精品解析：江西省九江市都昌县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024−2025学年度上学期第一次阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题共6小题，每题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和菱形的判定定理，熟知矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根的判别式，根据的值可以判断方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式来判断即可． 【详解】解：∵为关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3. 将分别标有“中”、“考”、“必”、“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 中 考 必 胜 中 考中 必中 胜中 考 中考 必考 胜考 必 中必 考必 胜必 胜 中胜 考胜 必胜 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的结果有2种， ∴两次摸出的卡片上的汉字可以组成“必胜”的概率为． 故选：C． 4. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可． 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 6. 如图，点O为正方形的对角线的中点，点E为线段上一点，连接，是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，O是的中点， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每题3分） 7. 一个直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，它的面积＝_____． 【答案】30 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长， ∵直角三角形斜边上的高是5， ∴直角三角形的面积， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键． 8. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 9. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成4张无差别的卡片：A冰化成水，B酒精燃烧，C牛奶变质，D衣服晾干．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用画树状图法求概率，熟练掌握运用树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的结果有：，，共2种， 所以所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率为． 故答案为：． 10. 如图，已知，，，，要使，只要________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解. 【详解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3, , 要使,有, ,, 故答案为: 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形. 11. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】2023 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，二元一次方程的解，由于m，n是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2023． 12. 如图，若点K为正方形ABCD边CD上一点，AD=3，∠DAK=30°，点M为AK的中点，过点M的直线分别交AD边，BC边于点P，Q，且PQ=AK，则AP的长为__________． 【答案】2或1 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，通过证明三角形全等进行求解即可； 【详解】分两种情况进行分析： 如图，过Q作于F， 则， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴四边形AEQB是矩形， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵AD=3， ∴DK=， ∴， 解得：， ∵M是AK的中点， ∴，， ∴， 解得：． 如图，作于E， 由上图可知，同理可得：四边形EDCQ为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 解得： 故答案为2或1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确计算是解题的关键． 三、解答题（本题共5小题，每题6分） 13. （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）移项、配方、开方，即可解答； （2）将原方程化为一般形式，根据公式法即可解答． 【详解】解：（1）， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， ∴； （2）， 原方程可化为：， ∵， ∴， 14. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】略 15. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：∵决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝 ∴只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有2种， （李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”）． 16. 如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1） 如图，图形即为所求， ； （2） 如图，射线即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】略 四、（本题3小题，每题8分） 18. 如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； （1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可； （2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，进而得四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，试求的值． 【答案】（1） 证明：将整理为一般形式： 因为， 所以方程有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式，然后根据判别式的意义即可； （2）把代入方程，因为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入方程得， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和整体代入思想，掌握根的判别式的意义是解题关键． 20. 如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，即可证明结论； （2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 五、（本题2小题，每题9分） 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 22. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边对等角得，利用三角形外角和的性质得即有相似成立； （2）利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等，列方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得，． 六、（本题12分） 23. 如图1，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合点在对角线上． （1）【问题发现】如图1，与的数量关系为______． （2）【类比探究】如图2，将正方形绕点顺时针旋转度（），问题发现中的结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由． （3）【拓展延伸】在图1中，若点为的中点，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当点，，在一条直线上时，直接写出此时线段的长度． 【答案】（1） （2），证明见解答过程， （3） 【解析】 【分析】易证AB∥EF，由平行线分线段成比例可解． 证明△ACE和△BCF相似可解． 分情况讨论，连接CE交GF于H，由正方形的性质可得四边长度和对角线的长度，进而求出CF，GF，HE等线段长度，最终得到AH的长度，得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形， ∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，，CE⊥GF， ∴AB∥EF， ∴ ∴ 故答案为 【小问2详解】 上述结论还成立， 证明，连接CE，如图， ∵∠FCE=∠BCA=45°， ∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， ∴ ∴△ACE∽△BCF， 则 ∴ 【小问3详解】 分两种情况： 连接CE交GF于H，如图， ∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形， ∴AB=BC=4，HF=HE=HC， ∵点F为BC的中点， ∴CF=BC=2，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=， ∴ 则 连接CE交GF于H，如图， 由①可知：GH=HF=HE=HC= ∴ 则 故AG的长度为 【点睛】题是四边形的综合题目，考查正方形的性质、图形旋转、平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用正方形的性质，证明三角形相似，得到对应边成比例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度上学期第一次阶段性学情评估 九年级数学 一、单选题（本题共6小题，每题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 3. 将分别标有“中”、“考”、“必”、“胜”汉字的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除汉字外无其他差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O为正方形的对角线的中点，点E为线段上一点，连接，是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题3分） 7. 一个直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，它的面积＝_____． 8. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 9. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成4张无差别的卡片：A冰化成水，B酒精燃烧，C牛奶变质，D衣服晾干．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率是______． 10. 如图，已知，，，，要使，只要________． 11. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 12. 如图，若点K为正方形ABCD边CD上一点，AD=3，∠DAK=30°，点M为AK的中点，过点M的直线分别交AD边，BC边于点P，Q，且PQ=AK，则AP的长为__________． 三、解答题（本题共5小题，每题6分） 13. （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 14. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 15. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 16. 如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 17. 如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 四、（本题3小题，每题8分） 18. 如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 19. 已知关于的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，试求的值． 20. 如图，点D是边的上一点，且 ， （1）求证： （2）如果，求的值． 五、（本题2小题，每题9分） 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 22. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：； （2）当时，求x的值． 六、（本题12分） 23. 如图1，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合点在对角线上． （1）【问题发现】如图1，与的数量关系为______． （2）【类比探究】如图2，将正方形绕点顺时针旋转度（），问题发现中的结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由． （3）【拓展延伸】在图1中，若点为的中点，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，当点，，在一条直线上时，直接写出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $