第15章 分式重难点检测卷(拔尖卷) 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第15章 分式重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·山东青岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 3．（3分）（23-24八年级·河北唐山·期中）若是最简分式，则中可以是（      ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·四川乐山·期中）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）若关于x的方程无解，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 6．（3分）（23-24八年级·广东佛山·期中）电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）（23-24八年级·四川资阳·阶段练习）若关于x的方程有解，则必须满足条件(   ) A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d 10．（3分）（23-24八年级·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·湖北·期中）已知，满足．则的值为 ． 12．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 13．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 14．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 15．（3分）（23-24八年级·浙江台州·开学考试）已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）． 16．（3分）（23-24八年级·四川宜宾·阶段练习）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（2024八年级·湖南长沙·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中x是满足条件的合适的非负整数； (3)，其中； (4)，其中． 18．（6分）（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若或，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 19．（6分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 20．（8分）（23-24八年级·河北邢台·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 21．（8分）（23-24八年级·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 22．（9分）（23-24八年级·重庆北碚·期末）如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”． 例如：∵，，，∴368是“九九归一数”； ∵，，，∴1632不是“九九归一数”． (1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由； (2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M． 23．（9分）（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 24．（10分）（23-24八年级·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 25．（10分）（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·山东青岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式的加法，乘除法以及乘方法则． 根据分式的加法，乘除法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故选项错误，不合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不合题意； D、，故选项错误，不合题意； 故选：B． 2．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）若为正整数，则化简的结果可以是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】分式的求值、分式除法 【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 且且， 又为正整数， ， 即且， 选项A、C、D均不符合题意， 当时， 原式，故选项B符合题意， 故选：B． 3．（3分）（23-24八年级·河北唐山·期中）若是最简分式，则中可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义逐项判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、若是，则，是整式，不是分式，不合题意； 、若是，则，分子分母含有公因式，不是最简分式，不合题意； 、若是，则，是最简分式，符合题意； 、若是，则，分子分母含有公因式，不是最简分式，不合题意； 故选：． 4．（3分）（23-24八年级·四川乐山·期中）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法、分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式及分式的化简，根据平均速度总路程总时间，可设坡路长是，根据路程和速度可求出时间，可求解，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 【详解】解：设坡路长是千米，则上坡的时间为：，上坡的时间为：，上下坡总路程为：，总时间为， 所以上、下坡平均速度为：， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）若关于x的方程无解，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的无解，根据无解问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定值；②化分式方程为整式方程；③把值代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程无解， 即 将代入整式方程，得：即 故选：D． 6．（3分）（23-24八年级·广东佛山·期中）电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，准确找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：甲快递员的速度是乙快递员速度的倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点， 故甲快递员的速度是米/分， 依题意得：． 故选A． 7．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值. 【详解】原式＝， 因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2， 所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X=0、1、3、4、6， 所以所有符合条件的x的值有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误. 8．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】先求出 对于①当时，可得，所以①正确； 对于②当时，不能确定的正负，所以②错误； 对于③当时，不能确定的正负，所以③错误； 对于④当时，，④正确． 【详解】， ①当时，，所以，①正确； ②当时，，如果，则 此时，，②错误； ③当时，，如果，则 此时，，③错误； ④当时， ，④正确． 故选B． 【点睛】本题关键在于熟练掌握分式的运算，并会判断代数式的正负． 9．（3分）（23-24八年级·四川资阳·阶段练习）若关于x的方程有解，则必须满足条件(   ) A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论． 【详解】方程两边都乘以d(b-x)，得 d(x-a)=c(b-x)， ∴dx-da=cb-cx， 即(d+c)x=cb+da， ∴当d+c≠0，即c≠-d时，原方程的解为x=， 由题意知还要满足b-x≠0，即≠b， 所以b≠a， 当c+d=0时，c=-d，0x=d(a-b)， ∴当a=b时，方程有无数个解， 故选B. 【点睛】本题考查了解字母系数的分式方程，解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验． 10．（3分）（23-24八年级·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】先根据题意求出、、、，并从中找出循环节为、、，求出每一个循环节三个数的乘积，即可求出答案． 