第21讲 相似三角形的应用（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

第21讲　相似三角形的应用 2024凉山数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养发展 1 素养储备 相似三角形的应用 位似图形 实际应用 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 总目录 概念：两个相似图形每组对应顶点所在直线都经过同一点，这两个图形叫位似图形，这个点叫①___________ 与相似图形的关系：相似图形不一定是位似图形；位似图形一定是 相似图形 特征：(1)对应角相等；(2)对应边平行(或在同一条直线上)且成比例；(3)对应点连线(或延长线)交于一点；(4)对应点到位似中心的距离之比等于相似比 位似图形 位似中心 作图(如1∶3) (1)在点O同侧　　　　　　　(2)在点O异侧 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 总目录 (1)将实际问题转化为相似三角形问题； (2)找出一对相似三角形； (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解 实际应用 步骤 类型 测量距离：测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解 测量高度 (1)利用阳光下的影子：同一时刻，物高与 影长成比例 (2)利用标杆：AB为观测者②_____与地面的高度 眼睛 (3)利用镜子的反射：反射角＝入射角 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2023·湘潭) 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； [解答]证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC． 又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA． 射影定理及其应用 核心知识 1 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． [解答]解：由(1)知，△ABD∽△CBA． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD ＝2，则CD的长为________． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 射影定理是相似三角形中比例中项的应用，它可以实现三条相关线段中“知二求一”的应用． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 2 (2023·遂宁) 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角 形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系， 则位似中心的坐标为(　　) A．(－1，0) B．(0，0) C．(0，1) D．(1，0) [解析] 如图，△ABC与△DEF的对应顶点的连线相 交于点(－1，0)，则位似中心的坐标为(－1，0). 故选A． 位似变换 核心知识 2 A 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 如图，已知A(－4，2)，B(－2，6)， C(0，4)是直角坐标系平面上三点．以原点O为 位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到 △A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足 条件的图形． 解：如图，△A2B2C2即为所求． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 位似变换要抓住以下要素：①位似中心，②位似比，③方向，并且位似也是特殊的相似，所以位似图形也具备相似三角形的所有性质． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 3 跨学科融合 如图，在测量凹透镜焦距时，将 凹透镜嵌入直径为AB的圆形挡板中，用一束平行于 凹透镜主光轴的光线射向凹透镜，在光屏上形成一 个直径为CD的圆形光斑．测得凹透镜的光心O到光 屏的距离OE＝36 cm，AB＝20 cm，CD＝50 cm，则 凹透镜的焦距f为__________cm.(f为焦点F到光心O的距离) 相似三角形的应用 核心知识 3 24 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解析] 在△DCF中，AB＝20 cm，CD＝50 cm，OE＝36 cm. ∵AB∥CD， ∴∠FAB＝∠FCD，∠FBA＝∠FDC． ∴△ABF∽△CDF. ∴OF＝24 cm. 则凹透镜的焦距f为24 cm. 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 1.在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点E放在 长方形纸片ABCD的边BC上动，恰好存在两直角边分别经过点A，D的 情形(如图).若AB＝4，BC＝10，则BE的长应为__________． 2或8 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 相似三角形在实际问题中的应用关键要能从实际问题中抽象出相似三角形，然后通常利用比例线段建立方程从而求解． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2．(2023·创编) 如图，矩形DEFG为△ABC的内接矩形，点G，F分别 在AB，AC上，AH是BC边上的高，BC＝10，AH＝6，EF∶GF＝2∶5， 则矩形DEFG的面积为__________. 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养发展 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若CD ＝2，BD＝1，则sin ∠ACD的值是(　　) B 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 2．(2022·凉山州) 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则 tan α的值为________. 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 3．数学文化 (2023·江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方 法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望 高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q 在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测 得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，则树高PQ＝__________m. 6 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 4．如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足BD2＝CD·AD． (1)证明：△BCD∽△ABD； ∵∠BDC＝∠ADB，∴△BCD∽△ABD． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)若BC∶AB＝2∶3，BD＝3，求AC的长． 解：由(1)知，△BCD∽△ABD． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 5．(2017·凉山州) 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5). 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； 解：如图，△A1B1C1即为所求． 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积． 解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2， ∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10). 返回首页 第21讲　相似三角形的应用 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P56～57第21讲 $$