第13讲 二次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（凉山专用）

第13讲　二次函数的图象及性质 2024凉山数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养发展 1 素养储备 二次函数的图象及性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤____0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥______0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c>0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c<0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 2 素养积累 例 1 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝__________． [解析] 由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 二次函数的定义 核心知识 1 3 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 下列函数中，是二次函数的是(　　) C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 1.(2023·宁波) 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1，－2)和B(0，－5). 用待定系数法求二次函数的解析式 核心知识 2 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； [解答] 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－6). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围． [解答] 解：－3≤x≤1.　[如图，∵点A(1，－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3，－2)，∴当y≤－2时，x的范围是－3≤x≤1.] 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查用待定系数法求二次函数解析式． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对称轴； (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标． [解答] 解：(1)y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·五市区) 将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k 的形式为________________． y＝2(x－2)2＋5 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 熟练运用二次函数三种解析式的转换． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·大连) 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的 最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 二次函数的图象与性质 核心知识 3 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] ∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上． ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小． 当x＝0时，y最大＝－1； 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2. ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 A．0 B．2 C．3 D．4 C 变式 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 y2＜y3＜y1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 抛物线的平移不改变开口大小和开口方向，a值不变．故选D． 二次函数的几何变换(平移、对称与旋转) 核心知识 4 D 例 4 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝ x＋b与此新图象的交点个数的情况有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 [解析] 直线y＝x＋b与此新图象的交点个数如图所示， 有0或1或2或3或4个交点，共有5种情况．故选B． B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2021·眉山) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于 点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(　　) A．y＝－x2－4x＋5 B．y＝x2＋4x＋5 C．y＝－x2＋4x－5 D．y＝－x2－4x－5 [解析] 由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线顶点坐标是(2，1).由抛物线y＝x2－4x＋5知，C(0，5).∴该抛物线的顶点关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9).∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.故选A． A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.(2023·徐州) 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对 应的函数表达式为(　　) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°， 再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是__________． (1，－3) 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 二次函数图象的平移熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀，对称和旋转几何图象分析． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3 素养发展 1．(2022·凉山州) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)和点(0，－3)， 且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是(　　) A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点(－1，0) D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 2．(2021·凉山州) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下 列结论中不正确的是(　　) A．abc＞0 B．函数的最大值为a－b＋c C．当－3≤x≤1时，y≥0 D．4a－2b＋c＜0 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 3．(2020·凉山州) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如 图所示，有如下结论： ①abc＞0； ②2a＋b＝0； ③3b－2c＜0； ④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 4．(2019·凉山州) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以 下结论：①3a－b＝0；②b2－4ac＞0；③5a－2b＋c＞0；④4b＋3c＞0. 其中错误结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 5．(2018·凉山州) 二次函数y＝ax3＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示， 则下列结论错误的是(　　) A．4a＋b＝0 B．a＋b＞0 C．a∶c＝－1∶5 D．当－1≤x≤5时，y＞0 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 C A　　 　　B　　 　　C　　　 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 7．(2019·凉山州) 将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移__________个单位后经过点A(2，2). 3 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 8．(2016·凉山州) 将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3 个单位后所得抛物线的解析式为_________________________________. y＝－(x－3)2－2(或y＝－x2－6x－11) 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 9．(2019·凉山州) 当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交 点，则a的取值范围是_____________. －3≤a≤1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 10．(2015·凉山州) 如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与抛物线交于A，B两点，与x轴、y轴交于D，E两点． (1)求m的值； 解：∵抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正 半轴上， ∴方程x2－(m＋3)x＋9＝0有两个相等的实数根． ∴(m＋3)2－4×9＝0，解得m＝3或m＝－9. 又抛物线对称轴在y轴右侧，即m＋3＞0， ∴m＝3. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (2)求A，B两点的坐标； 解：由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9. ∴A(1，4)，B(6，9). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (3)点P(a，b)(－3＜a＜1)是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值． 解：分别过A，B，P三点作x轴的垂线，垂足 分别为R，S，T. ∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a，b)(－3＜ a＜1)， ∴AR＝4，BS＝9，RC＝3－1＝2，CS＝6－3＝3， RS＝6－1＝5，PT＝b，RT＝1－a，ST＝6－a. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 ∴b＝15＋a. ∵点P在抛物线上， ∴b＝a2－6a＋9. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P34～35第13讲 $$