专题04 勾股定理（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题04 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理中的最值问题 【解惑】如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    3．如图，，点M、N分别在、上，且，，点P、Q分别在边、上，则的最小值是 ． 类型二、勾股定理中的平移问题 【解惑】如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A．20 B．19 C．18 D．17 【融会贯通】 1．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（    ）    A．1cm B．2cm C． D． 2．如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是 ． 3．如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 类型三、勾股定理中的折叠问题 【解惑】如图，在中，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．①；②点E到的距离为8；③；④．以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【融会贯通】 1．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是 ． 3．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 类型四、勾股定理中的旋转问题 【解惑】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（　　） ①；②平分；③． A．个 B．个 C．个 D．个 【融会贯通】 1．如图，将绕点C按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则线段的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在中，，，，将绕点A旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，，延长交于点F，则的长为 ．    3．【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 类型五、勾股定理中的爬行最短问题 【解惑】如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【融会贯通】 1．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 3．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 类型六、勾股定理的线段平方关系 【解惑】已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 2．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 3．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 类型七、勾股定理的等腰三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，则线段的长为_____；（用含的式子表示） (2)点在运动过程中，若是以为底边的等腰三角形，求的值． 【融会贯通】 1．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．    (1)若点P恰好在的角平分线上，求t的值； (2)问t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 2．如图，已知在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，设出发的时间为秒． (1)出发1秒后，求的长； (2)出发几秒钟后，的面积等于3？ (3)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 3．如图，已知中，，动点P从点C出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，平分？ (2)求当t为何值时，为等腰三角形？ (3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 类型八、勾股定理的直角三角形动点求t 【解惑】如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，． (1)求的长． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值； ②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 2．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． (1)的长为______． (2)如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； (3)连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 3．如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．    (1)线段的长为________（用含的代数式表示）． (2)当点恰好落在线段上时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)当为直角三角形时，直接写出的值． 类型九、勾股定理的新定义 【解惑】课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【融会贯通】 1．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的4倍的三角形叫常态三角形．例如：一个三角形的三边长分别是5，6，8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若的三边长分别是2，，4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（从小到大排列）； (3)如图，在中，，，，若是常态三角形，求的面积． 3．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ·特例感知 ①等腰直角三角形________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．    ·深入探究 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明：    ·推广应用 如图，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，直接写出线段的长度（用含的代数式表示）．    类型十、勾股定理的无刻度尺作图 【解惑】下列的方格纸中，小方格都是边长为1的正方形，A、B、C是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图．（不写画法，保留画图痕迹．请标注适当字母，否则不得分．） (1)如图1，找出所有符合要求的格点（分别用、、…表示），使满足． (2)如图2，①在内部求作一点M，使点M到三边距离相等； ②这个相等的距离为 ． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画格点，使得，画出线段，再在线段上画点，使得； (2)在图2中，点是边与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使． 2．图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (2)在图②中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (3)在图③中，画出将绕着的中点旋转得到的． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 【一览众山小】 1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ． 3．如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 4．已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点．则的长度为 ． 5．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 6．如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是 ． 7．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 8．如图所示，已知中，，，，动点P从点C出发沿以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)_____； (2)时，的长为______．点P在边上时，线段的长为______（用含t的代数式表示）． (3)当点P在的中垂线上时，求t的值． 9．