4.1数列的概念导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念 学习目标:1.了解数列的概念、表示方法.2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列性质。3.理解数列的通项公式的意义.4.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.5.理解与的关系. 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 探究一：数列的概念 数列的定义： 数列的一般形式： 有穷数列： 无穷数列： 问：符号和是否相同？ 例1：有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为； ②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列； ③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列； ④1，1，1，…不能构成一个数列.其中说法正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 探究二：数列与函数的关系 数列能否看作是一个函数？如果能，数列的定义域又有怎样的特点？ 定义域 解析式 值域 表示方法 问：函数与数列的区别？ 类别 含义 按项的个数 有穷数列 无穷数列 按项的变化趋势 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 探究三：数列的通项公式 数列的通项公式： 例2：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图像． （1） （2）． 1.若数列的通项公式是，则该数列的第10项_______，224是该数列的第_______项． 2.已知数列的通项公式为,则_______.  3.已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（ ） A．4 B．12 C．24 D．32 例3．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式： （1）； （2） ； （3）1，-3，5，-7，9，…； （4）； （5）9，99，999，9 999，…； （6）． 方法总结： 1．根据数列的前几项写通项公式的具体思路为： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．或常常用来表示正负相间的变化规律． (4)对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答． 2．常见数列的通项公式 (1)数列-1，1，-1，1，…，的一个通项公式是_______，数列1，-1，1，-1，…，的一个通项公式是_______． (2)数列1，2，3，4，…的一个通项公式是_______ (3)数列1，3，5，7，…的一个通项公式是_______ (4)数列2，4，6，8，…的一个通项公式是_______ (5)数列1，2，4，8，…的一个通项公式是_______ (6)数列1，4，9，16，…的一个通项公式是_______ (7)数列1，3，6，10，…的一个通项公式是_______ (8)数列，…，的一个通项公式是_______ 1.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有_______小圆圈.  2.已知数列,…,则5是该数列的第_______项.  3.若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 4.已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（ ） A．第58项 B．第59项 C．第60项 D．第61项 例3：数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 例4：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 探究四：数列的递推公式 递推公式： 1.在数列{}中，若，，则=______. 2.已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 3.已知数列满足，对任意的都有，则（ ） A． B． C． D． 4.在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5.已知，，则数列的通项公式是（ ） A． B． C． D．n 6.已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ） A． B． C． D． 7.数列满足，且，则（ ） A．4043 B．4044 C．2021 D．2022 8.已知数列满足，则（ ） A．32 B． C．1320 D． 探究五：数列的前n项和 数列的前项和： 1. 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 2. 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 3. 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 4. 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 5.已知数列的前n项和为，且，，则（ ）． A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 6已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________. 7.已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______． 8.若数列满足，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 9.已知在数列中，，，则__________． 10.记数列的前n项和为，已知，，则 探究六 数列的单调性的判断 1.已知，则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 2.已知数列的通项公式是，则（ ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 3.已知数列的通项公式为，则该数列为（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摇摆数列 D．先增后减数列 4.函数的图象在下列图中并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ） A． B． C． D． 5.在数列中， ， ，则（ ） A．数列单调递减 B．数列单调递增 C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减 6.已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 探究七 求数列的最大（小）值 1.已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 2.在数列中，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 3.（多选）数列满是，则（ ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 4.已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ） A． B． C． D． 5.已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 6.已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ） A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项 7.已知数列满足，则数列的最大项为（ ）． A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 8.已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 9.若数列满足，若恒成立，则的最大值（ ） A． B． C． D．3 探究八 与周期有关的数列问题 1. 在数列中，，，则等于（ ）． A． B． C． D．2 2.数列满足，则（ ） A．2022 B．2020 C． D． 3.在数列中，，，，，则（ ） A．0 B．1 C． D． 4.已知函数，若数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 5.已知数列满足，，且（n为正整数），则__________ 第 11 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$