2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 一、常见不等关系 大于 ＞ 小于 ＜ 大于或等于（不小于） ≥ 小于或等于（不大于） ≤ 探 究 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某段路限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质含量p应不少于2.3%; （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； a+b＞c a-b＜c （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 CD＜CE A B C D E 如何刻画实数a,b的大小关系？ A B A B b a a b a＜b b＜a 形 数 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 二、实数大小关系 新知讲解 【作差法比较两数大小】　　 【例1】比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 做一做 若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是　　　　　.  解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5. 答案:x2-1>2x-5 作差法比较两个实数大小的基本步骤 a-b 变为若干个因式相乘或相除的形式 判断其结果并与0比较大小 利用实数a,b大小比较的基本事实 三、重要不等式 探究1.下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标. 探 究 新知讲解 性质1：如果a=b,那么b=a. 性质2：如果a=b，b=c,那么a=c. 性质3：如果a=b，那ac=bc. 性质4：如果a=b，那么ac=bc. 性质5：如果a=b，c≠0，那么. 引言 请同学们梳理等式的性质，再观察他们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 自身特性 运算中的不变性 四、等式与不等式的性质 不等式性质的总结 小节 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>bb<a 可逆 2 传递性 a>b,b>ca>c 同向 3 可加性 a>b,a+c__>____b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0ac_>___bc c的符号 a>b,c<0ac_>___bc 类比等式地基本性质，你能猜想不等式地基本性质吗？ 一 二 三 四 2.填空 类比等式的基本性质,我们猜想并证明,得到如下不等式的性质: 证明:∵a>b,∴a-b>0. 由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0. 即b-a<0,∴b<a. 同理可证,如果b<a,那么a>b. 证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴a+c>b+c. 证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负, 得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc. 证明:∵a>b>0,c>0, ∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd. 课前篇 自主预习 不等式性质的总结 小节 性质 名称 性质内容 注意 5 同向可加性 a>b,c>da+c>b+d. 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0ac>bd. 同向同正 7 可乘方性 a>b>0(nN，n2). 同正 8 可开方性 a>b>0(nN，n2). 同正 经典例题 例1 已知a>b>0，c<0，求证：. 证明：∵a>b>0， ∴ab>0,>0 ， ∴a∙>b∙，即 又∵c<0 ∴. 结论推广：倒数关系 若a>b>0，则； 若0>a>b，则； 若a>0>b，则 经典例题 例 题 总结归纳 作差法比较大小 重要不等式 等式的性质 不等式的性质及其应用 名　称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇔b<a 性质2(传递性) a>b,b>c⇒a>c 性质3(可加性) a>b⇒a+c>b+c 性质4(可乘性） a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc 性质5(同向可加性) a>b,c>d⇒a+c>b+d 性质6(同向同正可乘性) a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 性质7(可乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) $$