1.2圆的对称性（分层提升练）（题型专练）数学鲁教版九年级下册

1.2圆的对称性（分层提升练40题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（2025·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，则的度数是 ． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，，是的两条弦，且，求证：． 18．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    19．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 20．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 21．（21-22九年级上·北京·期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 22．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    23．（20-21九年级上·浙江温州·期中）如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 24．（19-20九年级·江苏泰州·阶段练习）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    25．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 26．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 27．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 28．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（    ） A．1 B． C． D． 31．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在中， 满足 ，若， 则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 35．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 36．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点都在上，且，则的半径为 ． 37．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，，，动点P在上，则的最小值为 ． 38．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证： (1)； (2)． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2圆的对称性（分层提升练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： ， ，故A正确； ， ， ， ，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出答案． 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 6．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，根据弧、弦、圆心角的关系逐项判断即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，不合题意； 、由已知条件无法判断与相等，故无法判断与相等，该选项错误，符合题意； 故选：． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，弧与圆心角之间的关系，根据，则可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点， ∴， ∵， ∴，A正确，故不符合要求； 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，B正确，故不符合要求； ∵，，， ∴， ∴，C正确，故不符合要求； 由题意知，当时，，D错误，故符合要求； 故选：D． 10．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的直径为 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据弧与圆心角的关系可得，由此即可得． 【详解】解：∵是直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴ ∴弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为， 故答案为：或 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，，是的两条弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【详解】， ， ， ． 18．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】解： ， ， ， ． 19．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用，，得出，，即可得，即可证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 20．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 21．（21-22九年级上·北京·期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【答案】见解析 【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】证：∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系． 22．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    【答案】． 【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角． 【详解】∵周角是360°， ∴， ， ． 【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比． 23．（20-21九年级上·浙江温州·期中）如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由AB＝CD，根据弧与弦的关系，可得，继而证得，则可证得AC＝BD． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 即． ∴． 【点睛】此题考查了弦与弧的关系，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 24．（19-20九年级·江苏泰州·阶段练习）已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【答案】详见解析 【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 25．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 26．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，圆周角定理的推论，弧、弦、圆心角的关系，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据平行线的性质可得出，从而得出，即可证． 【详解】证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 28．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 29．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，先由弧与圆心角之间的关系求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直径所对的角是直角得到，再根据圆周角相等得到，最后在中，由勾股定理求出直径即可得到答案． 【详解】解： 是的直径， ， ， ，则， 在中，，则由勾股定理可得， 的半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、直径所对的角是直角、弧与弦的关系、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 31．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在中， 满足 ，若， 则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取中点可得，据此判断即可． 【详解】解：取中点，连接交 ， ∵取中点，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴各个选项中长可能是4， 故选：D． 32．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查圆中有关定义．利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误； ③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误； ④直径是圆中最长的弦，故原说法正确， 正确的只有1个， 故选：A． 33．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 34．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C． 35．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 36．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点都在上，且，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆周角定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理即可解决问题．作使，过作交延长线于，连接，得到，推出，由圆周角定理推出，由三角形外角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，求出，，由勾股定理得到，求出． 【详解】解：作使，过作交延长线于，连接，过作交于， ， ， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径是． 故答案为：． 37．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，，，动点P在上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，解决线路最短问题的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的线段即为最近距离．依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短求最近距离．首先要确定点P的位置，作点C关于的对称点F，连接，交于点P，则点P即为所求作的点．且此时的最小值为，由直角三角形性质及勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点F，连接，与交于点P，连接． ∴， ∴， ∴的值就是的最小值． 延长，与圆O交于点E，连接． ∵， ∴， ∴弧的度数为：， ∵， ∴弧的度数为， ∴弧的度数为， ∴弧的度数为：， ∴， 又∵是直径， ∴， ∵的半径为4， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 故答案是：． 38．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键 （1）连接、，证明三角形全等即可； （2）只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接、，如图示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$