4.2 等差数列导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 学习目标:1.掌握等差数列的定义以及等差数列的通项公式.2.等差数列的前n项和公式的推导及应用. 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 4.2.1 等差数列的概念 【问题1】观察下面几个数列，你能发现它们的取值规律吗？ (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81．① (2)S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48． ② (3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25，24，23，22，21． ③ (4)某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人月贷款利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为： ，，，，…. ④ 【问题2】具有上述变化规律的数列叫做等差数列，能否给出等差数列的概念? 追问1：公差可以是0吗？ 追问2：能否用符号语言表示等差数列的定义？ 追问3：这种表述是否严谨？是否还有其它方式？ 【问题3】观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等差数列？ ①2,______,4；②-1,______，5；③0,______,0；④,______,. 等差中项： 【问题4】能否找到等差数列的通项公式？ 例1：你能写出下面这些数列的通项公式吗？ (1)5，9，13，17，21，… (2)9，7，5，3，1，… (3)6，6，6，6，6，… 【问题5】观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？ 追问5：反之，由一次函数（为常数）得到的数列一定是等差数列吗？ 例2 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差. 例3 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？ 练习：1在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，，求. 2. 已知在等差数列中，， ，求． 3.已知数列中，，，则 . 4.设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．3700 5.数列中，，，若数列是等差数列，则 ． 题型二 等差数列的性质 例4 已知等差数列的首项公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原来的数构成一个新的等差数列. （1） 求数列的通项公式. （2） 是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 思考：如果插入个数，那么的公差是多少呢？ 问：已知一个无穷等差数列的首项公差为. （1） 将数列中的前项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2） 依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是首项和公差是多少？ （3） 依次取出数据列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 例3 （1）在等差数列的，则 . （2）已知数列是等差数列，，且.求证：. 练习：（1）在等差数列中，，，则 . （2）如果等差数列中，，那么 . （3）已知为等差数列，，则的值为 . 题型一 等差中项及其应用 1.已知，，则a，b的等差中项为（ ） A． B． C． D． 2.等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（ ） A． B． C． D． 3.在等差数列中，，则（ ） A．14 B．16 C．18 D．28 4.已知数列是等差数列，且满足，则（ ） A． B． C． D． 5.已知数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 题型二 等差数列的性质 1.在等差数列中，若，则______． 2.已知数列，都是等差数列，且，，则（ ） A． B． C．1 D．2 3.在等差数列中，，，则（ ） A．4 B． C．3 D．2 4.设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______． 5.（多选）已知等差数列满足，则（ ） A． B． C． D． 题型三 等差数列的证明 1.已知数列的通项公式，判断数列是否为等差数列？并证明你的结论． 2.在数列中，有,证明：数列为等差数列，并求其通项公式. 3.已知数列的前n项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； 4.2.2 等差数列的前n项和公式 问题1 计算1＋2＋3＋…＋100的值. 问题2 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 问题3 计算1＋2＋3＋… ＋n. 问题4 倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？ 【追问1】等差数列前n项和公式有什么特点？ 【追问2】只要知道等差数列的首项和公差，数列就完全确定了，那么你能根据等差数列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？ 例1：已知数列是等差数列. (1) 若； (2) 若； (3) 若 例2：已知一个等差数列前10项和是310，前20项和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 3. 等差数列的前n项和为. 若，求. 题型四 由等差数列的前n项判断等差数列 1.若是数列的前项和，若，则 是（ ） A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列 2.已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A．数列是等差数列 B．对任意的自然数都有 C．是等差数列 D．是等差数列 题型五 等差数列前n项和与中项性质 1.已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．38 B．50 C．36 D．45 2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知在等差数列中，则项数为 A． B． C． D． 4.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ） A．2007 B．2008 C．2009 D．2010 5.已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（ ） A．11 B．12 C．21 D．22 题型六 等差数列片段和的性质 1.等差数列的前n项和为，若，，则（ ）． A．27 B．45 C．18 D．36 2.在等差数列中，其前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．20 4.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ） A．10 B．15 C．20 D．40 5.已知等差数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 题型七 等差数列前n项和与n的比值 1.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 2.等差数列的前项和为，若且，则( ) A． B． C． D． 3.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于( ) A． B． C． D． 4.已知等差数列的前项和为，，，则___________. 5.（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（ ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 题型八 两个等差数列前n项和的比值 1. 两个等差数列则=（ ） A． B． C． D． 2.设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ） A． B． C． D． 3.已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ） A． B． C． D． 4.若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ） A． B． C． D． 5.两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ） A． B． C． D． 6.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型九 等差数列的奇数项与偶数项和 1.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）． A．30 B．29 C．28 D．27 2.已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ） A． B． C． D． 2. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ） A． B． C． D． 4.已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ） A． B． C． D． 5.已知数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 6. 已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________． 题型十 等差数列前n项和的最值问题 1.等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ） A． B．52 C．54 D．55 3.设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ） A．4045 B．4044 C．2023 D．2022 4.若等差数列满足，则的最大值为__________． 5.设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（ ） A．1 B．4 C．7 D．8 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$