如图①，在中；，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含的代数式直接写出线段； (3)如图②，是上的一点，． ①当为等腰三角形时，求的值； ②作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 10．在中，，，D为边上一点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，作，且，连结交边于点F，连结． ①若，求证：； ②若，写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股定理中的最值问题 【解惑】如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值， ∵是的平分线， ∴， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是． 故选：C． 【融会贯通】 1．代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值． 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ， ， ， ， （平行线间距离相等）， 同理得：， 中，，， ， 代数式最小值为5， 故选：B． 2．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，     ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 3．如图，，点M、N分别在、上，且，，点P、Q分别在边、上，则的最小值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理等知识．正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键． 如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，由，可得即为的最小值，由对称可知，，，，，则，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，当共线时取等号， ∴即为的最小值， ∴由对称可知，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为25， 故答案为：25． 类型二、勾股定理中的平移问题 【解惑】如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查图形平移的性质，勾股定理，根据平移可得，，根据勾股定理可求出的值，再根据四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵把沿直线向右平移个单位长度得到， ∴，， 在中， ∵， ∴ ∴四边形的周长为 故选：C 【融会贯通】 1．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（    ）    A．1cm B．2cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，根据勾股定理求出的长，再由平移的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为边长为的正方形， ， 由平移的性质可知，， ∴． 故选：D 2．如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是 ． 【答案】或或8 【分析】分三种情况：或或，根据勾股定理和平移的性质进行求解即可． 【详解】解：设平移的距离为x，则， 为等腰三角形，存在以下三种情况： ①如图1，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴平移的距离是； ②如图2，， ∴平移的距离是； ③如图3，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离是8； 综上，平移的距离是或或8． 3．如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 【答案】工程车向教学楼方向行驶的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点 D 作交于点E，由勾股定理求出，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点 D 作交于点E， 根据题意，得，， 在中，根据勾股定理，得， 设，则， 在 中，根据勾股定理，得即 ， 解得， 答：当云梯刚好接触到的顶部点C时，工程车向教学楼方向行驶的距离为． 类型三、勾股定理中的折叠问题 【解惑】如图，在中，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．①；②点E到的距离为8；③；④．以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，由等腰三角形的“三线合一”可判断①；作，可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得平分，即可判断②；设，由折叠可知：，根据，即可判断③；根据，，即可判断④； 【详解】解：∵ ∴，故①正确； 作，如图所示： ∵的平分线交于点E， ∴； ∵ ∴平分， ∴，即点E到的距离为8，故②正确； 设，由折叠可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④正确； 故选：A 【融会贯通】 1．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 2．在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是 ． 【答案】12或6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．先求得，分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在直线的下方时，如图， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 当点在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 综上，的长是12或6． 故答案为：12或6． 3．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型四、勾股定理中的旋转问题 【解惑】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（　　） ①；②平分；③． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②证明，得，即可； ③，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论③正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键 【融会贯通】 1．如图，将绕点C按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则线段的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，，将绕点A旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，，延长交于点F，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等．设，则，由旋转的性质及等腰三角形的性质可证，从而可得，再证，从而可得，即可求解． 【详解】解：，，， ， 由旋转得：， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 3．【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识； （1）根据等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，先证，再根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，当点N在线段上时，当点M在线段上时，再根据全等三角形的性质和判定，勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，； （2）如图②，连接， ， ，即， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①如下左图，当点N在线段上时，连接，过点O作于H， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， 在中，， ； ②如下右图，当点M在线段上时，连接，过点O作于H， 同理可得，， ， 综上所述：的长为或． 类型五、勾股定理中的爬行最短问题 【解惑】如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 2．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把上面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 3．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 类型六、勾股定理的线段平方关系 【解惑】已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确找到全等三角形是解题的关键． （1）①有三组全等三角形，分别为，，；②由即可证明；③由，得，而由勾股定理得，即可求证； （2）则，，在中，由勾股定理得，再等量代换即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，，可得，再证明，则，在中有，则． