专题03 勾股定理（7基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（鲁教版）

专题03 勾股定理 经典基础题 题型01判断一个三角形是直角三角形 题型02运用勾股定理进行有关计算 题型03勾股定理的实际应用 题型04弦图问题 题型05折叠问题 题型06网格问题 题型07运用勾股定理逆定理进行计算 优选提升提 题型01最短路径问题 题型02借助勾股定理构造图形解决代数问题 判断一个三角形是直角三角形 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）有下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件以及勾股逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理一一计算并判断即可． 【详解】解：．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，可以构成直角三角形，故该选项符合题意； ．，不可以构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不可以构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．据此逐项判定即可. 【详解】解：A、∵，，∴，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，∴，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（    ） A．2，2，1 B．5，3，4 C．8，24，25 D．9，12，13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，逐项判断各组数中较小的两个数的平方的和是否等于最大的数的平方即可． 【详解】解：A．，2，2，1不能构成直角三角形，不合题意； B．，3，4，5能构成直角三角形，符合题意； C．，8，24，25不能构成直角三角形，不合题意； D．，9，12，13不能构成直角三角形，不合题意； 故选B． 4．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．2，2，4 B．9，16，25 C．1，3， D．10，24，28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理得逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．， 能构成直角三角形，故该选项符合题意； ．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 运用勾股定理进行有关计算 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（    ） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，由图可知正方形的面积为；正方形的面积为；在中，由勾股定理可得，从而得到答案，熟记勾股定理，数形结合表示正方形与正方形的面积之和是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，正方形的面积为；正方形的面积为； 在中，，由勾股定理可得， ， ，即正方形与正方形的面积之和为， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即． 解得： 故答案为． 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可． 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： 4．（22-23七年级上·山东东营·期末）我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． （1）根据直线l，直线l得，再根据得，由此得，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得线段的数量关系； （2）同（1）可证和全等，则，由此可得线段的数量关系； （3）先证，再证，根据在（2）的条件下得，由此可依据“”判定和全等，则，在中由勾股定理得，再根据，可得线段的数量关系． 【详解】（1）线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中的结论不成立，线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图： 线段的数量关系是，证明如下： ∵， ∴，即， ∵直线l，则， ∴， ∵，则， ∴， ∵在（2）的条件下，则， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 勾股定理的实际应用 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 【答案】(1)10.6米 (2)5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上即可； （2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）由题意可得， 米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）， 即风筝的垂直高度的长为10.6米； （2）由题意知，（米），米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该把线再放出5米， 故答案为：5． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 弦图问题 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得， ，，， ， ，即，解得， 的值是， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为 ．      【答案】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积，完全平方公式变形求值；根据三角形的面积为和长边与短边的和为，列方程组，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设较长直角边为，较短直角边为， 则， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 折叠问题 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，进而求出的，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：3． 网格问题 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图． 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理，运用勾股定理求出，两式相减即可得出结论． 【详解】解：在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 运用勾股定理逆定理进行计算 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， 在中，，， 由勾股定理得， 因为， 所以， 所以． 这块草坪的面积． 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．    【答案】9.6 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：9.6． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，为对角线，于，，，，，求线段的长． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判定的形状，再根据的面积不变即可求出线段的长． 【详解】解：在直角中，，，， ， ，， ， 是直角三角形，且． ， ． 最短路径问题 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，      此时这圈金属丝的周长最小为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 则， 即：这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路径是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 借助勾股定理构造图形解决代数问题 1．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 【答案】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图，      ，，，，点为上一个动点，，，则：，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 2．（21-22九年级上·山东青岛·期末）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义 例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______． 结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和． 探究二：求代数式的最小值． 解： 如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离． 所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______． 即的最小值为______． 拓展：代数式的最小值为______． 【答案】 ； ， ， ， ； ， ， ， 【分析】探究一：利用勾股定理求解即可； 应用一：利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可； 探究二：利用数形结合的思想，再根据轴对称的性质解决最短问题； 拓展：模仿例题解决问题即可． 【详解】解：探究一：． 故答案为：； 应用一：的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和． 故答案为：，，，； 探究二：建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点的距离．可以看成点与点的距离． 所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以． 即的最小值为； 故答案为：，，，，，； 拓展：， 欲求的最小值，相当于在轴上取一点，使得点到，的距离和最小． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的值最小，最小值的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理 经典基础题 题型01判断一个三角形是直角三角形 题型02运用勾股定理进行有关计算 题型03勾股定理的实际应用 题型04弦图问题 题型05折叠问题 题型06网格问题 题型07运用勾股定理逆定理进行计算 优选提升提 题型01最短路径问题 题型02借助勾股定理构造图形解决代数问题 判断一个三角形是直角三角形 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）有下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（    ） A．2，2，1 B．5，3，4 C．8，24，25 D．9，12，13 4．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．2，2，4 B．9，16，25 C．1，3， D．10，24，28 运用勾股定理进行有关计算 1．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，．若，则正方形与正方形的面积之和为（    ） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 4．（22-23七年级上·山东东营·期末）我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 5．（23-24七年级下·山东济南·期末）已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． (1)如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； (2)如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 勾股定理的实际应用 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 弦图问题 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为 ．      折叠问题 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 网格问题 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    运用勾股定理逆定理进行计算 1．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．    3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，四边形中，，为对角线，于，，，，，求线段的长． 最短路径问题 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 借助勾股定理构造图形解决代数问题 1．（22-23八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ． 2．（21-22九年级上·山东青岛·期末）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义 例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______． 结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和． 探究二：求代数式的最小值． 解： 如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离． 所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______． 即的最小值为______． 拓展：代数式的最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$