第14讲 二次函数的实际应用与综合（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

第14讲　二次函数的实际应用与综合 2024凉山数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养发展 1 素养储备 二次函数的实际应用 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧洞问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值； 模型 顶点 x1 ③_____对应的函数值 x2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧洞问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 2 素养积累 例 1 (2022·自贡) 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 这三种方案，最佳方案是(　　) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 [解析] 分别计算三个方案的菜园面积或最大面积进行比较即可． 面积问题 核心知识 1 C 方案1　　 方案2　　 　方案3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°.直角边AC ＝3 m，BC＝4 m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩 形DEFG面积最大时，EF的长为__________． 2.5 m 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 结合面积公式、相似等知识，将几何问题代数化，用二次函数表示几何图形的面积，根据二次函数求(最)值． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 2 (2022·广安) 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 拱形桥及隧道问题 核心知识 2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解析] 以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点．进而求出抛物线的解析式，当x＝4时求出y，即可得出答案． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8 m，宽AB为2 m，以AD所在直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5 m． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (1)求这条抛物线的解析式； 解：设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由对称轴是y轴，得b＝0. ∵EO＝5，∴c＝5. ∵矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m， ∴B(4，2).∵抛物线经过点B(4，2)， 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6 m， 宽2.4 m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算 进行说明． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 拱形桥及隧道转化为二次函数模型，运用二次函数的知识解决拱形桥或隧道的实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 3 (2023·长春) 2023年5月28日，C919商业首 航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步. 12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水 门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的 礼仪)．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分． 抛物线形问题 核心知识 3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 19 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 (2022·成都) 距离地面有一定高度的某发射 装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与 物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt ＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面 20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值 的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w 的取值范围是__________；当2≤t≤3时，w的取值范围是___________. 0≤w≤5 5≤w≤20 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 实际生活中的抛物线形问题转化为二次函数模型，运用二次函数的最值、增减性等知识解决实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 4 (2022·巴中) 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为 100元． (1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； [解答] 解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元． 答：每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元． 销售问题 核心知识 4 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100 盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元， 销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润. [解答] 解：由题意，得w＝(a－40)[100－2(a－50)]＝－2(a－70)2＋1 800. ∵－2＜0，∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1 800. ∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 借助二次函数的关系式、增减性、最值等相关知识，同时结合一次函数、分段函数解决生活中的销售问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养发展 A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④ D 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2023·凉山州适应) 西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河 六岸生态治理工程的重点惠民项目之一，如图是公园北部一座抛物线形 拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C 到AB的距离为8 m，AB＝24 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB， 若DE的长为36 m，则点E到直线AB的距离为__________m． 10 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2018·凉山州) 结合西昌市创建文明城市要 求，某小区业主委员会决定把一块长80 m，宽 60 m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如 图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等 的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出 口宽度一样，其宽度不小于36 m，不大于44 m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为x m. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (1)用含x的代数式表示出口的宽度； 解：出口的宽度为(80－2x)m. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (2)求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； ＝288 000－20x(x－10) ＝－20x2＋200x＋288 000(18≤x≤22). 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由； 解：能．根据题意，得 －20x2＋200x＋288 000＝284 000. 解得x1＝20，x2＝－10(不合题意，舍去). ∴x＝20. ∵18≤x≤22， ∴投资28.4万元能完成全部工程任务． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 ∵y＝－20x2＋200x＋288 000 ＝－20(x－5)2＋288 500， ∴当x≥5时，y随x的增大而减小． ∵20≤x≤22，且x为整数， ∴x＝20，21，22.∴共有三种方案， 方案一：一块直角三角形较长直角边为20 m，较短直角边为10 m； 方案二：一块直角三角形较长直角边为21 m，较短直角边为11 m； 方案三：一块直角三角形较长直角边为22 m，较短直角边为12 m. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四 个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11 m2，结 果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少平方米？ 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 化简，得a(a＋11)＝132×11. 解得a1＝33，a2＝－44. 经检验，a1＝33，a2＝－44都是原方程的解． 但a2＝－44不合题意，舍去．∴a＝33. 答：原计划每天绿化33 m2. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2019·凉山州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式； 解：∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， ∴可设y＝a(x＋1)(x－3). 把点C(0，3)代入上式， 得－3a＝3，即a＝－1. ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由； 解：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小． 如图1，连接PB，BC． ∵点P在抛物线的对称轴直线x＝1上，点A，B关于对 称轴对称，∴PA＝PB． ∴C△PAC＝AC＋PC＋PA＝AC＋PC＋PB． 当C，P，B在同一直线上时，PC＋PB＝CB最小． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 又A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)， 设直线BC解析式为y＝kx＋3. 把B(3，0)代入上式，得3k＋3＝0， 解得k＝－1. ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. ∴yP＝－1＋3＝2. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 (3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与点C重合)，使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明 理由． 解：存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC． 如图2，∵S△PAM＝S△PAC， ∴当以PA为底时，两三角形等高， ∴点C和点M到直线PA距离相等． ∴CM∥PA． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 设直线AP的解析式为y＝px＋d. ∵A(－1，0)，P(1，2)， ∴直线AP的解析式为y＝x＋1. ∴直线CM的解析式为y＝x＋3. ∵点M在x轴上方， ∴点M的坐标为(1，4). 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P40～41第14讲 $$