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴为等腰直角三角形，， ∵O为斜边的中点， ∴，即， 则均为等腰直角三角形， 则，， 在与中， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∴， 同理可证：， ∴①错，应该有3对全等的三角形； ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积等于四边形的面积的2倍， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， 在等腰中，，由勾股定理得， ∴， ∴③正确， 故答案为：②③； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； （3）解：成立，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴． 【融会贯通】 1．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可； （2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明如下：过B作，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 2．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． 3．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 类型七、勾股定理的等腰三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，则线段的长为_____；（用含的式子表示） (2)点在运动过程中，若是以为底边的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3或 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义： （1）勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，求出点运动的路程，进而表示出，再用，表示出即可； （2）根据是以为底边的等腰三角形，得到，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，得：点移动的路程为， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①当点在边上时： 则：． 解得． ②当点在边上时： 作． ． ∵， ∴． 解得：． ∴． ． 即．解得． 综上所述，的值为3或． 【融会贯通】 1．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．    (1)若点P恰好在的角平分线上，求t的值； (2)问t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)t的值为或4 (2)t为3或或6或时，为等腰三角形 (3)当或6时，直线把的周长分成相等的两部分 【分析】（1）过P作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）分四种情况讨论：在边上时，，在边上时，使，，，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作，    ∵，，， ∴， ∵点P恰好在的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， 设，则，  ， ∴中，， 即 解得， ∴， ∴， ∴； 当P与A重合时，也符合题意，此时； 综上所述，t的值为或4． （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为，为等腰三角形；    ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使，    此时，运动的路程为， ∴用的时间为时，为等腰三角形； 如图4，若，作于点， 根据面积法求得高， 在中，， ∴， ∴运动的路程为， 则用的时间为时，为等腰三角形； 如图5，若，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时运动的路程为， 则所用的时间为时，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，    则， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， ； 如图7，当点在上，在上，    则，， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 2．如图，已知在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，设出发的时间为秒． (1)出发1秒后，求的长； (2)出发几秒钟后，的面积等于3？ (3)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)出发2秒钟或6.5秒钟后，的面积等于3 (3)或6或6.5或5.4时，为等腰三角形 【分析】本题考查的是动点和直角三角形，熟练掌握勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形性质，路程与速度和时间的关系，分类讨论，是解题的关键． （1）根据P点速度和运动时间求出长，再根据勾股定理计算，即可得到答案； （2）①当在上时，设秒后，的面积等于3，可得，求得； ②当在上时，由，可得，求得，可得； （3）①当在上、时，得；②当在上、时，，得；③当在上，时，可得，得；④当在上，时，过点作于，则，运用三角形面积求得，勾股定理求得，得：． 【详解】（1）解：在中，， ， 点速度为1， 出发1秒后，， 由勾股定理得：； （2）解：①当在上时，设秒后，的面积等于3， ， ， 解得：， ②当在时，如图， ∵， ， 由，可得：， 解得：， ， ， ， 综上：出发2秒钟或6.5秒钟后，的面积等于3； （3）①当在上、时，； ②当在上、时，，则； ③当在上，时，如图， ， ， ， ， ， ， ； ④当在上，时，如图， 过点作于， 则， ， 解得：， ， ， 解得：， 综上可得：或6或6.5或5.4时，为等腰三角形． 3．如图，已知中，，动点P从点C出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，平分？ (2)求当t为何值时，为等腰三角形？ (3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想． （1）过点作于点，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论①当点在上时；②当点在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点作于点；Ⅲ、当时，过点作于点；即可解答； （3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，③当时，点和点都在上，不符合题意；④当时，即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图1， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：； （2）解：①当点在上时，，如图2， ， , ； ②当点在上时，如图3， Ⅰ、当时， ，， ， ， ， , ； Ⅱ、当时， 过点作于点，如图4， ， ，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ，， ， ， ， ； Ⅲ、当时， 过点作于点，图5， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， , ； 综上：或或或； （3）解：点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， ①如图6，当时，，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：； ②如图7，当时，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：（舍去）， ③如图8，当时，点和点都在上，不符合题意；      ④如图9，当时，，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：； 综上：或． 类型八、勾股定理的直角三角形动点求t 【解惑】如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，． (1)求的长． