专题07 数列（12基础题型+7提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（新疆专用）

· 专题07 数列 · 数列的概念 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列第项是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示： 则第七个三角形数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 4．（23-24高二上·新疆·期末）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 数列直接代值运算 １．（22-23高二上·广西河池·期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 ２．（23-24高二上·新疆·期末）数列的通项公式，若该数列的第k项满足40<<70，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ３．（23-24高二上·新疆·期末）在数列中，已知，，且（），则（    ） A．13 B．9 C．11 D．7 ４．（22-23高二上·新疆·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（    ） A． B． C． D．或 等差数列基本量运算 １．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则=（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）记为等差数列的前项和，若，，则 ． 4．（23-24高二上·新疆·期末）设等差数列的前n项和为﹐若，则 ． 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 6．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知等差数列满足，求： (1)通项公式； (2)求前项和. 7．（23-24高二上·新疆·期末）在等比数列中． (1)若，，，求和； (2)已知，，求. 8．（23-24高二上·新疆喀什·期末）设数列满足：， ，.设为数列的前n项和，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 等比数列基本量运算 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．29 B．31 C．33 D．36 2．（23-24高二上·新疆·期末）等比数列的前n项和为，若，，则公比（    ） A．3 B． C．3或 D．2 3．（23-24高二上·新疆·期末）等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．不存在 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列中，，其前项和为，前项积为，且，，则使得成立的正整数的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）在等比数列中，满足的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·新疆·期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 ． 等差中项及下标和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列中，若，，则数列的公差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 6．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）设等差数列数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前项和为，，若，则 A．10 B．11 C．12 D．13 等比中项及下标和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 . 等差、等比数列前n项和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．12 B．36 C．31 D．33 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）在等差数列中，其前n项和为，若，，求 . 3．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知数列，都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则 . 4．（22-23高二上·新疆·期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 数列求通项公式 1．（23-24高二上·新疆·期末）设数列的前n项和为，并且，则等于（    ） A．32 B．16 C．992 D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）数列满足，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆·期末）在数列中，，，则 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆·期末）设为数列的前项和，满足，则 . 数列求和-裂项相消 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）化简式子，得（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前n项和，则数列的前n项和 ． 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设是公差不为0的等差数列，为的等比中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，求． 数列求和-错位相减 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 数列求和-分组求和 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知是等比数列，是前项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 数列求和-并项求和 1．（2011·安徽·高考真题）若数列的通项公式是，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 等差数列和等比数列的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列数列是等差数列的是（    ） A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，… C．-5，-3，-1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，有，则数列是等差数列 B．若对，有，则数列是等比数列 C．已知，则是等差数列 D．已知，则是等比数列 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数，则此数阵中所有数之和为 ． 等差、等比数列的证明 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列中，，其前项的和为，且满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)证明：. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，其中前项和为，且满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和． 4．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和. 数列单调性及最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ） A．8 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为 . 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 5．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）记为等差数列的前n项和，已知． (1)求的公差d; (2)求的最大值． 