第四章 锐角三角函数 单元练习 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

第四章锐角三角函数 (120分钟　150分) 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.(2024·黔西南州册亨县期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sin A的是( ) A. B. C. D. 2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距( ) A.米　　　B.米　　　C.x·sin α米　　　D.x·cos α米 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B的值为( ) A. B. C. D. 4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为( ) A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m C. (4+)m D. (4+)m 5.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为( ) A. B. C. D. 6.如果∠A为锐角,sin A=,那么( ) A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° 7.如图,已知菱形ABCD,AC=10 cm,BD=6 cm,那么tan等于( ) A. B. C. D. 8.如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与地平线的夹角为20°,地下停车场层高CD=3米,如果在停车场的入口处设置一块限高牌,则限高牌上的限高数值比较恰当的是(参考数据: sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)( ) A.3.2米 B.3米 C.2.75米 D.2.6米 9.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tan∠B=,则BC的长为( ) A.6 B.8 C.12 D.16 10.如图,要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD= 10 m,则AB的长约为( ) (参考数据sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7,tan45°=1) A.15 m B.30 m C.35 m D.40 m 11.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,使得点B恰好落在BC的中点B'处,得到△AB'C'.若tan∠CB'C'=,则BC的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 12.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE, △ABF, △BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF> ∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.(2024·贵州一模改编)计算|-5|-sin45°+(-4)0=　 　.  14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cosA=,则BC的长为　 　.  15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 　 　米.(结果保留根号)  16.(2023·广元中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC,若tan∠ABC=,则点C的坐标为 .  三、解答题(共98分) 17.(10分)若在锐角△ABC中,(tanC-)2+|-2sinB|=0,那么∠A的度数为多少? 18.(10分)如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长. 19.(10分)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F. (1)求证:OE=OF; (2)若BE=5,OF=2,求tan∠OBE的值. 20.(10分)(2023·达州中考)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少米?(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44, cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2) 21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值. 22.(12分)(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险? (参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848, cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6) 23.(12分)如图是一种机器零件的侧面示意图,测得∠D=30°,∠A=75°,BD⊥AC于点B,CD=16 cm,AB=28 cm,AE=25 cm,求顶端E到底部CD的距离EF.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.732) 24.(12分)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上) (1)求点D到地面BC的距离; (2)求该建筑物的高度AB. 25.(12分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,点B,C,E三点在同一直线上,连接BD,AD,BD交AC于点F. (1)若AD2=DF·DB,求证:AD=BF; (2)若∠BAD=90°,BE=6. ①求tan∠DBE的值;②求DF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章锐角三角函数 (120分钟　150分) 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.(2024·黔西南州册亨县期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sin A的是(D) A. B. C. D. 2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距(B) A.米　　　B.米　　　C.x·sin α米　　　D.x·cos α米 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B的值为(D) A. B. C. D. 4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为(B) A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m C. (4+)m D. (4+)m 5.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为(B) A. B. C. D. 6.如果∠A为锐角,sin A=,那么(A) A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° 7.如图,已知菱形ABCD,AC=10 cm,BD=6 cm,那么tan等于(A) A. B. C. D. 8.