专题5.15 二次函数与面积问题（3种方法5类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.15 二次函数与面积问题（3种方法5类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数与面积——直接求图形的面积 已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较为基础； 【知识点2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积 已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较为基础；如图下图，a为三角形PAB铅直高度，h为三角形PAB水平宽度，则 【知识点3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法 面积平行转化法是一种常用的计算面积的方法，它的基本思想是将一个区域平移或旋转后再计算它的面积，从而得到更容易计算的面积。对于二次函数的面积计算，我们可以将抛物线平移或旋转后转化为一个长方形或三角形，从而求出面积， 若P、Q在AB同侧 若P、Q在AB异侧 则PQ∥AB 则AB平分PQ 题型目录 【题型1】二次函数与面积——直接求面积最值....................................2 【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形面积或面积最值................5 【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法求面积或面积最值.............12 【题型4】二次函数与面积——直通中考.........................................18 【题型5】二次函数与面积——拓展延伸.........................................21 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数与面积——直接求面积最值 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式； (2)求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【答案】(1)，; (2)当时，有最大值 【分析】（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，求出的最大值． 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． 解：（1）∵某校劳动实践基地用总长为的栅栏，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：） ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 当时，有最大值． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为、．当矩形的面积最大时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先求出一次函数图象与轴的交点的坐标，设点的坐标为（），矩形的面积为，利用矩形的面积公式，可列出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 解：令，则， 解得：， ， 设点的坐标为（），矩形的面积为， 根据题意可得： ， ， 二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值，此时， ， 当矩形的面积最大时，点的坐标是， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，实际问题与二次函数，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，代数式求值等知识点，利用二次函数的图象与性质，确定当矩形的面积最大时点的横坐标是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点P是双曲线C：上的一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，连接．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，面积的最大值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求反比例函数与直线的交点，利用二次函数求最值等知识点．先将双曲线与直线的解析式联立，求出点P在Q的上方时x的取值范围，设，则，， 用含x的式子表示出面积，即可求出最值． 解：联立得： ， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去）， 当时，点P在Q的上方． 设，则，， ∴， ∴， ∵， 当时，取最大值，最大值为3． 故选：B 【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积或面积最值 【例2】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，抛物线经过点、，，顶点为； (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 【答案】(1)，； (2)，面积的最大值为；(3)存在，的坐标或或 【分析】本题考查了二次函数综合，主要涉及求二次函数解析式、二次函数与平行四边形综合、二次函数与面积综合等知识点． （1）先由得，再将、代入，解方程即可得抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得顶点的坐标； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，再设，则，最后利用铅锤法求面积，然后根据函数的性质即可确定该题的答案． （3）过三个顶点分别作对边的平行线，交点即为，此时以、、、为顶点的四边形是平行四边形，再结合平移求的坐标即可． 解：（1）∵抛物线经过点， ∴，即， 再将，代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）如图，过作轴交于， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴ ∴当时，的最大面积为， 此时； 【变式1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式中，求出解析式，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点P作作轴，交于点E，设，则． 则，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设点N的坐标为则点，则，进而得到，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键． 解：（1）已知抛物线经过点，将点A，点B的坐标代入得： 解得： ∴设该抛物线解析式为， 联立方程组： 解得(舍去)或 即点D的坐标是； （2）如图1：过点P作轴，交于点E， 设，则． ∴． ∴ ． ∴当时，的面积的最大值为． ∴， （3）如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N， ∵轴于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点N的坐标为 则点， ∴， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或 (舍去)， 此时； 当时， 解得或 (舍去)， 此时， 综上，点M的坐标为或． 【变式2】（24-25九年级上·福建南平·期中）抛物线与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，是抛物线上不与点A，，重合的一点． (1)点A的坐标为（_____，_____），点的坐标为（_____，_____）； (2)如图，若点在线段上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及此时的面积； 【答案】(1)； (2)点的坐标为，的面积为 【分析】本题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，解方程求解即可； （2）过点作轴交直线于点，先求出直线的解析式，即可设，则，求出，再根据求出解析式并化为顶点式，再求最值即可． 解：（1）当时，， 解得：， 点A的坐标为，点的坐标为； 故答案为：；； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为，此时的面积为． 【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法求面积或面积最值 【例3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A，B两点，于y轴交于点D，C是抛物线的顶点，已知点，． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接AD，P是抛物线上一点，且点P在直线上方（与点A不重合）．若，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及面积问题，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为：，然后将点B代入求解即可； （2）过点A作交抛物线于点P，连接，此时和同底等高，面积相等，利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立两个函数求解即可． 解:（1）解：设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）过点A作交抛物线于点P，连接，此时和同底等高，面积相等， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点B、D代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，对称轴为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点A代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴ ． 