专题1-1二次函数（考题猜想，63题15种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题1-1 二次函数（易错必刷63题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的三种表达形式转化 · 二次函数的性质 · 二次函数与一次函数，反比例函数图像判断 · 二次函数的对称轴，顶点坐标 · 二次函数图像的绘制 · 二次函数的图像与坐标轴的交点 · 二次函数图像的平移 · 二次函数图像的翻折 · 二次函数的最值 · 二次函数上函数值y的大小比较 · 二次函数与二次方程的关系 · 二次函数的图像与系数的关系 · 运动图形的函数图像问题 · 二次函数的应用 一．二次函数的定义（共4小题） 1．（22-23九年级上·广东东莞·期末）二次函数的一次项系数是（　　） A．3 B．2 C． D．0 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 二、二次函数的三种表达形式转化（共4小题） 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的一般式为 ． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式． 方法选择： 解法 题目条件 点的性质 解析式 一般式 看作一般点 顶点式 由对称性知，点是抛物线的顶点 交点式 与轴的交点 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 三、二次函数的性质（共4小题） 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 10．（24-25九年级上·重庆开州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 12．（23-24九年级上·云南昭通·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．其图象的对称轴为直线 C．最小值为2 D．当时，y随x的增大而增小 四、二次函数与一次函数，反比例函数图像判断（共4小题） 13．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 五、二次函数的对称轴，顶点坐标（共4小题） 17．（24-25九年级上·北京·期中）若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标为 ． 20．（24-25九年级上·天津·期中）已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 六、二次函数图像的绘制（共4小题） 21．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 23．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 24．（24-25九年级上·北京·期中）已知：二次函数 (1)将函数解析式化为的形式； (2)补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … (3)结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 七、二次函数的图像与坐标轴的交点（共4小题） 25．（24-25九年级上·广东珠海·期中）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 26．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 28．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，直接写出抛物线与轴交点的坐标及的值； (2)若，求的取值范围． 八、二次函数图像的平移（共4小题） 29．（23-24九年级上·广东江门·期中）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 32．（安徽省淮南市多校联考2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 九、二次函数图像的翻折（共4小题） 33．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 35．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 十、二次函数的最值（共4小题） 37．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）点在二次函数的图象上，则的最小值是 ． 39．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b为实数，函数，其中． (1)若，求y的最大值； (2)若在内恒成立，求的取值范围． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，函数的最小值是多少？ (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 十一、二次函数上函数值y的大小比较（共4小题） 41．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知在函数上有点，点，则关于的大小判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 43．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则（   ） A． B． C． D． 十二、二次函数与二次方程的关系（共4小题） 45．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 46．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 48．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③对于任意实数t，有；④有两个不等的实根．其中真命题的有 ． 十三、二次函数的图像与系数的关系（共4小题） 49．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 50．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的结论有（　　）个 A．个 B．个 C．个 D．个 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有 ．（填番号）． 十四、运动图形的函数图像问题（共4小题） 53．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（   ） A． B． C． D． 十五、二次函数的应用（共7小题） 57．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 59．（21-22九年级上·山东聊城·期末）如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为 米．      60．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围； (2)如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费35元， ①如果花费元，求的值； ②求最多花费； 61．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式； (2)这辆货车满载货物时限高为多少？ 62．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每台蒸蛋器进价为30元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为50元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为台． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？并求最大利润． 63．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． $$专题1-1 二次函数（易错必刷63题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · 二次函数的三种表达形式转化 · 二次函数的性质 · 二次函数与一次函数，反比例函数图像判断 · 二次函数的对称轴，顶点坐标 · 二次函数图像的绘制 · 二次函数的图像与坐标轴的交点 · 二次函数图像的平移 · 二次函数图像的翻折 · 二次函数的最值 · 二次函数上函数值y的大小比较 · 二次函数与二次方程的关系 · 二次函数的图像与系数的关系 · 运动图形的函数图像问题 · 二次函数的应用 一．二次函数的定义（共4小题） 1．（22-23九年级上·广东东莞·期末）二次函数的一次项系数是（　　） A．3 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，理解二次函数的概念是解题的关键；根据二次函数的定义即可求解． 【详解】因为二次函数的一次项系数是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数：形如的函数，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，不是二次函数，故A不符合要求； 不是二次函数，故B不符合要求； ，是二次函数，故C符合要求； ，不是二次函数，故D不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期中）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据二次函数的定义“形如的函数”，据此可排除选项． 