如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与地平线的夹角为20°,地下停车场层高CD=3米,如果在停车场的入口处设置一块限高牌,则限高牌上的限高数值比较恰当的是(参考数据: sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)(C) A.3.2米 B.3米 C.2.75米 D.2.6米 9.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tan∠B=,则BC的长为(D) A.6 B.8 C.12 D.16 10.如图,要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD= 10 m,则AB的长约为(B) (参考数据sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7,tan45°=1) A.15 m B.30 m C.35 m D.40 m 11.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,使得点B恰好落在BC的中点B'处,得到△AB'C'.若tan∠CB'C'=,则BC的长为(C) A.4 B.6 C.8 D.10 12.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE, △ABF, △BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF> ∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=(C) A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.(2024·贵州一模改编)计算|-5|-sin45°+(-4)0=　5　.  14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cosA=,则BC的长为　8　.  15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 　(3+)　米.(结果保留根号)  16.(2023·广元中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC,若tan∠ABC=,则点C的坐标为  (,0)　.  三、解答题(共98分) 17.(10分)若在锐角△ABC中,(tanC-)2+|-2sinB|=0,那么∠A的度数为多少? 【解析】∵(tanC-)2+|-2sinB|=0,∴tanC=,sinB=, ∴∠C=60°,∠B=45°,∴∠A=75°. 18.(10分)如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长. 【解析】如图,过点C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠CDB=90°,∵∠A=30°,AC=2,∴CD=AC=. ∵在Rt△BCD中,∠CDB=90°,tanB==, ∴BD=2,∴BC===. 19.(10分)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F. (1)求证:OE=OF; (2)若BE=5,OF=2,求tan∠OBE的值. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠OEB=∠OFD=90°, 在△OEB和△OFD中,, ∴△OEB≌△OFD(AAS),∴OE=OF; (2)由(1)得:OE=OF,∵OF=2,∴OE=2,∵BE⊥AC,∴∠OEB=90°,在Rt△OEB中,tan∠OBE==. 20.(10分)(2023·达州中考)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少米?(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44, cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2) 【解析】过B作BT⊥ON于T,过A作AK⊥ON于K,如图: 在Rt△OBT中,OT=OB·cos 26°≈3×0.9=2.7(m), ∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°, ∴四边形BMNT是矩形,∴TN=BM=0.9 m, ∴ON=OT+TN=3.6(m). 在Rt△AOK中,OK=OA·cos 50°≈3×0.64=1.92(m), ∴KN=ON-OK=3.6-1.92≈1.7(m), ∴座板距地面的最大高度为1.7 m. 21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值. 【解析】见全解全析 22.(12分)(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险? (参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848, cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6) 【解析】如图,过点A作AD⊥BC于D, 设AD=x海里,由题意得,∠ABD=32°,∠ACD=45°,BC=6海里, 在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD=x海里. 在Rt△ABD中,tan∠ABD=, ∴BD=≈=6+x,解得x=10.∵10>9, ∴如果渔船不改变航线继续向西航行,没有触礁的危险. 23.(12分)如图是一种机器零件的侧面示意图,测得∠D=30°,∠A=75°,BD⊥AC于点B,CD=16 cm,AB=28 cm,AE=25 cm,求顶端E到底部CD的距离EF.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.732) 【解析】见全解全析 24.(12分)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上) (1)求点D到地面BC的距离; (2)求该建筑物的高度AB. 【解析】(1)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E, ∵cos α===,解得CE=5米, ∴DE==5(米).∴点D到地面BC的距离为5米. (2)过点D作DF⊥AB于点F,则BF=DE=5米, 设BC=x m,则BE=DF=(5+x) 米, 在Rt△ABC中,tan 60°===,解得AB=x米, ∴AF=(x-5)米, 在Rt△ADF中,tan 30°===,解得x=5, 经检验,x=5是原方程的解且符合题意,∴AB=×5=15(米). ∴该建筑物的高度AB为15米. 25.(12分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,点B,C,E三点在同一直线上,连接BD,AD,BD交AC于点F. (1)若AD2=DF·DB,求证:AD=BF; (2)若∠BAD=90°,BE=6. ①求tan∠DBE的值;②求DF的长. 【解析】(1)∵AD2=DF·DB,∴=,∵∠ADF=∠BDA, ∴△ADF∽△BDA,∴∠ABD=∠FAD, ∵△ABC,△DCE都是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=60°,∴∠ACD=∠BAF, ∴△ACD≌△BAF(ASA),∴AD=BF. (2)①过点D作DG⊥BE于G.∵∠BAD=90°,∠BAC=60°, ∴∠DAC=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ADC=90°, ∴DC=AC,∴CE=BC,∵BE=6,∴CE=2,BC=4, ∴CG=EG=1,BG=5,DG=,∴tan∠DBE==. ②在Rt△BDG中,∵∠BGD=90°,DG=,BG=5, ∴BD===2, ∵∠ABC=∠DCE=60°,∴CD∥AB, ∴△CDF∽△ABF,∴==,∴=,∴DF=. 学科网（北京）股份有限公司 $$