小专题6 与三角形有关的辅助线（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学练测（凉山专用）

小专题6　与三角形有关的辅助线 2024凉山数学 目 录 1 A组 基础过关 2 B组 能力训练 3 C组 培优拓展 1 A组 基础过关 一、选择题 1．如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在 OC上，PD⊥OA于点D，OP＝6 cm，点E是射线OB上的 动点，则PE的最小值为(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm B 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 2．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平 分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝(　　) A A．2∶3∶4 B．1∶1∶1 C．1∶2∶3 D．4∶3∶2 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 3．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD， 则下列结论正确的是(　　) A．AD＝CD B．∠A＝∠C C．∠B＝∠ADC D．DE＝DF A 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 二、填空题 4．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若 OA＝40 cm，OB＝30 cm，则点C离地面的距离是__________cm. 30 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 5．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD为BA边上的高，AB＝5，AC＝ 3，则DB＝____________． 4 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 6．如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°， ∠C＝38°，则∠BAD＝____________． 58° 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 三、解答题 7．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，求证：BC＝AC＋AD. 证明：在BC上取点E，使得CE＝AC. 在△ACD和△ECD中， ∴△ACD≌△ECD(SAS).∴DE＝AD. ∵∠A＝2∠B，∠B＋∠BDE＝∠DEC＝∠A，∴∠B＝∠BDE.∴DE＝BE. ∵BC＝BE＋CE，∴BC＝DE＋AC＝AD＋AC. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 8．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC边于点D. (1)如图1，求证：PD＝DQ； 证明：过点P作PF∥BC交AC于点F. ∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP＝PF＝AF＝CQ. ∵PF∥BC，∴∠PFD＝∠QCD. ∴△PDF≌△QDC(AAS).∴PD＝DQ. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 解：过点P作PF∥BC交AC于点F. ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF也是等边三角形． ∴AP＝PF＝AF＝CQ. ∵PE⊥AC，∴AE＝EF. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 ∴△PFD≌△QCD(AAS).∴FD＝CD. ∵AE＝EF，∴EF＋FD＝AE＋CD. ∵AC＝6，∴DE＝3. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 2 B组 能力训练 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC＝__________. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外侧作等边△BCD，则AD的长的最大值是____________． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 3 C组 培优拓展 11．请阅读下列材料，完成相应的任务． 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上(不一定是底边)的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3， AC＝5，求AD的长的取值范围． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 解题思路：如图1，延长AD到点E，使DE＝DA，连接CE，则可证得△ECD≌△ABD(依据)，得出EC＝AB＝3，在△ACE中，AE＝2AD，AC＝5，CE＝3，即可得到AE的取值范围，进一步得到AD的取值范围． 任务： (1)上述解题思路中的“依据”是__________(填序号)； ①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL. ① 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 (2)如图2，在△ABC中，D为边BC上的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2，求BC的长； 解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE. ∵D为BC的中点，∴BD＝CD. ∴△ABD≌△ECD(SAS).∴AB＝CE＝5. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 ∵AE＝2AD＝4，AC＝3，CE＝5， ∴AE2＋AC2＝CE2. ∵△EAC为以CE为斜边的直角三角形， ∴∠EAC＝90°. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 解：①当点F在边BC上时，图3中，延长AE交BC的延长线于G.∵四边形ABCD是矩形， ∵点E是CD边的中点，∴DE＝CE. ∴∠DAE＝∠CGE，∠D＝∠GCE. ∴△ADE≌△GCE(AAS).∴AD＝CG. ∴CG＝AD＝BC. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 ∴BC＝AD＝CG＝3x.∴FG＝5x. ∵∠FAE＝∠DAE，∴∠FAG＝∠AGF. ∴AF＝FG＝5x.∵AB2＋BF2＝AF2， 解得x＝2(负值已舍去).∴CF＝2x＝4； 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 ②当点F在边CB的延长线上时，如答图，延长AE交BC 的延长线于点G，∴四边形ABCD是矩形． ∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE. ∴△ADE≌△GCE(AAS).∴AD＝CG. ∴CG＝AD＝BC. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 ∴BC＝AD＝CG＝x.∴FG＝3x. ∵∠FAE＝∠DAE，∴∠FAG＝∠AGF. ∴AF＝FG＝3x. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 11 总目录 本讲内容结束 $$