【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 二、二次函数的三种表达形式转化（共4小题） 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法把二次函数一般式变为顶点式解析式的方法，利用配方法把二次函数一般式变为顶点式即可，熟知完全平方公式各个部分之间的关系是解题的关键． 【详解】解：将二次函数化为， 故选：． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的一般式为 ． 【答案】 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式． 方法选择： 解法 题目条件 点的性质 解析式 一般式 看作一般点 顶点式 由对称性知，点是抛物线的顶点 交点式 与轴的交点 【答案】，过程见解析 【分析】根据待定系数法求解即可． 【详解】解：方法一：设这个二次函数的解析式为． 把代入函数解析式，得，解得 ∴这个二次函数的解析式为． 方法二：点是抛物线与轴的两个交点，抛物线的对称轴是直线， 点是抛物线的顶点． 设这个二次函数的解析式为． 把点代入函数解析式，得， 解得， 这个二次函数的解析式为，即． 方法三：设这个二次函数的解析式为． 把点代入函数解析式，得，解得， 这个二次函数的解析式为，即． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是关键． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 三、二次函数的性质（共4小题） 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 10．（24-25九年级上·重庆开州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而增大 C．顶点的坐标为 D．图象与轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下．据此判断即可求解． 【详解】解：，， 该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 顶点坐标为， 当时，， ∴图象与轴的交点坐标是 观察四个选项，选项B正确，符合题意． 故选：B． 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式中，，图象开口向上，，图象开口向下，顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∵， ∴图象开口向下， ∴由顶点式可得顶点坐标为， 故选：A ． 12．（23-24九年级上·云南昭通·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．其图象的对称轴为直线 C．最小值为2 D．当时，y随x的增大而增小 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由函数解析式可知其顶点坐标为，原说法正确，选项符合题意； B．由函数解析式可知其图象的对称轴为直线，原说法错误，选项不符合题意； C．∵，∴抛物线开口向下，∴函数有最大值为2，原说法错误，选项不符合题意； D．∵其图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增小，原说法错误，选项不符合题意． 故选：A． 四、二次函数与一次函数，反比例函数图像判断（共4小题） 13．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案．可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点及第二、四象限，故可排除D； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为，且开口向上，故可排除A，B； 故选：C． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键； 分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可． 【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确； 当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确， 当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确， 故选：A． 15．（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，与y轴交于正半轴，所以，即，所以一次函数交y轴于正半轴，且c有可能大于0，有可能小于0，故此项不符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则可知抛物线的开口向上，，所以与y轴一定交于正半轴，故此项符合题意； 故选：D． 五、二次函数的对称轴，顶点坐标（共4小题） 17．（24-25九年级上·北京·期中）若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解： ， 故抛物线的顶点坐标是：． 故选：B． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键；把二次函数的一般式化为顶点式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·天津·期中）已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：直线． 六、二次函数图像的绘制（共4小题） 21．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，；当时，；当时，；当时，； 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 23．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 24．（24-25九年级上·北京·期中）已知：二次函数 (1)将函数解析式化为的形式； (2)补全表格，用描点法画出该函数的图象： … 0 1 2 3 … … … (3)结合图象回答下列问题 ①函数时，x的取值范围_______； ②当时，y的取值范围_______； ③方程有实根，则m最大值是_______． 【答案】(1) (2)0，3，4，3，0；图象见解析； (3)①；②；③4． 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）先求出各点的纵坐标，完成表格，再描点连线即可； （3）①观察图象可知，当时，x的取值范围为；②当时，；当时，，当时，y有最大值4，据此即可得到答案；③方程变形为方程，当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根，而抛物线的顶点的纵坐标为4，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0，3，4，3，0； 如图， ； （3）①当时，x的取值范围为； 故答案为：； ②当时，； 当时，， 当时，y有最大值4， 当时，y的取值范围为； 故答案为：； ③方程变形为方程， 当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根， 而抛物线的顶点的纵坐标为4， 所以， 即m的最大值为4． 故答案为：4． 七、二次函数的图像与坐标轴的交点（共4小题） 25．（24-25九年级上·广东珠海·期中）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 26．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【答案】(1) (2)①两点坐标分别为，；②或． 【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案； ②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可； （2）根据题意，令，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 【详解】（1）证明：令得： ， ， 方程有两个不等的实数根，原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）解：令，则， 所以， 解得， 28．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，直接写出抛物线与轴交点的坐标及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为， (2)的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与轴交点等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据当时，可有，可得抛物线与轴交点的坐标；根据点，在抛物线上，且，易知点，关于对称轴对称，即可求得该抛物线的对称轴； （2）将点，代入抛物线解析式，结合可得，进一步解得，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， ∵点，在抛物线上，， ∴点，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即． 