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值； ②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)5； (2)①或4；②能，； 【分析】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求出即可得到答案； （2）①分、、三种情况讨论列式计算即可得到答案；（2）根据勾股定理列出方程，解方程即可；②根据直角三角形满足勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：①由题意得，， 当时，，即， 当时，， 当时，， 解得，（不合题意）， 综上所述，当或时，为等腰三角形； ②当为直角三角形时，只有， ∴，解得，， ∴当时，为直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)4或 【分析】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算． （1）根据勾股定理，可以求出的长； 当点运动到，根据三角形面积，求出，根据勾股定理，求出，即可求出； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）当运动到边时，，过点作，根据三角形面积，得，根据勾股定理，求出，根据等腰三角形三线合一，求出，得，得点的运动距离为：，即可求出． （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴的长度为：cm． （2）过点作于点 ∴ ∵平分 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）①∵当运动到边时，， ∴点运动的路程为：， ∴． ②∵当运动到边时，， 如图，过点作 ∴， ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动距离为： ∴． 综上所述：点运动过程中，使得， 的值为或； （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，如图： ①当点与点重合时，，, ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 2．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． (1)的长为______． (2)如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； (3)连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)当或4或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）根据题意可得：，根据勾股定理可求的长； （2）利用全等三角形的对应边建立方程求解，即可得出结论； （3）①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；②分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 在中，； （2）解：如图1，在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； ②若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图4， ∵， ∴， ∴， 当时，如图5， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图6，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 3．如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．    (1)线段的长为________（用含的代数式表示）． (2)当点恰好落在线段上时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）先求出的长，然后证明和都是等腰直角三角形，利用勾股定理和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可； （4）分和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，    在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴ R， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）； （3）当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时， 由（2）可知，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，    由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； （4）解：当，是直角三角形时，由（2）可知此时R在上，则； 当，是直角三角形时， 同理可证是等腰直角三角形，    ∴， ∴由（2）可知， 解得， 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 类型九、勾股定理的新定义 【解惑】课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）设等边三角形边长为，则易推出两边的平方和等于第三边平方的倍，因而可得结论；设第三边是（），则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理判断其三边是否构成直角三角形，以及是否满足三角形三边之间的关系，如是，进而可求出的周长； （2）根据勾股定理可得，，由可得，由，可得，于是结论得证；根据勾股定理可得，由得，于是可得，因而可得，设（），则，，，在中根据勾股定理可得，即，于是可求得，进而可求得和，然后利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：等边三角形是奇异三角形，理由如下： 设等边三角形边长为， 则两边的平方和为， 两边的平方和等于第三边平方的倍， 等边三角形是奇异三角形； 设第三边是（）， 分三种情况： ）当时， 解得：， 但此时， 不是直角三角形，不符合题意； ）当时， 解得：， 此时， 是直角三角形，符合题意， ，符合三边关系， 的周长为：； ）当时， 此时无解， 此种情况不存在； 综上，的周长为：； （2）证明：， ，， ， ， ，， ， 是奇异三角形； 解：当时，根据勾股定理可得： ， 由得：， ， 整理，得：， ， 设（），则，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的算术平方根，勾股定理的逆定理，三角形三边之间的关系，勾股定理，等式的性质，代数式求值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 【融会贯通】 1．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的4倍的三角形叫常态三角形．例如：一个三角形的三边长分别是5，6，8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若的三边长分别是2，，4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（从小到大排列）； (3)如图，在中，，，，若是常态三角形，求的面积． 【答案】(1)是 (2) (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长，进而求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴三边长分别是，和，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵是常态三角形， ∴设两直角边长为：，，斜边长为：， 则， 则 故，， 此三角形的三边长之比为：， 当，同理可得结论 故答案为：； （3）当时， ∵， ∴， 在中根据勾股定理 ， 此时， 当时， ， ，， 在中根据勾股定理 ， 此时， 故的面积为或． 3．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ·特例感知 ①等腰直角三角形________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．    ·深入探究 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明：    ·推广应用 如图，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，直接写出线段的长度（用含的代数式表示）．    【答案】·特例感知：①是；②；·深入探究：，证明见解析；·推广应用： 【分析】·特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； ·深入探究：由可得：，而，即可推出； ·推广应用：过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】解：·特例感知： ①等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为， 则斜边长为， ∵， ∵等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②∵是边上的高，，， ∴，， ∵为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴线段的长为； ·深入探究：． 证明：∵为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ·推广应用： 过点作于， ∴， ∵等腰为勾股高三角形，且，为边上的高， ∴，， 由上问可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴线段的长度为．    