等差数列的实际应用 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A．14π B．18π C．24π D．30π 2．（23-24高二上·新疆·期末）利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（    ）（，结果精确到1m） A．18m B．19m C．20m D．21m 3．（23-24高二上·新疆·期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） 块． 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，，． 等比数列的实际应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）我国古代著名的思想家庄子在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的倍，已知这座塔共有盏灯，请问塔顶有几盏灯？”(    ) A． B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前4天共走了（    ） A．189里 B．288里 C．336里 D．360里 4．（23-24高二上·新疆·期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 5．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（    ） A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列 C． D． 6．（23-24高二上·新疆·期末）某皮革厂第1年初有资金1000万元，由于引进了先进的生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底定额扣除下一年的消费基金后，将剩余资金投入再生产．这家皮革厂每年应扣除多少消费基金，才能实现资金在第5年年底扣除消费基金后达到2000万元的目标？（精确到1万元） 7．（23-24高二上·新疆·期末）某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？ (参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665) 8．（23-24高二上·新疆·期末）贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元) (1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？ (2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元） (3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）. 数列新定义题型 1．（23-24高二上·新疆·期末）定义:若（为常数)，则称为“比等差数列”.已知在“比等差数列”中，，则的末位数字是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（23-24高二上·新疆·期末）若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”. (1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3. ①当时，求； ②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由. 数列的综合应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知数列满足，则（    ） A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题07 数列 · 数列的概念 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可. 【详解】由题意知：该数列的通项公式为，. 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项. 【详解】由数列，可发现其项数为 ，则前个括号里共有项，前个括号里共有项， 故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为， 所以第个括号里的第项是. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题. 3．（23-24高二上·新疆·期末）我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示： 则第七个三角形数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据已知归纳出第个三角形数是，即可求出结论. 【详解】依题意，可归纳得到第个三角形数是， 所以第个三角形数是. 故选：B 4．（23-24高二上·新疆·期末）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：不符合题意； 而选项D中的通项公式满足数列， 故选：D 数列直接代值运算 １．（22-23高二上·广西河池·期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】分别令，，求解即可. 【详解】对于A，令，解得：，故A不正确； 对于B，令，解得：，故B不正确； 对于C，令，解得：，故C不正确； 对于D，令解得：或（舍）,故D正确. 故选：D. ２．（23-24高二上·新疆·期末）数列的通项公式，若该数列的第k项满足40<<70，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】逐个代入验证即可. 【详解】时，，不满足，所以A错； 时，，不满足，所以B错； 时，，满足，所以C正确； 时，，不满足，所以D错. 故选：C. ３．（23-24高二上·新疆·期末）在数列中，已知，，且（），则（    ） A．13 B．9 C．11 D．7 【答案】C 【分析】根据递推公式，结合，通过赋值，即可求得. 【详解】由题意可知，. 故选：C. ４．（22-23高二上·新疆·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据“冰雹猜想”可得，结合递推关系式，分类讨论可得. 【详解】由“冰雹猜想”可知：若，则，， 若为偶数，则；若为奇数，则； 综上所述：或. 故选：D. 等差数列基本量运算 １．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件判断，再利用通项公式代入计算，解出即可. 【详解】由知，，即，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先利用等差数列通项公式及前n项和公式得，求解首项和公差d，然后分别写出数列的通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，， 即，所以故A正确，B错误． 则数列的通项公式为，故C正确． 前n项和为故D正确． 故选：ACD． 3．（23-24高二上·新疆·期末）记为等差数列的前项和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求出，再根据其通项即可得出. 【详解】解：等差数列中，，， 所以，且， 即， 所以， 解得， 所以， 故答案为：9. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设等差数列的前n项和为﹐若，则 ． 【答案】120 【分析】先由题给条件求得等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的前n项和公式即可求得的值. 【详解】设等差数列的首项为，公差为d， 则由，可得， 整理得，则 故答案为：120 5．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式和首项依次求解即可， （2）给，再利用等差数列定义即可求出通项公式. 【详解】（1），， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 6．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知等差数列满足，求： (1)通项公式； (2)求前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的性质计算即可得； （2）由等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故； （2）由，故. 7．