八、二次函数图像的平移（共4小题） 29．（23-24九年级上·广东江门·期中）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．根据二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，即可求得结果． 【详解】解：把二次函数的图象向左平移2个单位，得到， 再向上平移1个单位，得到， 故答案选：A． 30．（24-25九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 31．（24-25九年级上·广东广州·期中）若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 32．（安徽省淮南市多校联考2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】(1) (2)经过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 九、二次函数图像的翻折（共4小题） 33．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为，然后求出当直线位于时m的值，当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，然后与抛物线联立，得到，求出，进而结合图象即可求出当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图所示， 将抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点，解题的关键是正确分析图象． 34．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 35．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 36．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式，根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴的两个交点的横坐标为和3， ∴对称轴为直线，即， ∴整理得：，故①正确； 由图象可得，当时，，故②正确； ∵与y轴的交点坐标为，函数在的部分是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成的， ∴，故③错误； 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴函数在的最大值为4， ∵将函数向上平移1个单位后，函数在的最大值为5， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 十、二次函数的最值（共4小题） 37．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）点在二次函数的图象上，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值．代入点，得到，化简并配方，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：把代入二次函数中得， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 39．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b为实数，函数，其中． (1)若，求y的最大值； (2)若在内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与不等式、方程的综合应用． （1）由得，再根据得，进而可得的最大值； （2）由在内恒成立，得到，整理得到在内恒成立，据此分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴当时有最小值，当时有最大值， ， ∴， ∴的最大值是7； （2）解：∵在内恒成立， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意； 当时，即，从而，解得，矛盾，不符合题意； 当时，即，从而，解得， 所以，此时， 所以； 当时，即， 从而，解得， 所以， 此时， 所以； 综上所述：的取值范围是． 40．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，函数的最小值是多少？ (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 【答案】(1)当时，函数的最小值是 (2)n的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数增减性，最值的计算方法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式可知，当时函数有最大值为4，再求出函数值为0时的值，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：二次函数，， ∴函数图象的开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线距离越远，值越小， ∴当时，函数值最小，最小值为， ∴当时，函数的最小值是； （2）解：， 当时，函数有最大值为4， 令，则， 解得：，， 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 当时，，则，此时函数的最大值为4，最小值为0，符合题意； 综上所述，n的值为或． 十一、二次函数上函数值y的大小比较（共4小题） 41．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出、、的值，比较即可得解． 【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 42．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知在函数上有点，点，则关于的大小判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据点，点关于直线对称，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∵点，点关于直线对称， ∴； 故选：C． 43．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握利用抛物线的对称性比较函数值大小是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向，对称轴为直线，从而求得当时，y随x增大而减小，再根据关于直线的对称点为，然后由，根据抛物线的性质得出结果 ． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵关于直线的对称点为， 又∵， ∴． 故选：D． 44．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于的对称点是， ， ， 故选：A 十二、二次函数与二次方程的关系（共4小题） 45．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把方程变为，此时可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：把方程变为，则二次函数与直线的交点即为方程的解，如图所示： 由图象可知：方程根的情况是有两个不相等的实数根； 故选A． 46．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， 故选：A． 47．（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 48．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③对于任意实数t，有；④有两个不等的实根．其中真命题的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 根据图象开口向下可知：，图象与y轴交点在y轴正半轴，，对称轴为直线，得， ，可判断①是假命题；根据抛物线的对称轴为直线，得，又当时，，则，得到，可判断②正确是真命题；根据抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个实数根，当时，得到方程，所以方程序只有两个实数根，即只有两个值，可判断③是假命题；抛物线与直线有两个交点，可得有两个不等的实根，可判断④是真命题． 【详解】解：①由图象开口向下可知：， 图象与y轴交点在y轴正半轴，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误是假命题； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 又由图象可知，当时，， ∴， ∴，故②正确是真命题； ③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 所以方程有两个实数根， 当时，得到方程， 所以方程只有两个实数根， 所以只有两个值，即t只有两个值使成立，故③错误是假命题； ④如图， 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不等的实根， 即有两个不等的实根．故④正确是真命题． ∴正确命题是②④． 故答案为：②④． 十三、二次函数的图像与系数的关系（共4小题） 49．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知：，对称轴为直线，则有，然后根据顶点坐标公式及二次函数的对称性可进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，则有， ∴，故①正确； 由顶点坐标在第一象限，可知， ∴，故②错误； 令，则有，即 ∵， ∴， ∴， 代入函数解析式得：，则有，故③正确； ∵点A、B关于对称轴对称，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴；故④正确； 故选B． 50．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的结论有（　　）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与的关系，以及，，对应值的正负，二次函数的对称性，逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴右侧， ∴、异号，即， ∴，故此项符合题意； ②有图象可得，当时，， ∵对称轴为 ∴由函数的对称性可得，当时， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，的取值不确定，故此项不符合题意； ③∵， ∴，即， 又∵结合图象可得当时，，对称轴为 ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故此项符合题意； ④把代入上式， 可得， ∵ ∴，故此项不符合题意， 综上所述，正确的有个． 故选为：B． 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，根据图象信息逐个判断即可． 【详解】解：①由图象可得，当时，，故①错误； ②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 故③错误； ④∵抛物线过点， ∴， ∵当时，，即， 当时，， ∴，即， 解得， 故④正确； ⑤∵抛物线与轴交点的横坐标分别为，， ∴，是的两根， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上所述，正确的结论有②④⑤共3个， 故选：C． 52．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有 ．（填番号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 十四、运动图形的函数图像问题（共4小题） 53．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图象．根据题意确定函数关系是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，点在上，如图1， ∴； 当时，点在上，如图2， ∵， ∴， ， ∴函数图象如下； ． 故选：A． 54．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形面积公式以及分类讨论的数学思想，根据题意求出函数关系式是关键，注意分类讨论．研究两个动点到正方形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式，根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：根据两个动点的运动状态可知， （1）当时，，此时抛物线开口向上； （2）当时，如图，，此时抛物线的开口向下． 故选：A． 55．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：分以下两种情况： ①时， ∵正方形的边长为， ∴； ②时， ， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的抛物线表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 56．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题与函数图象及二次函数图像性质．首先连接，过点作、，得到，用含的代数式把、表示出来，根据三角形的面积公式得到，从而可以判断函数图像是抛物线，再根据运动的速度和距离求出的取值范围，从而可得函数图像． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作、， ，，点为斜边的中点， ，， ， ， 同理可得：， 点、运动的时间为， ， ， ， ， ， 由图可知 ， 与的函数关系式是， 整理得：， ，运动速度为， ， ， 当时，， 与的关系用图像表示应是开口向上，对称轴为，且在范围内的一段抛物线． 故选：B． 十五、二次函数的应用（共7小题） 57．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 58．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 【答案】或 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 59．（21-22九年级上·山东聊城·期末）如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为 米．      【答案】48 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，    ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：48． 60．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，用长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设，矩形的面积为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的范围； (2)如果将养鸡场的地面矩形涂上一层涂料，已知每平方米花费35元， ①如果花费元，求的值； ②求最多花费； 【答案】(1)； (2)①；②元． 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意可以得到与的函数关系式； （2）①根据（1）中的关系可以得到一元二次方程，解方程并根据自变量的取值范围确定答案即可； ②设花费为元，根据题意得到，利用二次函数的性质即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 由题意可得，， 解得， 即与的函数关系式是； （2）①由题意可得，． 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 即如果花费元，的值为； ②设花费为元，则 ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为， 即最多花费为元． 61．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式； (2)这辆货车满载货物时限高为多少？ 【答案】(1)图见解析，； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据同意，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依据抛物线经过，即可得到该抛物线的解析式； （2）依据题意，由车身宽为，从而可令，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系， 则，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意， ∵车身宽为， ∴令，则， ∴点到距离为， ∴这辆货车满载货物时限高为． 62．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每台蒸蛋器进价为30元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为50元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为台． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1)； (2)当销售单价为60元或70元时，该网店每星期的销售利润是2400元； (3)当销售单价为65元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最大值，学会列一元二次方程解决实际问题是解题的关键． （1）根据题意用x表示出y，再结合和求出自变量x的取值范围即可； （2）利用公式：总利润销售量每台蒸蛋器利润，列出方程求解x的值即可； （3）设该网店每星期的销售利润为W元，表示W出与x之间的函数关系式，再通过配方求出W的最大值以及对应x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 解得：， 又， 自变量x的取值范围为， ． （2）解：依据题意得：， 整理得：， 解得． 答：当销售单价为60元或70元时，该网店每星期的销售利润是2400元． （3）解：设该网店每星期的销售利润为W元， 依据题意得：， ， 当时，W有最大值2450， 答：当销售单价为65元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元． 63．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】(1)； (2)m． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． （2）在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． $$