专题04 勾股定理（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题04 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数 【解惑】下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数进行解答即可． 【详解】解：①，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意； ②，且，，（a为正整数）都是正整数，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④，1，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意． 综上所述，有2组符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，但不是正整数，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：B． 2．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 3．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式． 【详解】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为， 故答案为：． 类型二、构成直角三角形 【解惑】在中，所对的边分别是，则满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可． 【详解】解：A选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B选项：由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C选项：由三角形三个角度和为180°，因为，又，即，所以是直角三角形； D选项：设三个角的度数分别为，，，即，解得：，三个角分别为，，，因而不是直角三角形． 故选D． 【融会贯通】 1．满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据勾股定理逆定理、有一个角是的三角形是直角三角形进行判断即可得解． 【详解】解：A．∵，， ∴即 ∴是直角三角形，不符合题意； B．∵ ∴设， ∴，是直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意； D．∵ ∴，， ∴不是直角三角形，符合题意． 故选：D 2．已知的三边、、满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 3．用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， 即，， 故用三根长度分别为、、长的木棍不能围成一个直角三角形． 故答案为：不能． 类型三、反证法证明中的假设 【解惑】用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“若，则”时， 应假设， 故选：C． 【融会贯通】 1．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，先假设三角形中有两个或三个角是直角或钝角， 故选：D． 2．用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【答案】与相交 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 【详解】解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交． 3．用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于”，应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都 ． 【答案】小于 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于”，应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都小于， 故答案为：小于． 类型四、勾股定理与无理数 【解惑】如图，数轴上的点表示的数是，，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点C，则点表示的数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，先根据勾股定理求得，进而结合数轴，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 点表示的数为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 2．如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 3．如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数的值是， 故答案为：． 类型五、赵爽弦图 【解惑】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”．弦图由四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、列代数式等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图，在图中标出P、Q，设，则，再运用勾股定理可得，即正方形的面积为、，再结合可得；再根据题意可得，再将、代入即可解答． 【详解】解：如图，在图中标出P、Q，    设，则， ∴， ∴正方形的面积为． ∵，， ∴，即， ∵小正方形为S， ∴， ∴正方形的面积为． 故选D． 2．如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用平方根解方程，掌握知识点是解题的关键．根据大正方形的面积为65得到，由题意得，，设小正方形的边长，则，则在中，由勾股定理得：，代入建立方程，求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为65， ∴， 由题意得，， 设小正方形的边长，则， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴小正方形的面积为9， 故答案为：9． 3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：设，，则 依题意， ∵的面积是的倍， ∴，即 ∴ 即（负值舍去） ∵小正方形的面积是， ∴ ∴ ∴ ∴大正方形的面积 故答案为：． 类型六、网格中的直角三角形 【解惑】如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 【答案】135 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形网格的边长为1， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据格点的性质可得，， ∴， 故答案为： ． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、勾股定理的逆定理求解 【解惑】如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 【融会贯通】 1．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 2．如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可证是等边三角形，过点作于点，证明，得到，利用勾股定理逆定理，得出，再根据四边形求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是解题关键． 3．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 类型八、用勾股定理解三角形 【解惑】如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可知，由已知条件可知，，根据勾股定理，可得的长，再根据勾股定理即可求出的长．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：根据作图可知， ，，， ，， 根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 故选：D． 2．如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接，，如图所示，为最长边 由题意可知， 在中，，， 那么 故答案为：13． 3．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，推出，求出，求出即可得到的长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，正确理解线段垂直平分线的性质得到是解题的关键． 类型九、用反证法证明命题 【解惑】求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中没有一个数是的整数倍或有两个或三个的整数倍， 取，显然，任意连续的三个正整数，有且只有一个数是3的整数倍， 所以假设不成立， 所以对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中有且只有一个数是的整数倍． 【融会贯通】 1．人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：，，； （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 2．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】证明：假设． 在中，， ． ， ， ， 与假设相矛盾， 假设不成立， 原命题成立，即． 故答案为：；；；；，不成立． 3．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质． 假设点D与点E重合．根据是的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论． 【详解】证明：假设点D与点E重合． ∵是的中线，， ∴垂直平分， ∴，与相矛盾， ∴点D与点E不重合． 类型十、勾股定理的证明方法 【解惑】【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【分析】本题考查了整式的的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ，． （3）周长为2， ， 在中，，， ， ，， ， ， 长方形的面积为：． 【融会贯通】 1．请利用如图验证勾股定理．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答中涉及列代数式，完全平方公式，掌握“等面积法”是解题的关键， 直接用梯形的面积公式和三个三角形面积之和两种含有a，b的代数式表示，由得到的两个面积相等列等式，化简即可得出a、b、c的数量关系 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 3．综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；② 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 【一览众山小】 1．下列各组数中，（   ）能作为直角三角形的三边长． A．6，8，12 B．5，12，14 C．7，15，18 D．，，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，逐项进行判断即可求解． 【详解】解：A、因为 ，所以6，8，12不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、因为 ，所以5，12，14不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为 ，所以7，15，18不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为 ，所以，，1能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直接由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：弦长= ， 故选：C． 4．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为 ．    【答案】169 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，正方形的面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，对于，由勾股定理得，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得，正方形面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，在中， ∴， 故答案为：169． 5．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和8， ∴它的斜边长为， 故答案为：10． 6．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 7．如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键根据中心对称图形的性质可得，、、三点共线，再利用勾股定理即可得 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ∴，、、三点共线， ∵，，， 8．已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 利用勾股定理来计算求解． 【详解】解：由勾股定理得 斜边的长为：． 9．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 10．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上． （1）图中与线段的长相等的线段是 ； （2） ． 【答案】 / /45度 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解． （1）根据勾股定理可得，据此即可求解； （2）由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：（1）由图可知： ，， ∴与线段的长相等的线段是， 故答案为： （2） 由图可知： ， ∴， ∴， 故答案为： 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理思维导图 【类型覆盖】 类型一、勾股数 【解惑】下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【融会贯通】 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 2．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 3．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 类型二、构成直角三角形 【解惑】在中，所对的边分别是，则满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．已知的三边、、满足，则的面积为 ． 3．用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 类型三、反证法证明中的假设 【解惑】用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 2．用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 3．用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于”，应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都 ． 类型四、勾股定理与无理数 【解惑】如图，数轴上的点表示的数是，，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点C，则点表示的数为(　　) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是 ． 3．如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 类型五、赵爽弦图 【解惑】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【融会贯通】 1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”．弦图由四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形．已知为 较长的直角边，若，则正方形的面积为（   ）．    A． B． C． D． 2．如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为 ． 3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 类型六、网格中的直角三角形 【解惑】如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 类型七、勾股定理的逆定理求解 【解惑】如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【融会贯通】 1．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 2．如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 3．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 类型八、用勾股定理解三角形 【解惑】如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为 ． 3．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为 ． 类型九、用反证法证明命题 【解惑】求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【融会贯通】 1．人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 2．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 3．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 类型十、勾股定理的证明方法 【解惑】【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【融会贯通】 1．请利用如图验证勾股定理．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理． 2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 3．综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【一览众山小】 1．下列各组数中，（   ）能作为直角三角形的三边长． A．6，8，12 B．5，12，14 C．7，15，18 D．，，1 2．如图，在中，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 4．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为 ．    5．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ． 6．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 7．如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 8．已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 9．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 10．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点均在正方形网格格点上． （1）图中与线段的长相等的线段是 ； （2） ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$