（23-24高二上·新疆·期末）在等比数列中． (1)若，，，求和； (2)已知，，求. 【答案】(1)，. (2)或 【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前项和公式列方程组求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 又由得，解得. 所以，. （2）显然，则，， 两式相除得，解得， 时可解得，则； 时可解得，则. 所以或 8．（23-24高二上·新疆喀什·期末）设数列满足：， ，.设为数列的前n项和，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式可求的通项公式，由可得，利用等比数列的通项公式可求的通项. （2）利用等比数列求和公式可求. 【详解】（1）因为，且，故，所以， 所以为等比数列且公比为3，故， 因为，故，所以， 得 ，而，得， 因为，故，且，故为等比数列且公比为2， 故. （2）由（1）知， 故. 等比数列基本量运算 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．29 B．31 C．33 D．36 【答案】B 【分析】根据，可求出首项，公比，然后利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，， 所以，即，则. 又因为，故有. 所以，则， 所有，所有，故B项正确. 故选：B. 2．（23-24高二上·新疆·期末）等比数列的前n项和为，若，，则公比（    ） A．3 B． C．3或 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出. 【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有， 即①，所以，若，则有，与不符，所以， 所以②，联立①②两式有：，即 ，整理得，解得或. 故选：C 3．（23-24高二上·新疆·期末）等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．不存在 【答案】A 【分析】利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m. 【详解】等比数列中，，，则，则． 当时，若，则有，解得； 当时，若，则有，整理可得，无整数解．故． 故选：A． 4．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 故. 故选：C. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列中，，其前项和为，前项积为，且，，则使得成立的正整数的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项关系，求得，从而得，于是有，解不等式即可. 【详解】解：因为，，所以， 即，则， ，或，又，， ，， 则， ， 则，得，则. 选选：D. 6．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）在等比数列中，满足的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据为等比数列，列出首项和公比的方程，求出首项和公比，进而根据等比数列的通项公式的求法，求出通项公式. 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得，即或， 所以通项公式为或. 故选：AB. 7．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知等比数列{an}满足，，设其公比为q，前n项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件可求出，，进而可得通项公式和前n项和，进而可判断A，B，C，再由作差法判断D. 【详解】对于A，由，得，所以，A正确； 对于B，又因为，所以，故，所以， B正确； 对于C，，所以， C错误； 对于D，因为，因为且，所以，即，D正确. 故选：ABD 8．（23-24高二上·新疆·期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 ． 【答案】3 【分析】由等差中项得，结合等比数列的通项公式可解. 【详解】由题意，，，成等差数列，所以， 又， 所以，解得或，负值舍去． 故答案为：3 等差中项及下标和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】直接利用等差数列的性质得到答案. 【详解】1，a，9成等差数列，故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题. 2．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【解析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解. 【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6， 所以， 所以， 故选：A 3．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式可直接得到结果. 【详解】. 故选：D. 4．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列中，若，，则数列的公差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求出，再计算公差作答. 【详解】在等差数列中，，解得，而， 所以数列的公差. 故选：B 5．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】运用等差数列的性质计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则②-①可得：， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二上·新疆·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】已知两式相加，利用等差数列的性质求解． 【详解】因为，所以. 故选：C． 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）设等差数列数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】C 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式，即可直接求得结果. 【详解】根据等差数列的下标和性质，由可得：，故； 则. 故选：C. 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前项和为，，若，则 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】 ,所以 ,选B. 等比中项及下标和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由成等比数列，求出公比，由此能求出结果. 【详解】成等比数列， 当时，； 当时，. 故选：BD. 2．（23-24高二上·新疆·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【答案】4 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 等差、等比数列前n项和性质 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．12 B．36 C．31 D．33 【答案】C 【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得. 【详解】因为等比数列的前n项和为，且，所以不妨设则. 由分段后性质可知：构成等比数列. 由，即，解得：. 所以. 故选：C 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）在等差数列中，其前n项和为，若，，求 . 【答案】 【分析】列方程组求解等差数列基本量，再利用前项和公式可得. 【详解】设等差数列公差为， 由，，得， 解得， 则. 故答案为：. 3．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知数列，都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】解：，分别为等差数列、的前项和，且， ， 故答案为：． 4．（22-23高二上·新疆·期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 数列求通项公式 1．（23-24高二上·新疆·期末）设数列的前n项和为，并且，则等于（    ） A．32 B．16 C．992 D． 【答案】A 【分析】利用即可求解. 【详解】当时，. 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·新疆·期末）数列满足，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，即可得到是等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得； 【详解】解：，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，； 故选：C 3．（23-24高二上·新疆·期末）在数列中，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：在数列中， 故选A. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设为数列的前项和，满足，则 . 【答案】189 【解析】利用可得数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】为数列的前项和，满足① 当时，解得. 当时，② ①－②得：，即， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. 所以. 故答案为：189. 【点睛】本题考查法求数列通项公式，考查等比数列求和公式，是基础题. 数列求和-裂项相消 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）化简式子，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据裂项相消求和即可. 【详解】 . 故选：D 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前n项和，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，进而得到，利用裂项相消法即可求解. 【详解】∴ 又∵  ∴， 当时， ， ，满足上式∴， 故答案为：. 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系即可得解. （2）由裂项相消法即可得解. 【详解】（1）由题意，当时， 所以， 又， 所以的通项公式为. （2）由题意， 所以. 所以数列的前项和. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设是公差不为0的等差数列，为的等比中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算即得； （2）利用裂项相消法即得. 【详解】（1）设的公差为，因为为的等比中项， 所以， 解得：， 因为，所以， 故； （2）因为， 所以. 5．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的公差为2，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值. 【答案】⑴，；⑵ 【分析】（1）利用得到，解出可得通项公式． （2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值． 【详解】（1）由题意知，，即， 解得，故，． （2）由， 得， ， 由，解得． 故所求的最大正整数为5． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 6．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列及其前项和的基本量，求得首项和公差，即可求得结果； （2）利用下标的缩减，求得，再讨论的奇偶性，用裂项求和法求即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 故可得．故的通项公式为. （2）由， 当时，， 上述两式作差可得，又满足上式， 综上； 所以． 当n为偶数时…. ∴． 当n为奇数时， ∴． 故． 数列求和-错位相减 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出的值，由与的关系推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，所以，. （2）解：， 则， ， 上式下式可得 ， 故. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系可得递推公式，即可由递推公式求通项公式； （2）由错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，，则，即， ∵，，，∴，，则不恒为0，∴，即. ∵，∴当，；当，. 故的通项公式为. （2）， ①， ②， ①-②得， 则数列的前n项和. 数列求和-分组求和 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解； (2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1）设公差为d，由得， 解得 故； （2）因为，由（1）可得：， 故． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知是等比数列，是前项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据，利用，即可求解； （2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）因为，当时，， 可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以数列的前项和： . 数列求和-并项求和 1．（2011·安徽·高考真题）若数列的通项公式是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和. 【详解】由于，故.故选A. 【点睛】本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式； （2）对分组求和，其中一部分用等比数列的前项和公式计算，另一部分配对后计算． 【详解】（1）∵为各项都不相等的等差数列，设的公差为， ，且，，成等比数列.所以， 解得，∴数列的通项公式. （2）由（1）知，，记数列的前项和为， 则. 记，， 则，. 故数列的前项和. 等差数列和等比数列的定义 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）下列数列是等差数列的是（    ） A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，… C．-5，-3，-1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 【答案】AC 【分析】由等差数列的概念判断 【详解】根据等差数列的定义可知A，C是等差数列． 故选：AC 2．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，有，则数列是等差数列 B．若对，有，则数列是等比数列 C．已知，则是等差数列 D．已知，则是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. 【详解】对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确； 对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误； 对C，当时，，当时，，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对D，当时，， 时，， 时符合该式， 当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 当时，则是等于零的常数列，故D错误. 故选：AC. 3．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断. 【详解】由题意可得：等比数列的首项，公比，即， 对A：，且，即为等比数列，A正确； 对B：，且，即为等比数列，B正确； ∵，则有： 对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误； 对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误； 故选：AB. 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数，则此数阵中所有数之和为 ． 