第20讲 相似三角形（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

第20讲　相似三角形 2024凉山数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养发展 1 素养储备 相似三角形 比例尺 成比例线段 黄金分割 平行线分线段成比例 相似三角形的判定 基本模形 相似三角形的性质 相似三角形的运用 相似多边形 补充定理 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 比例尺：图上距离与实际距离的比 成比例线段 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么这四条线段成比 例线段，a，d叫①_________，b，c叫②_________，d叫第四比例项 比例外项 比例内项 注意 (1)有序性；(2)线段取正值；(3)数可以是负数；(4)线段统一长度单位． 比例性质 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 黄金分割 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 黄金分割 注意 (1)一条线段有2个黄金分割点；(2)知一求二(AC，AB，BC)； 黄金矩形：宽与长之比等于黄金比的矩形是黄金矩形 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形．如图， ∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，则BC2＝BD2＝AD2＝CD·AC　 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 平行线分线段成比例 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)两角对应相等的两个三角形相似 (2)两边对应成比例且④______相等的两个三角形相似 (3)三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定 一般三角形 夹角 直角三角形 (1)一个锐角对应相等 (2)两边对应成比例 两直角边对应成比例 斜边和一条直角对应成比例 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 基本模形 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)相似三角形对应角⑤__________，对应边⑥__________，对应高(中线、角平分线)⑦__________ (2)相似三角形周长之比等于⑧__________，面积之比等于 ⑨_______________ 相似三角形的性质 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 求面积：(1)面积比等于相似比的平方；(2)同高不同底， 面积之比等于底边之比；(3)同底等高，三角形面积相等 相似三角形的运用 计算三角形的边和角 证明线段乘积式的步骤 (1)乘积式化比例式，上下左右找相似； (2)用相等线段替换后再找相似； (3)找中间比； (4)作辅助线：常过分点作平行线 三角形内截 正方形(对应高之比等于相似比) 矩形(长∶宽＝2∶1时易产生两个答案) 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 定义：各角⑩________、各边⑪________的两个多边形叫相似多边形． 两个条件缺一不可(反例：矩形与正方形；菱形与正方形) 相似比：(1)对应边之比；(2)有序性；(3)周长之比等于相 似比；(4)面积之比等于相似比的平方 相似多边形 相等 成比例 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；每条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图，CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB (2)角平分线性质定理：三角形角平分线分对边成两条线段之比等于相邻两边之比．如图，AD平分∠BAC，则 补充定理 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 2 素养积累 比例线段及比例的性质 核心知识 1 24 例 1 2 三 变式 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 比例基本性质也属于恒等变形的应用，恰当地进行代换是解决问题的关键，当然，也可以适时地引入“新元”，用这个“新元”去表示原有字母，从而实现“消元”简化运算的目的． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 平行线分线段成比例定理 核心知识 2 2 例 2 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2019·凉山州) 如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝ 1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝(　　)   A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 B 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 遇平行线组(至少三条平行线)，马上联想到有比例线段；但某些特定条件，可以通过构造平行线，创造平行线等分线段的条件． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金 分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为8 cm， 那么PB的长度为_____________cm. 黄金分割 核心知识 3 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·达州)如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A， B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠 近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______________cm. (结果保留根号) 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 黄金分割也是一种特殊的比例线段，也是比例中项的应用，因此，找准比例中项是解决问题的关键． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为__________． 相似三角形的性质 核心知识 4 1 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2018·凉山州) △AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示， OA＝4，将△AOC绕O点逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1交y轴于 B(0，2)，若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标为______________. 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 利用相似三角形，可以为我们证明角相等以及利用比例线段的性质完成证明和计算提供依据． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 相似三角形的判定 核心知识 5 例 5 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 判定相似三角形要从已知条件出发，分析直接条件，然后从缺少的条件入手去挖掘间接条件． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝ 2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的 长为__________ C 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3 素养发展 A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm C 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 2．(2023·东营) 如图，△ABC为等边三角形，点D， E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC， DE＝2.4，则AD的长为(　　) A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 C 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽ △DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长为________. 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 4．(2015·凉山州) 在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD， MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝________________． 1∶9或4∶9 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 5．(2019·凉山州) 如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N. (1)求证：BD2＝AD·CD； 证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB． 又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD． ∴BD2＝AD·CD． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长． 解：∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠BDC． ∴∠ADB＝∠MBD． ∵∠ABD＝90°，∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA． ∴BM＝MD＝AM＝4. ∵BD2＝AD·CD，且CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48.∴BC2＝BD2－CD2＝12. 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P54～55第20讲 $$