12.3 第2课时 角平分线的判定 教学设计2024－2025学年人教版数学八年级上册

课题名称 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 学科 数学 授课班级 授课时数 1 执教者 授课日期 教材分析 角平分线的性质是在学习角平分线的概念和全等判定的基础上进行教学的,它主要是学习为证明线段或角相等开辟了新的思路,是今后作图、计算、证明的重要工具,具有承前启后的作用,因此本节课在教材中占有非常重要的地位。 学情分析 本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形判定方法,具有初步的推理能力的基础上进行学习的,使学生学会分析、学会证明,在培养学生的思维能力和推理能力等方面有着重要的作用。而角平分线的性质为证明两个角相等、两条线段相等提供了方法,是对全等的判定方式的学习的升华,本节也对一般几何证明方式进行了简单的总结,也是后续学习垂直平分线,等腰三角形,等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的打下了基础。 教学目标 1. 理解角平分线的判定定理; 2. 掌握角平分线判定定理的推导方法并应用其解题; 3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 教学 重难点 重点:掌握角平分线判定定理的推导方法并应用其解题; 难点:理解角平分线的判定定理; 课前准备 利用图片引入、幻灯片,提供丰富的学习内容。 教学方法 自主学习法、问答法、启发讲授法、讲解法、 教学过程 1、 复习引入 叙述角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言描述: ∵ OP 平分∠AOB,且 PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ PD = PE. 二、自主学习P50,填写同步知识梳理 1.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离_的点在角的平分线上. 2.到三角形的三边距离相等的点是三角形的三条_的交点. (学生自学) 三、释疑 问题:交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么结论,这个新结论正确吗? 角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 猜想: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 证明猜想: 已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD = PE. 求证:点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明:作射线 OP. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO =∠PEO = 90 . 在 Rt PDO 和 Rt PEO 中, OP = OP (公共边), PD = PE (已知), ∴ Rt PDO≌Rt PEO (HL). ∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等). ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 角的平分线的判定定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件: (1)位置关系:点在角的内部; (2)数量关系:该点到角两边的距离相等. 定理的作用:判断点是否在角的平分线上. 几何语言: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD = PE, ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 典例精析 例1 如图,要在 S 区建一个贸易市场,使它到铁路和公路的距离相等,并且离公路与铁路交叉处距离为 500 米,这个集贸市场应建在何处? 解:作夹角的角平分线 OC, 在射线 OC 上截取 OD = 500 m, 则点 D 即为所求. 方法点拨:根据角平分线的判定定理,要求作点到两边的距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这条角平分线上根据要求取点. 已知:如图, ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P,求证:点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. 证明:过点 P 作 PD,PE,PF 分别垂直于 AB,BC,CA,垂足分别为 D,E,F. ∵ BM 是 ABC 的角平分线, 点 P 在 BM 上, ∴ PD = PE. 同理,PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. 想一想:点 P 在∠A 的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系? 答:点 P 在∠A 的平分线上. 结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等. 练习: 变式1 如图,在直角 ABC 中,AC=BC,∠C =90 ,AP 平分∠BAC,BD 平分∠ABC;AP,BD 交于点 O,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M,若 OM=4. (1) 求点 O 到 ABC 三边的距离和; 答:12 温馨提示:不存在垂线段时——构造应用 (2) 若 ABC 的周长为 32,求 ABC 的面积. 解:连接 OC. 4、 巩固练习 1. 如图,在 ABC 中,点 D 是 BC 上一点,点 P 在 AD 上,PE∥AB 交 BC 于点 E,PF∥AC 交 BC 于点 F,点 P 是 AD 上一点,且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等,判断 AD 是否平分∠BAC,并说明理由. 解:AD 平分∠BAC.理由如下: ∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等, ∴ 点 D 在∠EPF 的平分线上. ∴∠1=∠2. 又∵ PE∥AB,PF∥AC, ∴∠1=∠3,∠2=∠4. ∴∠3=∠4,∴ AD 平分∠BAC. 5、 评议 今天学习了什么 六、作业布置 同步 板书设计 教学反思 5 学科网(北京)股份有限公司 $$