【变式1】（22-23九年级上·江西宜春·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是 【答案】或，或， 【分析】令，解方程求得点，的坐标，从而得到线段的长度，令，求得点的坐标，得到的长度，利用三角形的面积公式列出关于的方程，求出值，过点作轴于点，利用等底的三角形的面积的关系，得到的边上的高为3，列出关于的方程，解方程即可得出结论． 解：令，则， 解得：或， 二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧）， ，，． ，， ． 令，则， ， ． 的面积是6， ， ， 解得：或4， ， ． 抛物线的解析式为． ， ． 过点作轴于点，如图， 设， ， ， 两个三角形中边上的高相等，为3， ， 或， 解得：或或或． 时，与点重合， 点的坐标为或，或，． 故答案为：或，或，． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，要能够利用坐标表示相应线段的长度，理解函数与方程的关系，三角形面积的关系． 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； （3）如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)0或3 (3)存在点，坐标 【分析】（1）代入、坐标可求答案； （2）用等面积法求出的解析式，再和抛物线联立即可； （3）通过平移将点移到原点，让整个图象的解析式变得简单，再用代数法表示的长度，配方即可． 解:（1）解：把和代入， 得：， 解方程组：， 此抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 把两点坐标代入，得， 解得：， 直线的解析式为：； （2）过点作交轴于点， 由，两点坐标得：， ， ， 与面积相等， ， ， ， 直线的解析式为：，与轴交点为， 点坐标为， 点坐标为， 直线， 直线的关系式为：， 联立方程组：， 解得：或， 点坐标为或， 点横坐标为0或3； （3）存在点，坐标，理由如下： ， 对称轴为直线， 代入解析式求出 点坐标为， 将整个图象整体平移，向左平移1个单位，向下平移个单位，使为原点， 则平移后解析式为， 此时，， ， 时，最小， 或（舍去）， 平移后的， 平移之前的，即， 故存在点，坐标． 【点拨】本题主要考查了二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用平移将复杂的代数计算变得简单化，是解决本题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型4】直通中考 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)； (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 解：（1）当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 【例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可． 解：（1）把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）令，则，解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点D， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴， ∴最大为， ∴． 【题型5】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1)； (2)①；② ，最大值6；③或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②再由即可求解； ③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可． 解：（1）直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②，， ， ， ， 当时，有最大值6； ③，， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，如图1， ， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 【例2】（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)；(2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和． 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，且， ∴， 过点K作直线交抛物线于， 同理可得：直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴， 如图，设，而， ∴， ， ， 当B为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当P为直角顶点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴此时不存在． ∴点P的坐标为：和． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.15 二次函数与面积问题（3种方法5类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数与面积——直接求图形的面积 已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较为基础； 【知识点2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积 已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较为基础；如图下图，a为三角形PAB铅直高度，h为三角形PAB水平宽度，则 【知识点3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法 面积平行转化法是一种常用的计算面积的方法，它的基本思想是将一个区域平移或旋转后再计算它的面积，从而得到更容易计算的面积。对于二次函数的面积计算，我们可以将抛物线平移或旋转后转化为一个长方形或三角形，从而求出面积， 若P、Q在AB同侧 若P、Q在AB异侧 则PQ∥AB 则AB平分PQ 题型目录 【题型1】二次函数与面积——直接求面积最值....................................2 【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形面积或面积最值................3 【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法求面积或面积最值..............4 【题型4】二次函数与面积——直通中考..........................................5 【题型5】二次函数与面积——拓展延伸..........................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数与面积——直接求面积最值 【例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式； (2)求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为、．当矩形的面积最大时，点的坐标是 ． 【变式2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点P是双曲线C：上的一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，连接．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，面积的最大值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积或面积最值 【例2】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图1，抛物线经过点、，，顶点为； (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； 【变式1】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·福建南平·期中）抛物线与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，是抛物线上不与点A，，重合的一点． (1)点A的坐标为（_____，_____），点的坐标为（_____，_____）； (2)如图，若点在线段上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及此时的面积； 【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法求面积或面积最值 【例3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A，B两点，于y轴交于点D，C是抛物线的顶点，已知点，． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接AD，P是抛物线上一点，且点P在直线上方（与点A不重合）．若，求出点P的坐标． 【变式1】（22-23九年级上·江西宜春·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； （3）如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型4】直通中考 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 【题型5】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 【例2】（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$