1.4充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 1.掌握充分条件、必要条件和充要条件的概念（重点） 2.掌握充分条件、必要条件的判定定理（难点） 学习目标及重难点 新冠防控取得的成就和汶川地震灾后重建的新面貌,充分说明社会主义制度优越性 情景引入 你们的心中也有远方,但若想挑战极限，成就梦想，平时的努力坚持是必要的. 这就是我们这节课要一起学习的充分条件与必要条件 情景引入 一般地，我们把用 、 或 表达的，可以 的 叫做 ． 判断为 的语句叫做 . 判断为 的语句叫做 ． 语言 符号 式子 判断真假 陈述句 命题 真 假 真命题 假命题 命题： 1. 命题 （课本P17，填空） A 练一练 本节主要讨论“ 若p，则q ”形式的命题，其中p称为命题的 条件 ，q称为命题的 结论 ． 6 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若x2-4x+3=0,则x=1; 真命题 假命题 思考： 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法 在真命题(1)中，如果p成立，那么q一定成立．即：只要有p就能 充分 地保证q的成立．此时，如果q不成立，则p一定不成立，所以， q对于p成立而言是 必要 的． 充分：有它就行 必要：没它不行 由p通过推理可以得出q. 一般地，“若p，则q”为真命题， 我们称p是q的充分条件， q是p的必要条件 问题：如何理解充分和必要？ 2. 充分条件与必要条件 （1）概念 【2】 p是q的充分条件 【3】 q的充分条件是p 【4】 q是p的必要条件 【5】 p的必要条件是q 等价说法 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 新知探究 从集合角度看充分、必要条件 已知, 则是的充分条件； 是的必要条件 练习巩固 例1.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 解： (1)， (2)， (3)， (5) 方法点拨：判断pq是否成立 练习巩固 例2.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若，则 (5)若，则 (6)若为无理数，则为无理数. 解： (1)， (2)， (4) 判断“若,则”形式的命题中是否为的充分条件与是否为的必要条件相同，只需判断是否有“”，即“若,则”是否是真命题. 方法点拨：判断pq是否成立 新知探究 问题1：请在横线上填“四边形是平行四边形”的一个充分条件. 若 ，则这个四边形是平行四边形. 思考：这样的充分条件唯一吗？ 问题2：请在线上填“平面内两直线平行”的一个必要条件. 若平面内两直线平行，则 . 思考：这样的必要条件唯一吗？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 新知探究 问题3：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？ 是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 充分必要（充要） 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 2. 充分条件与必要条件 （2）条件类别 新知探究   A B A B B B A A A(B) A⫋B p是q的充分不必要条件 B⫋A p是q的必要不充分条件 A=B p是q的充要条件   （1）A是B的充分条件，则只有条件A能使B成立.(　　) （2），则 p 是 q 充分条件.(　　) （3）且p，则 p 是 q 必要不充分条件.(　　) （4）“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　　) （5） 是 的充分不必要条件.(　　) 判断 本节考试常考什么？ 【充分条件，必要条件，充要条件的判断】     ②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；       常考题型 本节考试常考什么？ 【充分条件，必要条件，充要条件的判断】 【题2·集合法】 ① 【解】因为B⫋A，所以p(x)是q(x)的必要不充分条件 ② ③ B A A(B) A B 【解】因为A=B，所以P(x) 是q(x) 的充要条件     P(x) 是q(x) 常考题型 本节考试常考什么？ 【充分条件，必要条件，充要条件的判断】 【题3·传递法】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s 的必要条件，则p是q的什么条件？   【注意】本题也可以用图形法，列出p，q，r，s的关系图：                   常考题型 课堂小结 1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 小结 典 例2：充要条件的证明 课本P22 例4 总结 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. .求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a,b,c是常数且a≠0）有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 跟踪练习：步步高P13 课堂总结 1．下列语句是命题的是(　　 ) A．梯形是四边形　　 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 例2 已知：圆 O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d， 求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。 证明：设p:d=r，q:直线l与圆O相切. （1）充分性(p ⇒ q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d. 若d=r，则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在圆 O 的外部，即直线l与圆O 仅有一个公共点P.所以直线l与圆 O 相切. （2）必要性(q⇒ p):若直线l与圆 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆 O 相切的充要条件. $$