本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律． 【详解】∵， ， ， 结果每3个一循环，循环节为、、， ∵， ∴从到一共673个循环，且余2， ， ． 故选：B 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·湖北·期中）已知，满足．则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，同时除以，得到，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解： ，则 ，即， ， ，即 ， 故答案为：． 12．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 13．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键． 根据题意得出，设，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∵这四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：4． 14．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式的求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 15．（3分）（23-24八年级·浙江台州·开学考试）已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式混合运算．先化简原式，再根据，，求出，最后整体代入进行化简即可． 【详解】解： ， ∵，， 故， ， ∴，，， 将，，，代入原式，得： 原式． 故答案为：． 16．（3分）（23-24八年级·四川宜宾·阶段练习）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程方程是应用，设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答． 【详解】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬，B主题大礼包售价为，C主题大礼包售价为，A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（2024八年级·湖南长沙·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中x是满足条件的合适的非负整数； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)，4； (2)，当时，原式； (3)，； (4)，1． 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式的整数解： （1）先计算分式乘除法，再计算分式减法化简，最后代值计算即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据分式有意义的条件结合x是小于等于2的非负整数确定x的值，并代值计算即可； （3）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （4）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 且， 且， ∵x是满足条件的合适的非负整数， ， ∴原式． （3）解： ． 当时，原式． （4）解： ． 当，原式． 18．（6分）（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若或，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 19．（6分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 【答案】（1）①；②或；（2）；（3） 【知识点】分式的规律性问题、与实数运算相关的规律题、有理数四则混合运算 【分析】（1）①直接根据已知将原式分成两分数的差即可； ②直接利用已知得出原式=连续两偶数差的一半； （2）利用已知中规律将原式化简求出答案即可； （3）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案. 【详解】解：（1）①； 故答案为：； ② 或； 故答案为：或； （2）原式； （3） . 【点睛】此题考查等式的规律计算，有理数的混合运算，根据已知得到等式的计算规律进而解决问题是解题的关键. 20．（8分）（23-24八年级·河北邢台·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 【答案】(1)前 1小时这辆汽车行驶的速度为 (2)以提速后的速度行驶更省油． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用： （1）设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为，根据出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升，根据汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油列出方程求出y的值，进而分别求出原速回来和提速回来的油耗，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为； （2）解：设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升， 由题意得， ， 解得， ∴， ∴回来时若以原速度行驶总耗油升， 若以提速后的速度行驶总耗油升， ∵， ∴以提速后的速度行驶更省油． 21．（8分）（23-24八年级·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 【答案】（1）；（2）、、0、 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论； （2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）原式 因为的值是整数，分式的值也是整数， 所以或， 所以、、0、． 所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、． 【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义． 22．（9分）（23-24八年级·重庆北碚·期末）如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”． 例如：∵，，，∴368是“九九归一数”； ∵，，，∴1632不是“九九归一数”． (1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由； (2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M． 【答案】(1)378是“九九归一数”，297不是“九九归一数”，理由见解析 (2) 【知识点】分式的求值、整式加减的应用、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】（1）根据“九九归一数”的定义，进行判断即可； （2）设，则：，进而求出和，利用能被5整除，进行求解即可． 【详解】（1）解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下： ∵，，， ∴378是“九九归一数”； ∵，，， ∴297不是“九九归一数”； （2）解：设，则：， ∴，， ∴， ∵能被5整除， ∴是5的倍数， ∵为小于的正整数， ∴当，时，，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 当，时：，符合题意；此时：，； 综上，满足题意的条件的自然数为：． 【点睛】本题考查有理数的运算，整式的运算以及分式的运算．理解并掌握“九九归一数”，以及“九九归一分解”是解题的关键． 23．（9分）（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、分式加减乘除混合运算 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 24．（10分）（23-24八年级·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【知识点】列代数式、分式加减的实际应用 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得 ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴ ，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴ ，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 25．（10分）（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【知识点】同分母分式加减法、解分式方程、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$