【答案】405 【分析】结合等差数列的性质求得正确结论. 【详解】， ， …… ， 所以. 故答案为：405. 等差、等比数列的证明 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列中，，其前项的和为，且满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）利用进行化简，再利用等差数列的的定义进行求解； （2）利用裂项抵消法求和，再利用放缩法进行证明. 【详解】（1）当时，, 整理得：，则， ∴数列是以首项为4，公差为2的等差数列. （2）由（1）可得： ∴，则 . 3．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列，其中前项和为，且满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，． 【分析】（1）根据题意对两边同时加3，进一步推导即可发现数列是以8为首项，2为公比的等比数列； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）证明：由题意，两边同时加3， 可得， ， 数列是以8为首项，2为公比的等比数列． （2）解：由（1）可得， 则，， 故 ． 4．（23-24高二上·新疆·期末）等差数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前项和公式，列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前项和公式，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. （2）由（1）可得，∴， ∴数列为等比数列，首项为，公比为 ∴ 数列单调性及最值问题 1．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ） A．8 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解. 【详解】设等差数列的公差为， ∵，∴，∴. ∵，，∴， ∴当取最大值时. 故选：D. 2．（23-24高二上·新疆·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为 . 【答案】8 【解析】求出数列在n的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出. 【详解】令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以取得最小值时的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断的单调性. 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 【答案】 【分析】判断出数列为等差数列，令，可得出使得取最小值时的值，结合等差数列的求和公式可求得的最小值. 【详解】解：在数列中，，则， 所以，数列为等差数列， 令，解得， 所以，当时，取最小值，且其最小值为. 4．（23-24高二上·新疆·期末）设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 【答案】(1) (2)数列的前项和为，最大值为，无最小值 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和即可求出数列的前项和，再根据二次函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）设公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）设数列的前项和为， 则， 函数的对称轴为， 所以，无最小值. 5．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）记为等差数列的前n项和，已知． (1)求的公差d; (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）直接利用等差数列的求和公式列方程求公差； （2）通过求出即可求得最大值. 【详解】（1）设的公差为d,由题意得． 由得． 公差d为 （2）由（1）得，得． 所以当时，取得最大值，最大值为16 等差数列的实际应用 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A．14π B．18π C．24π D．30π 【答案】D 【分析】每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解． 【详解】由题意可知，每段圆弧的圆心角为， 第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列： 故当得到的“蚊香”恰有9段圆弧时， “蚊香”的长度为． 故选：D． 2．（23-24高二上·新疆·期末）利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（    ）（，结果精确到1m） A．18m B．19m C．20m D．21m 【答案】D 【分析】根据题意，每一层地膜的长度成等差数列，利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】根据题意，圆柱形空筒的半径为30mm，地膜的半径是以0.1mm为公差的等差数列， 所以每一层地膜的长度成等差数列，且首项为mm，公差为，第100项为， 所以． 故选：D. 3．（23-24高二上·新疆·期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） 块． 【答案】 【分析】设每层环数为，结合已知有求n，进而应用等差数列前n项和公式求三层共有扇面形石板数. 【详解】设每层环数为，则上层最后一环有块， 中层第一环有块，最后一环有块， 下层第一环有块，最后一环有块， 所以下层比中层多，可得， 则三层共有扇面形石板块. 故答案为： 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． 参考数据：，，． 【答案】(1)， (2)年 【分析】（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可求解； （2）根据（1）中解析式，列出不等式，令，化简不等式，即可求解． 【详解】（1）解：因为年投入为万元，以后每年投入将比上一年减少， 第年投入为， 所以，年内的总投入为 ， 因为年旅游业收入为万元，今后的旅游业收入每年会比上一年增加， 则第年旅游业收入为， 所以，年内的旅游业总收入为 . （2）解：设至少经过年，旅游业的总收入才能超讨总投入，即， 即， 令，则，整理可得， 因为，则，解得， 所以，，则，则， 又因为，则，故至少到年，旅游业的总收入才能超过总投入. 等比数列的实际应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）我国古代著名的思想家庄子在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和通项公式可得． 【详解】记第日剩下部分长为，显然有，，即数列是等比数列，且公比为，所以． 故选：C． 2．（23-24高二上·新疆·期末）《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的倍，已知这座塔共有盏灯，请问塔顶有几盏灯？”(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目转化为已知等比数列公比与前7项和，求首项问题，代入等比数列求和公式即可得到答案. 【详解】根据题意可得，这座塔每层灯的数目为等比数列，其中、， 根据等比数列求和公式可得， 解得，即塔顶有3盏灯. 故选：A. 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前4天共走了（    ） A．189里 B．288里 C．336里 D．360里 【答案】D 【分析】记每天走的路程里数为，是等比数列，根据等比数列前项和公式求解. 【详解】记第天走的路程里数为，前项和为， 由题意知是等比数列，且公比为 ， ，解得， ， 故选：D. 4．（23-24高二上·新疆·期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 【答案】B 【分析】确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列， 其中，公比， 故2022年进出口累计总额约为（万亿）， 故选：B 5．