，， ，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．如图，过点，点D是y轴左侧圆上一点，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 3．如图所示，矩形中，，，以点为圆心作半径的圆，交于点，点在线段上，过点作，交圆于两点，，连接，的延长线交于点．设（）． (1)当时，=________； (2)在从减少到的过程中，求点下降的高度； (3)设的中点为，当点在线段上时，请直接写出的取值范围． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，在直角坐标系中，点A是函数图象上的动点，1为半径作，已知点，连接，当与两坐标轴同时相切时，的值为 . 3．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 1．在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 4．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 5．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 6．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 7．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 8．如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为 m ． 9．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    10．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 11．如图，在中，，，，所对的边分别为，，，且，，求这个三角形的其他元素． 12．如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 13．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 14．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 15．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$