小专题6 与三角形有关的辅助线（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

小专题6　与三角形有关的辅助线 2024凉山数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 2．全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形的特殊判定方法：HL. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，推理能力，几何直观；化归思想． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 总目录 3 素养积累 例 1 如图，AC平分∠BAD，∠B＋∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD ＝12 cm，AB＝7 cm，那么DE的长度为__________cm. [解析] 过点C作CF⊥AB的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC． ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠BFC＝∠CED＝90°. 在△AFC和△AEC中， 角平分线有关的辅助线 素养导向 1 2.5 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 ∴△AFC≌△AEC(AAS). ∴AF＝AE，CF＝CE. ∵∠ABC＋∠D＝180°， ∴∠FBC＝∠EDC．∴△FBC≌△EDC(AAS).∴BF＝ED． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 ∴AB＋AD＝AE＋ED＋AF－BF＝2AE. ∵AD＝12 cm，AB＝7 cm， ∴2AE＝19.∴AE＝9.5 cm. ∴DE＝AD－AE＝12－9.5＝2.5(cm). 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°， ∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为(　　)   A．54° B．50° C．48° D．46° D 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 遇角平分线，即考虑用“对称”的思想来补齐图形，进而得到对称位置的线段以及角对应相等． 辅助线①　　　　辅助线②　　　 　辅助线③　　　　 垂线段模型　　　　对角互补模型　　对角角平分线垂线段模型 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 2 【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下 问题：如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边 上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延 长线段AD至点E，使DE＝AD，连接BE.请根据小明的方 法回答下列问题． 中点有关的辅助线 素养导向 2 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是(　　) A．SSS B．SAS C．AAS D．HL (2)探究得出AD的取值范围为(　　) A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 B C 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 【问题解决】 (3)如图2，在△ABC中，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE. [解答]证明：图2中，延长AE到点F，使AE＝EF，连接DF. ∵AE是△ABD中线，∴BE＝DE. 在△ABE与△FDE中， 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 ∴△ABE≌△FDE(SAS). ∴AB＝DF，∠F＝∠BAE. ∵CD＝AB，∴CD＝DF. ∵∠F＝∠BAE，∴AB∥DF. ∴∠BAD＋∠ADF＝180°. ∵∠BDA＋∠ADC＝180°，∠BDA＝∠BAD，∴∠ADF＝∠ADC． 图2 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 在△ADF和△ADC中， ∴△ADF≌△ADC(SAS). ∴∠F＝∠C，∴∠C＝∠BAE. 图2 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 变式 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 遇中线，即考虑通过倍长中线(包括广义的中线)，以构造“8字形”全等以解决问题． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 3 在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°， AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE， 易证AB＝AC＋CD． (1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线 段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理 由，请直接写出你的猜想； [解答] 解：AB＝CD＋AC． 截长补短 素养导向 3 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明． [解答] 解：AB＝CD－AC． 理由：图3中，在AF上截取AG＝AC，连接DG. ∵AD为∠FAC的平分线， ∴∠GAD＝∠CAD． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 在△ADG和△ACD中， ∴△ADG≌△ACD(SAS). ∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD． ∴∠ACB＝∠FGD． ∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B． 又∵∠FGD＝∠B＋∠GDB， ∴∠B＝∠GDB．∴BG＝DG＝DC． ∴AB＝BG－AG＝CD－AC． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 已知或求证的结论中出现线段的和差，一般就要考虑通过截长补短来将分散的条件集中，一般截长补短的问题常常需要证两次全等． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为边在 △ABC下方作△ADC，连接BD，已知AD＝3，DC＝6，则BD的最大值 为__________． [解析] 以CD为直角边，点C为直角顶点作等腰直角三角形 CDE，连接AE. ∴CD＝CE＝6，∠DCE＝90°， 共顶点、等线段，考虑用旋转 素养导向 4 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BCD＝90°＋∠ACD＝∠ACE. ∴△BCD≌△ACE(SAS).∴BD＝AE. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 遇到已知中出现“共顶点、等线段”的条件，尤其当等线段的条件较隐蔽时，通常可以考虑通过旋转使分散的条件得以集中． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 例 5 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M.求证：MD＝ME. 作平行，证中点 素养导向 5 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解答] 证明：过点D作DF∥AC，交BC于点F. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°. ∵DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝60°，∠MDF＝∠MEC． ∴△BDF是等边三角形．∴BD＝DF. ∵BD＝CE，∴DF＝CE. 又∵∠FMD＝∠CME， ∴△FMD≌CME(AAS). ∴MD＝ME. 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 要证明某点是已知线段的中点时，常常过线段一端点作平行线，从而转化为全等三角形． 返回首页 小专题6　与三角形有关的辅助线 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P50～51小专题6 $$