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（    ） A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列 C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项. 【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列， ，即. 所以BD选项正确. 故选：BD 6．（23-24高二上·新疆·期末）某皮革厂第1年初有资金1000万元，由于引进了先进的生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底定额扣除下一年的消费基金后，将剩余资金投入再生产．这家皮革厂每年应扣除多少消费基金，才能实现资金在第5年年底扣除消费基金后达到2000万元的目标？（精确到1万元） 【答案】425万 【分析】由题意知，解此不等式可知每年应扣除消费基金． 【详解】依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为： 第二年投入再生产资金为：， 第五年投入再生产资金为：， 化简得： 故（万元）,故需要投入425万元才可实现资金在第5年年底扣除消费基金后达到2000万元的目标. 7．（23-24高二上·新疆·期末）某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？ (参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665) 【答案】甲方案. 【分析】根据甲方案，利用等比数列的求和公式，求得10年所获得的总利润，以及需要偿还银行的本息，得出使用甲方案所获纯利润，根据乙方案，利用等比数列求得10年所获得的总利润和偿还银行的本息，得出纯利润，比较即可得到答案. 【详解】甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(1＋30%)， 所以10年所获得的总利润为 S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9（万元）， 贷款到期时，需要偿还银行的本息是10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故使用甲方案所获纯利润为42.62－16.2926.33(万元). 乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5，所以10年所获得的总利润为 T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) (万元)， 从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列， 首项为1×(1＋5%)10万元，公比为， 故贷款到期时，需要偿还银行的本息是： 1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)] (万元)， 故使用乙方案所获纯利润为32.5－13.2119.29(万元). 综上可知，甲方案获利更多. 8．（23-24高二上·新疆·期末）贾先生买了一套总价为万元的商品房，首付万元，其余万元（本金）向银行申请贷款，贷款月利率.从贷款后的第一个月后开始还款（即第一次还款日距贷款发放日正好一个月），年还清.(精确到元) (1)若每月等额偿还本金（万元），则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额（贷款本金/还款月数）（本金已归还本金累计额）每月利率，请计算第个月还款金额是多少元？ (2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？（注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元） (3)请问年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？（不考虑时间价值等因素）. 【答案】(1)41850元 (2)元 (3)答案见解析 【分析】（1）分别计算各个月份的还款金额； （2）根据题干确定地推公式，进而得解； （3）分别计算前项和即可. 【详解】（1）假设程先生在第个月的还款金额是万元， 第个月还款金额：万元， 第个月还款金额：万元， 第个月还款金额：万元， 所以，第3个月还款金额为41850元. （2）设程先生在第个月时还欠银行贷款万元，每月固定还款万元， 则，，令， 则，所以， 所以是公比为的等比数列， 即 由，得万元，故每月应还款元. （3）每月等额偿还本金，由（1）知：， 所以共还款为万元； 每月还款金额相等，共还款为万元. 数列新定义题型 1．（23-24高二上·新疆·期末）定义:若（为常数)，则称为“比等差数列”.已知在“比等差数列”中，，则的末位数字是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据新定义获得数列为等差数列，进而求得其通项公式，再结合通项公式的特点即可得解. 【详解】由题意可知：，，． 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故． 所以的末位数字是的个数，即2． 故选：B． 2．（23-24高二上·新疆·期末）若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”. (1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3. ①当时，求； ②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由. 【答案】(1)①，② (2)或. 【分析】（1）①方法一：由的首项、段长、段比、段差可得，再由，即可； 方法二：根据的首项、段长、段比、段差，列出前几项，即可得到是周期为3的周期数列，即可得解； ②方法一：由的首项、段长、段比、段差，得到，从而得到是等差数列，又，即可求； 方法二：由的首项、段长、段比、段差，则，，可得是首项为、公差为6的等差数列，即可得解， （2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，由等比数列的通项公式有， 当时，，即恒成立，分和两种情况讨论，分别计算可得； 方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，分和两种情况讨论，分别求得即可． 【详解】（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， ，，， 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， ∴，，，，，，， ∴当时，是周期为3的周期数列. ∴； ②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3， ∴， ∴是以为首项、6为公差的等差数列， 又， ， ，，设，则， 又， 当时，，；当时，，， ∴，∴， ∴，得； 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3， ∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列， ∴， 易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ， ， （2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、， 则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有， 当时，，即恒成立， ①若，则，； ②若，则，则为常数，则，为偶数，，； 经检验，满足条件的的通项公式为或， 方法二：设的段长、段比、段差分别为、、， ①若，则，，，， 由，得；由，得， 联立两式，得或，则或，经检验均合题意； ②若，则，，， 由，得，得，则，经检验适合题意. 综上①②，满足条件的的通项公式为或. 数列的综合应用 1．（23-24高二上·新疆·期末）（多选）已知数列满足，则（    ） A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 【答案】ABD 【分析】先由递推关系变形构造证明是等比数列，进而可得ABC；由分组求和法可得选项. 【详解】由，得. 首先证明：数列中，. 证明：假设， 代入上式得，， 这与已知矛盾，故，又， 故数列中，. 由以上证明知，. A选项，由题意， 两边同除以得 得， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列通项公式可知， 所以，由通项可知，是单调递减数列，故B正确； C选项，，C错误； D选项，令，则， 所以，D正确． 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$