6.3.3余角和补交（分层培优提分练40题）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

6.3.3余角和补交（分层培优提分练40题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·全国·期末）在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（18-19七年级上·浙江·课后作业）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）如果一个角的度数比它的余角的2倍少，那么这个角的度数是（　　）． A．30 B．40 C．50 D．60 7．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，A，O，B三点在一条直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（16-17七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 10．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，点O在直线上，平分，，下列说法不一定正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互余 D．与相等 12．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知一个角等于，则它的补角等于 ． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知， 那么余角的大小为 ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点O是直线上一点，，，则图中相等的角有2对（小于直角的角），分别是 ． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：； 与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号） 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ． 三、解答题 19．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）计算：； （2）若锐角的补角是，求锐角的余角的度数． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知和互为补角，并且的一半比小，求，的度数． 亮亮的解答如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小，所以， 所以， 解得，所以． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 21．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 22．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是的平分线，是的平分线，．求的度数．    24．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 28．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 29．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 30．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①；②；③；④与互余，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（13-14七年级上·贵州遵义·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为 ． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 33．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 34．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 37．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 38．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 39．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数． 【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题． 在图①中，当射线在的内部时，由题意易得； 在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．      【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题 (1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． (2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． ①若，求的垂角； ②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数． 40．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3余角和补交（分层培优提分练40题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选A 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了等角的补角相等，根据等角的补角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的知识，根据题意可得，化简求解即可． 【详解】由题意得：， 解得： 故选：C． 4．（23-24七年级上·全国·期末）在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考考查了补角和余角的知识，几何中角度的计算，理解补角和余角的性质是解答本题的基础．根据补角和余角的性质求出和，即可求出． 【详解】解： ∵的补角是，的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 5．（18-19七年级上·浙江·课后作业）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关计算与角平分线的定义．结合已知条件与角平分线的定义解题即可． 【详解】解：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：B． 6．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）如果一个角的度数比它的余角的2倍少，那么这个角的度数是（　　）． A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】此题考查了余角的知识，熟悉相关性质定义是解题的关键． 根据互为余角的定义结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则它的余角是， 根据题意，得： ， 解得：， 即这个角的度数为． 故选：C． 7．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，A，O，B三点在一条直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求邻补角，由角的和差关系可得出，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（16-17七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角、平角定义．根据同角的余角相等，补角定义，平角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第1个图中，，符合题意； 第2个图中，根据同角的余角相等，，符合题意； 第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：，， ∴，符合题意； 第4个图中，根据图形可知与是邻补角， ∴，不符合题意； 综上， 的图形有3个． 故选：C． 9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 10．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论． 【详解】解：， 表示的余角，故①正确； 与互补， ， ，， ， ， 表示的余角，故②正确； ， ，故③错误； ，故④正确； 故选：C． 11．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，点O在直线上，平分，，下列说法不一定正确的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互余 D．与相等 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系以及平角定义可得，，从而可得，再利用同角的余角相等可得，最后根据，从而可得，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B、C、D都正确； ∵， ∴， 故A不正确； 故选：A． 12．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）在同一平面内，点O在直线AD上，与互补，，分别为与的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用角平分线求角度，几何图形中的角度计算，补角的定义，由题意，得到，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、O、C三点不共线时，；③当点B、O、C三点不共线时，；结合角平分线的定义，即可求出答案．解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图形，运用分类讨论的思想进行分析． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵，分别为，的平分线， ①当点B、O、C三点共线时， 则； ∵， ∴点B、O、C三点共线时，不符合题意； ②当点B、O、C三点不共线时，，如下图： 则， ∵， ∴； ③当点B、O、C三点不共线时，，如下如： 则， ∵， ∴； 综上所述，； 故选：D． 