第19讲 直角三角形与勾股定理（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

第19讲　直角三角形与勾股定理 2024凉山数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养发展 1 素养储备 直角三角形与勾股定理 判定 勾股数 性质 勾股定理 探索方法 运用 特例 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形 (3)一条边上的①________等于这条边的一半的三角形是直角三角形 (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 中线 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 (1)直角三角形两锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②________ (3)30°角所对直角边等于斜边的③________，且三边之比为 ④___________；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于⑤________ (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 探索方法 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明) (3)青朱出入图 (1) (2) (3) (4) 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数． 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 两个数之和最小的走法路径最短，如图， 由3＋4＜5＋3＜ 出图(2)中的走法为最近走法 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 特例 (1)折叠有全等有勾股 (2)两直角三角形共边问题 已知高：如已知△ABC两边长为15，13，第三边上的高为12，求第三边BC的长． 分类讨论两种情况： 未知高：用方程解答．如已知三角形三边长为13，14，15，分别求三条高． 如图，在△ABC中，设BH＝x. AH2＝142－x2＝132－(15－x)2　　 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 2 素养积累 例 1 某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3 m，DA＝4 m，BC＝12 m，CD＝13 m. 勾股定理及其逆定理 核心知识 1 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (1)求出空地ABCD的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ [解答] 解：(1)连接BD．在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52， 在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，所以∠DBC＝90°.则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝3×4÷2＋5×12÷2＝36(m2). (2)所需费用为36×200＝7 200(元). 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 C 变式 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 勾股定理及其逆定理，是实现直角三角形中由边的关系到角的关系之间的一个转化的桥梁． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 数学文化 (2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证 明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个 小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b， 斜边长为c，若b－a＝4，c＝20则每个直角三角形的面 积为_______. 直角三角形的性质 核心知识 2 96 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 由图可得a2＋b2＝c2，且a，b均大于0. ∴a2＋b2＝202，b－a＝4. 解得a＝12，b＝16. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 已知直角三角形要联想到：①角：两锐角互余；②边：勾股定理；③线段：斜边上的中线等于斜边的一半；④边与角：30°角所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多 15°，则两个锐角分别为_________________． 2．直角三角形的一直角边长4 cm，斜边长5 cm，则其斜边上的高是 ________ cm. 75°，15° 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·广安) 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm， 底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴 蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁 A处所走的最短路程为__________cm.(杯壁厚度不计) 直角三角形的综合 核心知识 3 10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·凉山州) 如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是__________． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 构造直角三角形，再利用直角三角形的性质解决问题． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为__________． [解析] 在Rt△ABC中， ∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形， ∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF. 等腰直角三角形综合 核心知识 4 10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ∴△ABC≌△CEF(SAS). ∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF. ∵点B，C，E共线， ∴∠ACB＋∠ACF＋∠FCE＝180°. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ∴∠ACF＝180°－(∠ECF＋∠EFC)＝90°. ∴△ACF是等腰直角三角形． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为边BC中点，DE⊥DF，若BC＝4，求四边形AEDF的面积． 解：连接AD．∵∠A＝90°，AB＝AC，D为边 BC中点，BC＝4， ∴AD⊥BC，AD＝CD＝2，∠DAE＝∠C＝45°. ∵∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 遇等腰直角三角形，要联想作中线，利用“三线合一”的性质，同时，因为存在“共顶点、等线段”的条件，常常还可以通过旋转三角形来解决复杂问题． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养发展 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点E，DB＝12 cm，则AC＝(　　)   A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm C 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝28°. 则∠BDC的度数为(　　)   A．26° B．52° C．56° D．64° C 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 A．9 B．8 C．7 D．6 D 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2014·凉山州) 已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边 长为__________． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．数学文化 (2023·恩施州) 《九章算术》被称为人类科 学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不 知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺， 邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不 知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺； 竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是______________尺． 8，6，10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ①②④ 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20，D是腰AB上一点，且CD＝16，BD＝12. (1)求证：CD⊥AB； 证明：∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， 且122＋162＝202，∴DB2＋CD2＝BC2. ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°. ∴CD⊥AB． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)求AD的长； 解：设AD＝x，则AB＝AC＝x＋12. ∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°. ∴x2＋162＝(x＋12)2. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)求△ABC的周长． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P52～53第19讲 $$