4.3 等比数列导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3 等比数列 学习目标:1.等比数列、等比中项的概念和性质；2.等比数列通项公式的推导与应用。3.理解等比数列的前n项和公式的推导方法；4.掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 4.3.1 等比数列的概念 【问题1】观察下面几个数列，你能发现它们的取值规律吗？ 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:① ② ③ 2. 《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ④ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为 r ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 【问题2】类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 追问1：等比数列的定义中，“q≠0”的原因是什么？ 追问2：能否用符号语言表示等比数列的定义？ 追问3：这种表述是否严谨？是否还有其它方式？ 例1：判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）3，9，18，36，72，144； （2） 4，-8，16，-32，-128. （3）2，2，2，2，…； （4） 【问题3】观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等比数列？ （1）1， ，9 （2）-1， ，-4（3） -12， ，-3 （4）-1， ，16 等比中项： 1.“”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件 A．既不充分也不必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．充要 2.若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（ ） A．32 B． C． D． 3.公差不为0的等差数列的前项和为，若，为与的等比中项，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【问题4】能否找到等比数列的通项公式？ 1.在等比数列中，公比为q． （1）若，，求通项公式； （2）若，，求q并写出通项公式； （3）若，，，求项数n． 2.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 3.已知等比数列的公比为，试用的第项表示. 4.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列. 5. 已知数列满足，若，则（ ） A． B．1 C．6 D．12 6. 在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（ ） A． B． C． D． 7. 已知等比数列满足，，则(   ) A.21          B.42          C.63          D.84 8.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则( ) A. B. C. D. 9. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 等比数列与指数函数的关系 等比数列的性质 1.等比数列{an }中，若m,n,r,s∈N+，且m+n=r+s，则am·an=ar·as. 2..递增等比数列{an }中，a3 +a6 =9,a4 a5=8,则数列{an }的公比为____． 3.已知等比数列的前n项和为，且公比，，，则( ) A. B. C. D. 例2 已知数列{an }的首项a1=3． （1）若{an }为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列； （2）若{an }为等比数列，公比，证明数列{}为等差数列. 结论：1. 若数列{an }是等差数列，则数列{}是等比数列； 2.若数列{an }是各项均为正的等比数列，则数列{}是等差数列． 题型一 等比数列的性质及应用 1. 在正项等比数列中，已知，则________． 2. 设是等比数列，且，，则（ ） A．12 B．2 C．30 D．32 3. 已知等比数列中，，则公比（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：等比数列通项公式的推广及应用 1.在等比数列中，公比，若，则______． 2.已知数列满足，，则______． 3.数列是等比数列，且，，则___________． 4.已知数列满足，且，则______． 5.在等比数列中，存在正整数m，有，，则＝________. 题型三 等比数列的证明 1.已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比． 2.设数列满足，其中.证明：是等比数列； 3.已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列. 4.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数． （1）对于任意实数，证明：数列不是等比数列； （2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论． 题型四 等比数列的单调性与最值 1.设是公比为的等比数列，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2.设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ） A．， B．， C． D． 3.（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 4.（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 4.3.2 等比数列的前n项和公式 探究一：等比数列的前n项和公式 例1 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 1.在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 2.已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q. 探究二：等比数列的前n项和的性质 1. 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 2.已知是等比数列的前n项和,且公比,其中,且满足,则下列说法错误的是( ) A.数列的公比为2 B. C. D. 3.已知首项为2的等比数列的前n项和为，且，，则的值为( ) A.6 B.14 C.30 D.62 考点五 等比数列中与的关系 1.已知数列的前n项和为，若，则( ) A. B. C. D. 2.若数列的前n项和为，且，则等于( ) A. B. C. D. 3.等比数列的前n项和，则k的值为（ ） A．全体实数 B． C．1 D．3 4.在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5.已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6.数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ） A． B． C． D． 题型六 等比数列的片段和的性质 1.已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（    ） A．64 B．66 C． D． 2.已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 3.记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 4.已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 . 考点七 等比数列奇、偶项和的性质 1.已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 2.已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 3.已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 4.已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 考点八 等比数列前n项和其他性质 1.等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2.已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.等比数列的前n项和为，则r的值为 A． B． C． D． 4.等比数列的前项和为，则数列的前项和为 A． B． C． D． 5.已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ． 题型九 数列求和 1.已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 2.数列的前n项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项． 3.已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣3•2n+4，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Tn为数列{Sn﹣4}的前n项和，求Tn． 5.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn为数列的前n项和，求Tn． 6.已知数列中，，，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项的和为，求. (3)设，设数列的前项和，求证：. 7.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn﹣an）+2an＝0 （Ⅰ）证明数列{}是等差数列； （Ⅱ）求Sn和数列{an}的通项公式an； （Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Tn． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$