5.5三角恒等变换导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 学习目标:1.推导两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式;2.理解二倍角公式;3.能运用上述公式进行简单的恒等变换；4.解决简单的实际问题. 学习过程： 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 2、 学习探究： 知识点1：两角差的余弦公式 例１：利用公式证明： （１）; （２）． 例２： 已知，, ，是第三象限角，求的值． 变式练习： 1. . 2. . 3. 已知，则的值为 . 4. 已知 知识点2：两角和的余弦公式 例3：= . 例4：（ ） A. B. C. D. 知识点3：两角和与差的正弦公式 例5：求下列各式的值. （1） （2）； （3） 例6：（1） . （2） . 知识点4：两角和与差的正切公式 例7：求的值. 例8：化简下列各式 （1） （2） 例9：已知，，则（ ） A. B. 7 C. D.-7 例10：设是方程两个根，则的值为（ ） A.-3 B. -1 C. 1 D. 3 知识点5：三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式（收缩代换） 1.角的代换 常用角的代换形式： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 已知是锐角，且，，则的值为 . 2.常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如，，，1=等.再如，，，等常数均可以视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数代换为三角函数值使用.例如=. 的值为 . 3.辅助角公式（收缩代换） 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 例11 将下列各式化成的形式： （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6）； （7）. （8） 1.给角求值 （1） （2） （3） 2.给值求值（条件求值） （1）已知，求的值. （2） 在△ABC中，，，求的值. （3） 已知，求的值. （4） 已知，求的值. （5） 已知，，求的值. 3.给值求角 （1）已知，且和均为钝角，则的值为 . （2） ，且，则的值为 . （3） 已知均为锐角，且，则= . 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： . = = . 例1：已知求的值． 例2：在△ABC中，， 例3：已知求的值． 巩固训练 1. 已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 2. 已知，求sin,cos,tan 3. 已知 4. 设，，则的值是______． 5.求下列各式的值 （1）sin15°cos15°; （2） （3）； （4）2cos222.5°-1 6.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 7. 已知函数 （1）求的最小正周期及最大值； （2）若，且，求的值． 一、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 二、半角公式（只要求推导，不要求记忆） ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 三、积化和差与和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 四、万能公式 ； ； 题型一 半角公式与万能公式的应用 【例1】已知，，则（ ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】若，则的值为________. 题型二 积化和差与和差化积的应用 【例2】下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】若， ，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】求值：. 【变式2-3】在中，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三 三角恒等变换的化简问题 【例4】化简=（ ） A．1 B． C． D．2 【变式4-1】化简（ ） A． B． C．2 D． 【变式4-2】若，则（ ） A．1 B． C． D． 题型四 三角形中的三角恒等变换 【例5】在中，若，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式5-1】已知，角所对应的边分别为，且，则是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【变式5-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式5-3】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________. 3、 学习小结 4、 自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 1 学科网（北京）股份有限公司 $$