专题01 二次函数（考题猜想，易错必刷30题6种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01 二次函数（易错必刷30题6种题型专项训练） 目录 【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题） 1 【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题） 3 【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题 8 【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题 17 【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题 28 【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题 38 【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题） 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数． 利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题） 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（    ） A．图像开口向下 B．图像经过原点 C．当时，随的增大而减小，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】二次函数化成顶点式为，再根据二次函数的性质进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意； ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意； 把代入，得， ∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 7．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（，为常数，且），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧 C．若点，在抛物线上，且，，则 D．若点在抛物线上，则 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】将解析式化为顶点式，得出对称轴为直线，即可判断A选项，令，则，根据判别式，即可判断B选项，根据已知条件，可得，根据抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，即可判断C选项，根据顶点坐标，可得函数最小值，进而判断D选项． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 令，则，， 若，，， ∴则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧，故B选项正确； 抛物线开口向上，若点，在抛物线上，且，， 则，， ∴，故C选项正确； ∵，顶点坐标为，，抛物线开口向上， 若点在抛物线上，则 故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 8．（21-22九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，随的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①：∵二次函数为非零常数，， ， 又∵当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ， 若图象经过点，则， 得， ， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴， ∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， ∴该函数与x轴的两个交点为， ∴， 解得， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有 （填写序号） 【答案】③④/④③ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，将代入，即可判断①，，函数为，是一次函数，无最大或最小值，故②错误，分，根据一次函数与二次函数的性质，即可判断③，根据得出图象必过定点．即可判断④． 【详解】（1）当时，①错误． （2）当，函数为，是一次函数，无最大或最小值．∴②错误． （3）若，则，与轴有公共点． 若，则③正确． （4）． 当时，；当时，．图象必过定点． ∴④正确． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ， 当时，， 该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 解得，或， 故此项错误． ④抛物线，对称轴为直线， 抛物线经过点，， ∵是方程的两个根，其中，， 所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标， ， ∴， 故此项正确， 故答案为：①②④． 【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当P点运动到时，最大值为 (3)存在，H点的坐标为或或或 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值； （3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E， 设，则， ，其中， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 当时，最大值为，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 12．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)当时，的最大值为4 (3)存在，M的坐标是或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形， 则， 即，， 解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2)1， (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、利用二次函数对称性求最短路径 【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答； （2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可； （3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A， ∴A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角底边上的高， ∴， ∴． 把代入，解得：， ∴抛物线的解析式为即． （2）解：设直线的函数解析式为， ∵， ∴的函数解析式为． 设，，   ， ∴当时，最大为1， ∴． （3）解：∵在抛物线上， ∴． ∵是此抛物线的对称轴， ∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，; ∴最短． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段于点F． (1)求出二次函数和所在直线的表达式； (2)在动直线l移动的过程中，试求线段长度的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q，使的面积等于的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为：，所在直线的表达式为：； (2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，，，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为，则，由待定系数法求出所在直线的表达式即可 （2）设点的横坐标为．可得，，则，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由的面积等于的面积，可得点Q与点C的到x轴的距离相等，所以点Q的纵坐标为，代入二次函数关系式，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得：， 解得：， 所在直线的表达式为：； （2）解：设点的横坐标为． ，， ， ∴当时，的最大值为， 此时点P的坐标为． （3）解：∵的面积等于的面积， ∴点Q与点C的到x轴的距离相等， ， ∴点Q的纵坐标为， ∴， 解得：（舍去）， ∴点Q坐标为，，． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、三角形的面积；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题 15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、、代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 16．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 17．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)存在， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质， 根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可； 联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P． 【详解】（1）解：令，即， 解得或 ∴，， 则， 当时，， ∴，， ∴． （2）存在这样的点，理由如下， 联立， 解得或， ∴， ∵， ∴． 连接、，如图， 则 ∵ ∴． ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 则直线的解析式为：， ∵时，， ∴． 18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列一次函数解析式并求值、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式； （2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答． （3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答． 此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，， 故点的坐标为， ，两点的纵坐标相同， 轴， 点到的距离为， ． （3）解：∵，，， ∴关于对称轴对称， ∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接， 此时周长最小， ∵， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得出， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴． 19．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可求出答案； （2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点，得到即可求出答案． 【详解】（1）解：将代入二次函数，得： ， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点， ， ， 由图像可知，， E为的中点， E点坐标为， 的平分线交于点D， ， 故得， 由勾股定理，得 ， ， ． 【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题 20．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴， 由抛物线的对称性可知：点与点关于对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点， 设，如图所示，过点作轴交于点， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值是， ∴， 此时点坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②在①的条件下，的面积不是最大，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，根据二次函数求最值，二次函数面积问题等知识． （1）直接把点代入抛物线解析式即可得出m的值，则可得出抛物线解析式． （2）①若，则，求出，B，C点的坐标，设点，然后用待定系数法求出的解析式，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得，可得出，再证明是等腰直角三角形，进一步得出，则，再利用二次函数的性质即可得出当，取得最大值．②在①的条件下，，可得出当时，的面积最大，即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为， （2）①若，则， ∴抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， 设点 设直线BC的解析式为， ∴解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，可得， ∴， 由，可知 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值 ∵，符合题意，取得最大值时，． ②在①的条件下，的面积不是最大，理由如下： 由①可知． ∵， ∴当时，的面积最大． 22．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，如图1， 则， ， ； ②设，由①可知， ， ， ， 解得或， 点坐标为或， 即存在满足条件的点，其坐标为或． 23．