5.2三角函数的概念导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 学习目标:1.理解任意角三角函数的定义;2.能求特殊角的三角函数值;3.知任意角终边上一点求三角函数值；4.掌握三角函数的值在各象限的符号；5.掌握诱导公式（一）；6.掌握同角三角函数的基本关系. 学习过程： 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 2、 学习探究： 问题1：在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，能说出锐角三角函数的定义吗？ 问题2：当时，点的坐标是什么？ 追问：（1）求点的坐标要用到什么知识？ （2）求点的坐标的步骤是什么？ （3）如何利用上述经验，当时，求点的坐标？ 三角函数的定义： 设角是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点. （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ,即 ； （2）点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即 ； （3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 ． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为: 正弦函数 余弦函数 正切函数 例1 利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值. 特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点P与原点的距离为．求证：，，． 三角函数概念：一般地，对于任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为， 即 练习1. （1）设是一个任意角，它的终边上任意一点的坐标为，求：，，． （2） 设是一个任意角，它的终边上任意一点的坐标为，求：，，． 练习2.（1）角的终边过点，则 . （2）已知角的终边过点，则 . （3）已知角的终边过点，则 . （4）已知角的终边过点，则 . 问题3：结合上述计算和三角函数的定义，你能总结出三个三角函数值在不同象限的符号吗？在各个坐标轴上又如何？ 各三角函数符号（在象限内填“”“”） 三角函数在各个象限内的符号口诀是： . 例3.确定下列三角函数值的符号： ①；②　 ③； ④； ⑤； ⑥． 练习3.（1）若，试问角为第几象限角？ (2)若且，试问角为第几象限角 (3)使成立的角的集合为 . 问题4：终边相同的角的同一三角函数值会有什么关系？ 诱导公式一： . . . 例4. 例5.角的终边过点，则 . 问题5：同角三角函数的有什么关系？ 同角三角函数的基本关系： . 例6. 以下式子正确的有哪些？ (1) (2) (3) (4) 练习4（1）已知,为第二象限角，求的值. （2）已知，且为第三象限角，求的值。 （3） 已知，求的值。 （4）化简：1. 2. 题型一：同角三角函数公式求值 1.已知角为第二象限角，，则___________． 2.已知，则___________． 3. 已知，求，的值. 4. 已知，，则___________． 5.下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A．且 B．且 C．且 D．（为第二象限角） 题型二： 弦的齐次式问题 1.已知角的终边过点，求： ①；②；③ 2. 已知，则___________． 3. 已知，且，则___________． 4.若，则的值是___________． 4. 若，则___________． 题型三： 知一求二问题 1.已知 ，且 ，给出下列结论： ①；② ；③；④ . 其中所有正确结论的序号是___________． 2.已知，，求下列各式的值. （1）； （2）. 3.已知，则___________． 5. 已知为三角形的内角，，则的值为___________． 5.已知，则的值等于___________． 3、 动手试试： 1.角的终边上有一点，则 . 2.已知角的终边经过点，则的值为 . 3.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 . 4.已知角的终边经过点，则的值为 . 5.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则 . 6.已知角的终边经过点，且，则 . 7.点所在的象限是 . 8.已知角的终边与单位圆交于点，则 . 9.直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为 . 10.若角的终边上有一点，则 . 11.计算下列各式的值： (1)； (2). （1）； （2）. 12.下列各式的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 4、 学习小结 5、 自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 六、拓展提升 1.已知角的终边在射线上，则角的正弦值为 . 2.设，如果且，则的取值范围是 . 3.设角属于第二象限，且，则角属于第 象限 4.若，且，则是第 象限 5.点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 . 6.已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则 . 7．已知函数，若，则 . 8.“，且”是“角x的终边在第四象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 多选题 9．已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 11．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ） A． B．α为钝角 C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限 12.已知角的终边经过点，且满足． (1)若为第二象限角，求值； (2)求的值． 13．已知角的终边所在的直线上有一点，. （1）若，求实数m的值； （2）若且，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$