二、填空题 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知一个角等于，则它的补角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据补角的定义“若两个角的和等于，则这两个角互补”进行计算即可． 【详解】解：一个角等于，则它的补角等于：， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知， 那么余角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，解题的关键是掌握互余的两个角和为．根据余角的性质进行计算可得出答案． 【详解】解： 余角的度数 故答案为：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点O是直线上一点，，，则图中相等的角有2对（小于直角的角），分别是 ． 【答案】和 【分析】本题主要考查了余角的性质，根据同角的余角相等，进行判定即可． 【详解】解：∵点O是直线上一点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴和． 故答案为：和． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查了余角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，根据互余的两个角的度数之和为90度建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为， ∴， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：； 与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据余角的定义、角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可．本题考查了角的计算，余角的定义和角平分线定义，解题的关键是对角平分线的理解和掌握． 【详解】解：如图： ∵， ∴ ∴ 故是正确的； ∵ ∴ 则 故是正确的； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故⑤是正确的； ∵ ∴的余角有、 故是错误的； 但无法得出 故是错误的； 故答案为：②③⑤ 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的补角和余角，熟练掌握角的补角和余角是解题的关键； 先计算出的度数，从平角为互补角的和，从而解得． 【详解】解： 的余角为， ， 的补角为， 故答案为：． 三、解答题 19．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）计算：； （2）若锐角的补角是，求锐角的余角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了度分秒的换算，余角和补角的性质． （1）根据度分秒的进制进行计算即可； （2）先由补角的定义得出的度数，再由余角的定义求的余角度数即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）因为锐角的补角是， 所以， 所以锐角的余角是． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知和互为补角，并且的一半比小，求，的度数． 亮亮的解答如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小，所以， 所以， 解得，所以． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查了角度的计算，补角的定义，正确根据互补两角度数和为是解题的关键．根据补角的定义得到，再由的一半比小得到，再代入解方程即可． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小， 所以， 所以， 解得，所以． 21．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的性质，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知是的平分线，是的平分线，．求的度数．    【答案】 【分析】根据角的平分线定义，角的和，直角的意义解答即可． 本题考查了角的平分线，角的和，直角的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：因为平分， 所以． 又因为平分， 所以， 所以 ． 24．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 25．（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 【详解】解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 26．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明，再由平角的定义推出，，据此证明，进而利用角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴图中与互补的角有，，共2个， 故选：C． 27．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，根据余角的性质，角平分线的定义，对五个结论逐一进行判断即可． 【详解】①∵， ∴， ∴， 故正确； ⑤∵,,， ∴， ∴的平分线与的平分线是同一条射线 故正确； 故选B. 28．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线，锐角三角形和钝角三角形．熟练掌握三角形中线的定义，面积公式，互为补角定义，锐角三角形和钝角三角形的定义，是解决问题的关键． ①过点C作于点D．根据中点定义得到，根据三角形面积公式得到，①正确； ②根据锐角三角形定义得到，，，，得到，，根据，得到与不能同时大于，得到线段不可以把分成两个钝角三角形，②不正确． 【详解】①过点C作于点D． ∵P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴①正确． ②∵是锐角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴当时，； 当时，， ∴与不能同时大于， ∴线段不可以把分成两个钝角三角形， ∴②不正确． 综上，只有①正确． 故选：A． 29．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 故选：C． 30．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①；②；③；④与互余，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互余互补的含义，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键；由角平分线的定义可判断①符合题意；由，结合，，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；求解，可判断④符合题意； 【详解】解：∵平分， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴， ∴与互余，故④符合题意； 故选D 31．（13-14七年级上·贵州遵义·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】相加等于的两角称作互为余角，也作两角互余．和是的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决． 【详解】解：设这个角是， 则余角是度，补角是度， 根据题意得： 解得． 故答案为： 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【答案】 /50度 或 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 34．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接； （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）分两种情况讨论，射线与线段不相交和射线与线段相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 37．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 38．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 39．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数． 【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题． 在图①中，当射线在的内部时，由题意易得； 在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．      【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题 (1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． (2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）． ①若，求的垂角； ②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是找准角之间关系． （1）根据中点的定义找到点D，由已知的A、B、C所表示的数求出的长度，就可以求出E点所在的位置，再求出的长度． （2）①根据互为垂角的定义求出即可．②根据已知条件，分类列出方程解之． 【详解】（1）解：∵点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D的线段的中点， ∴D所表示的数为，， 如图，点D即为所求；    ∵点E到点C的距离恰好是线段的长， ∴， ∴点C表示的数为7或， ∴的长为：或； （2）解：①设的垂角为， 根据题意得：， ∴或， 解得或230（舍去）， ∴的垂角为； ②设这个角的度数为， 当时，它的垂角为， 根据题意得， 解得：， 当时，它的垂角为， 根据题意得， 解得， 故这个角的度数为或． 40．（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$