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）求出直线的解析式为，作轴交于点H，设，则，列出关于p的二次函数关系式，即可求解； （3）设点N的坐标为，分别考虑当点N在x轴上方时，以及当点N在x轴下方时，利用建立一元二次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于点H， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：，，， ，， ； 设点N的坐标为， 当点N在x轴上方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 当点N在x轴下方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 综上可知，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，抛物线中三角形面积的最值问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 24．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)m有最小值， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解． （3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由，，得 ， 即， 把A，B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于M点，如图1 由，得的解析式为， 设P点坐标为． 的长为， ， ； 由，得 ． 化简，得，解得， 点坐标为或； （3）解：m有最小值，理由如下： 在上作，如图2 作关于对称轴的对称点，连接， 取得最小值为． 在中，由勾股定理，得 ， ． 【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题 25．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是． (1)求A，C两点的坐标． (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)； (3)存在，面积有最大值，P点坐标为． 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，再根据图象上点的坐标特点求A、C的坐标； （2）根据D点的平移情况确定函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，即可求平移后的函数解析； （3）过点P作轴交于点Q，设，则，可得，当时，的面积有最大值，此时P点坐标为． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 当时，， 解得或， ∴； （2）当时，， ∴， ∵平移后D点到A点位置， ∴函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴； （3）存在点P，使的面积最大，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ∴， ∴ 当t时，的面积有最大值， 此时P点坐标为． 26．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数的平移、点的平移、关于原点对称的点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得a的值即可解答； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：将代入中可得，，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，则将点P向上平移2个单位长度得到点， ∴， ∵关于原点对称的点的坐标为， ∴，解得， 或． （3）解：∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，解得， ， ． 27．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，左右平移只针对，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知的对称轴为直线，两点关于直线对称，，又因点是线段的三等分点，所以可分为两种情况，和，将线段长度代入即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． （2）① 由题意可知，的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ； ②的表达式为， 当时，的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：， 当时，， 的表达式为； ③ 如图，由题意可知，的对称轴为直线，两点关于直线对称，两点关于直线对称， ， ， 由平移得，， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 当时，即， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质（增减性、对称性）、二次函数草图的画法、求解二次函数的顶点式、平移对二次函数图像及解析式的影响，根据题意画出相对应二次函数的草图是解题的关键． 28．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； （2）存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 29．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点． (1)求二次函数解析式； (2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3)点，， 【知识点】二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据题意列方程得到，解方程即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，求得，解方程组得到点、的坐标分别为、，根据勾股定理即可得到结论； （3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，求得直线的表达式为，得到点，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， ， ， 二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上， 时，， ， ， ， 二次函数解析式为； （2）存在；， 点是二次函数图象的顶点， ， ， 联立两个函数表达式得， 解得或， 即点、的坐标分别为、， 由点，，的坐标， 得， ， ， 是斜边， ， 解得， ； （3）设点，则点， 由（2）知，点、的坐标分别为、， 由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 由题意得：，解得：， 所以直线的表达式为， 当时，，故点，， 面积， ，故面积有最大值，此时， 故点，， 当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点， 故点， 则的最大值． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键．． 30．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）． ①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式； ②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长； ③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标 (2)①；②的长为；③关于的函数表达式为，的最小值是 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】 （1）将抛物线的解析式化为顶点式即可求解； （2）①依题意得出，设平移后的抛物线为，将点代入解析式即可求解； ②根据二次函数图象的对称性得出，，即可求解； ③点的横坐标为，由②可得，根据，得，设平移后的解析式为，将点代入得，根据勾股定理得出即关于的函数表达式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解： ∴顶点坐标； （2）解：①∵，点的横坐标为， 令， ∴， ∵平移后的抛物线顶点在直线上， 设平移后的抛物线为，将点代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为 ②∵，对称轴为直线 ∵点的横坐标为， 关于对称，则，关于对称，则， ∵点在点的左侧 ∴ ∴的长为； ③∵点的横坐标为，由②可得， ∵， 则 解得， ∴平移后的抛物线顶点在直线上， 设， 设平移后的解析式为，将点代入得， ∴ 即 ∵ ∴表达式为 ∴当时，取得最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求顶点坐标，线段长度问题，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． $$专题01 二次函数（易错必刷30题6种题型专项训练） 目录 【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题） 1 【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题） 3 【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题 8 【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题 17 【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题 28 【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题 38 【题型一】利用二次函数的定义求参数（共5题） 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 3．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数是二次函数，则m的值为 ． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 【题型二】含参数的二次函数的图象和性质（共5题） 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（    ） A．图像开口向下 B．图像经过原点 C．当时，随的增大而减小，则 D．当时，随的增大而增大 7．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（，为常数，且），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧 C．若点，在抛物线上，且，，则 D．若点在抛物线上，则 8．（21-22九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，随的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 9．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有 （填写序号） 10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 【题型三】利用二次函数的图象和性质求线段最值问题 11．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 14．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为上方抛物线上一动点，过P作垂直于x轴的直线l交线段于点F． (1)求出二次函数和所在直线的表达式； (2)在动直线l移动的过程中，试求线段长度的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q，使的面积等于的面积，若存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型四】利用二次函数的图象和性质求周长最值问题 15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 16．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 18．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 19．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值． 【题型五】利用二次函数的图象和性质求面积最值问题 20．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a． (1)已知点，求抛物线的解析式． (2)若， ①如图，当点P位于第一象限时，过点P分别作于点E，轴于点N，当取得最大值时，求a的值； ②在①的条件下，连接，，判断此时的面积是否为最大，并说明理由． 22．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【题型六】利用二次函数的图象和性质求平移后综合问题 25．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是． (1)求A，C两点的坐标． (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值． 26．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 27．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为． ①当满足_______时，随的增大而增大； ②直接写出的函数表达式； ③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标． 28．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 29．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点． (1)求二次函数解析式； (2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值． 30．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和（点在点的左侧）． ①平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式； ②平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长； ③设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值． $$