【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型十、勾股定理的无刻度尺作图 【解惑】下列的方格纸中，小方格都是边长为1的正方形，A、B、C是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图．（不写画法，保留画图痕迹．请标注适当字母，否则不得分．） (1)如图1，找出所有符合要求的格点（分别用、、…表示），使满足． (2)如图2，①在内部求作一点M，使点M到三边距离相等； ②这个相等的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义与性质； （1）根据勾股定理可得，找到格点，使得，即可求解； （2）①找到格点，则，根据网格的特点取的中点，根据等腰三角形的性质，可得是的角平分线，根据网格的特点作出的角平分线，交于点，则点即为所求； ②根据点的位置，结合网格即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，点即为所求； ②是角平分线的交点，点M到三边距离为， 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画格点，使得，画出线段，再在线段上画点，使得； (2)在图2中，点是边与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质可作出线段；由于，作出两条直角边分别为3和4的即可； （2）取格点，由，知是线段的垂直平分线，即点与点关于对称；点是边与网格线的交点，连接交于点，点即为所作的点． 【详解】（1）解：如图，线段，点即为所求； （2）解：如图，点，点即为所求； 【点睛】本题考查了格点作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (2)在图②中，以为边画一个等腰直角三角形，使； (3)在图③中，画出将绕着的中点旋转得到的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）把绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （2）把绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，其中； （3）将点绕的中点旋转得到，再连接即可． 【详解】（1）解：作图如下：（答案不唯一） （2）解：作图如下： （3）解：作图如下： 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，属于中考常考题型． （1）取格点，连接交于点，线段即为所求，再由三角形面积求出的长即可； （2）以为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题； （3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出． 【详解】（1）解：如图1，取格点，连接交于点， 线段即为所求， ，，， ， 解得：， 故答案为：3.2； （2）解：如图2，以为直角边作一个等腰直角三角形，交于点， 则，即为所求； （3）解：如图3， 即为所求（答案不唯一）． 【一览众山小】 1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，，，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可．解题的关键景熟练掌握勾股定理的应用． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 2．如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键． 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，故内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， ∵在中，，， ∴， 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合， 内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长， 内部四个小直角三角形的周长为：． 故答案为：24． 3．如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定；利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度． 【详解】解：在上取一点，使＝， ∵在中，，，， ， ，， （）， ＝， ， 则当三点共线，且垂直时，最小， ∵， ∴； 故选：C． 4．已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点．则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵等腰，，． ∴， ∴，, ∴， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，        由旋转可知， ∴，， 在中，，， ∵等腰，，． ∴， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 6．如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理等知识点，根据是边长为1的等腰直角三角形分别求出、、的面积，找出规律即可，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键． 【详解】解：∵是边长为1的等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； ∵， ； ； ∴第n个等腰直角三角形的面积是， 故答案为：． 7．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【详解】（1）解：如图①、图②即为所求． （2）解：如图③即为所求． （3）解：如图④即为所求． 8．如图所示，已知中，，，，动点P从点C出发沿以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)_____； (2)时，的长为______．点P在边上时，线段的长为______（用含t的代数式表示）． (3)当点P在的中垂线上时，求t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论和数形结合思想进行解答是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据即可求解； （3）分点在上和点与点重合两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：4； （2）解：∵， ， ， ∵点在边上， ， ， 故答案为：． （3）解：如图，设的垂直平分线与交于点， ， ， 当点在上时，连接， 则， ， 解得：； 当点与点重合时，， ； 综上所述，的值为或． 9．如图①，在中；，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含的代数式直接写出线段； (3)如图②，是上的一点，． ①当为等腰三角形时，求的值； ②作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1)10 (2) (3)①或或；②或 【分析】（1），，对运用勾股定理即可求解； （2）当点P在线段上时，，；当点P在线段延长线上时，，； （3）①分三种情况讨论，借助于勾股定理和等腰三角形的三线合一即可求解； ②分两种情况讨论，分别利用轴对称的性质和勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：当秒，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得 （2）解：当点P在线段上时，，； 当点P在线段延长线上时，，， 综上所述：； （3）解：①同（1）可得， 当时，如图： ， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形时，或或； ②当点P在线段上时，如图： 由对称得，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 当点P在线段延长线上时，如图： 由对称得，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， 综上所述：点落在直线上时，或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义及性质，轴对称的性质，列代数式等知识点，难度较大，注意分类讨论． 10．在中，，，D为边上一点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，作，且，连结交边于点F，连结． ①若，求证：； ②若，写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)27 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质． （1）先由，，，得，，进而得，再根据等高三角形面积也成比例可得出； （2）①证明：过作于，过作于，则即可证明，得到，，，再由，可得，即可得到，则，再由，求出； ②由①可得，得到，再由勾股定理得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 由①可得， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$