专题05 位置与坐标（考点清单，知识导图+7考点清单&11题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

清单05 位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【清单02】坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【清单03】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【清单04】两点间距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【清单05】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单06】轴对称的性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 【清单07】坐标与图形变化 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） （4）关于原点对称的点的坐标特点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【考点题型一】用有序数对表示位置 【例1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（   ） A．7 B．21 C．23 D．35 【变式1-1】下列数据中不能确定物体位置的是（  ） A．电影票上的“3排8号” B．小明住在某小区2栋105室 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【变式1-2】如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为 ． 【变式1-4】中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用表示，那么“马”的位置所表示的坐标为 ． 【变式1-5】如果用有序数对表示第一单元3号的住户，那么第3单元2号的住户用有序数对表示为 ． 【变式1-6】在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为 ． 【考点题型二】求一个数的算术平方根 【例2】如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【变式2-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【变式2-2】如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【变式2-3】阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【考点题型三】写出直角坐标系中点的坐标 【例3】象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”的点的坐标为，则表示棋子“車”的点的坐标为 ． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【变式3-2】如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为 ． 【变式3-3】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)写出坐标（   ），（   ），（   ）； (3)在x轴上画出点D，使与的和最小． 【变式3-4】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中、、分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)直接写出、、三点的坐标：（   ）、（   ）、（   ）． (3)连接A、，直接写出的面积________． 【变式3-5】平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 【考点题型四】判断点所在的象限 【例4】平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列各点在第一象限内的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-4】在平面直角坐标系中，点的位置在（   ） A．x轴的正半轴 B．x轴的负半轴 C．y轴的正半轴 D．y轴的负半轴 【变式4-5】若m，n为实数，且满足，则点在第 象限． 【考点题型五】坐标与图形 【例5】如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 【变式5-1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求M点的坐标； (2)若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标； (3)若轴，且，则n的值为 ． 【变式5-4】已知点，解答下列各题： (1)若点A在x轴上，求出点A的坐标． (2)若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置 【例6】如图，围棋棋盘放在平面直角坐标系内，棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，则棋子丙的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，则“帅”所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 【变式6-3】永乐宫是中国现存最大、保存最为完整的道教宫观之一，它的建筑布局沿中轴线展开，依次排列着宫门、无极门、三清殿、纯阳殿和重阳殿，中轴线以外还有王母殿、吕公祠、财神庙等．如图是永乐宫中的三个殿，将其放在适当的平面直角坐标系中，若王母殿的坐标为，玄帝庙的坐标为，则纯阳殿的坐标为 ． 【变式6-4】如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点，， 则“宝藏”点B的坐标是 ． 【变式6-5】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【考点题型七】根据方位描述确定物体的位置 【例7】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【变式7-1】如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果．若图中目标的位置表示为，则下列各目标位置表示正确的是（   ） A．目标的位置为 B．目标的位置为 C．目标的位置为 D．目标的位置为 【变式7-2】2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成功．下列描述能确定东风着陆场位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．距离酒泉发射中心300千米 C．内蒙古自治区阿拉善盟 D．东经，北纬 【变式7-3】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都市举行．以下能够准确表示成都市地理位置的是（　　） A．与北京市直线距离1500多千米 B．在四川省 C．紧靠德阳市 D．东经，北纬 【变式7-4】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置． 【变式7-5】下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【考点题型八】点坐标规律探索 【例8】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及轴，轴的正半轴上运动、在第一秒钟，质点从原点运动到，再继续按图中箭头所示的方向（与，轴平行）运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第2024秒时质点所在位置的坐标为 ． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，…，则点的坐标是 ． 【变式8-4】已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 【考点题型九】点的平移变化 【例9】点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【变式9-3】将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 【变式9-4】的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 【变式9-5】已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【考点题型十】已知图形平移求点的坐标 【例10】如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知点，，将线段平移至，若点，点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式10-2】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 【变式10-3】已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【变式10-4】与在平面直角坐标系中的位置如图所示，由平移得到的． (1)点的坐标为_____； (2)若点是内的一点，平移后内的对应点为，则点的坐标为_____； (3)求的面积． 【变式10-5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)将先向右平移5个单位，再关于轴对称，得到，请画出； (2)直接写出，，三点的坐标分别为________，________，________； (3)的面积为________． 【考点题型十一】轴对称 【例11】点关于轴对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】若点与关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． 请解答下列问题． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出各顶点的坐标； (3)求出的面积． 【变式11-4】如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【变式11-5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，分别写出点A、B的对应点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 位置与坐标（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【清单02】坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【清单03】坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【清单04】两点间距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【清单05】轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 【清单06】轴对称的性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 【清单07】坐标与图形变化 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） （4）关于原点对称的点的坐标特点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【考点题型一】用有序数对表示位置 【例1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（   ） A．7 B．21 C．23 D．35 【答案】D 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 【变式1-1】下列数据中不能确定物体位置的是（  ） A．电影票上的“3排8号” B．小明住在某小区2栋105室 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【答案】C 【分析】本题考查了坐标表示位置，掌握坐标表示位置的方法是解题的关键． 根据坐标表示位置的方法依次判断即可． 【详解】解：A、电影票上的“3排8号”可以表示具体的物体位置，不符合题意； B、小明住在某小区2栋105室可以表示具体的物体位置，不符合题意； C、南偏西只能表示方向，不能表示具体的位置，符合题意； D、东经，北纬的城市，能表示具体的物体位置，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-2】如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中的点A和点B的表示方式是解题的关键． 根据点A和点B的表示方法，得出和的度数，再根据平分角及点D的位置即可解决问题． 【详解】解：，， 平分， ， ， 又点D在从内向外的第5层圆上， 点D可表示为 故选：A． 【变式1-3】在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据题意即可确定． 【详解】解：第7行第5列用坐标表示为， 故答案为：． 【变式1-4】中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用表示，那么“马”的位置所表示的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，建立平面直角坐标系，进而得出答案．正确建立平面直角坐标系是解题关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图； ∵“帅”的位置用坐标表示， ∴原点的位置如图所示， ∴“马”的位置所表示的坐标为． 故答案为：． 【变式1-5】如果用有序数对表示第一单元3号的住户，那么第3单元2号的住户用有序数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确得出有序数对的意义是解题关键． 根据有序数对表示第一单元号的住户，得出数字对应情况，进而得出答案． 【详解】解：第单元号的住户用有序数对表示为． 故答案为：． 【变式1-6】在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了用有序数对表示位置，根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为即可得出战士乙的位置． 【详解】解：每列8人，第二列从前面数第3个，表示为， 战士乙应表示为， 故答案为： 【考点题型二】求一个数的算术平方根 【例2】如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 【变式2-1】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 【变式2-2】如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键． （1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案； （2）利用已知有序数对，进而得出答案； （3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可． 【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示； 故答案为：； （2）解：如图所示：李红家的位置即为所求； （3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为： ． 【变式2-3】阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 【考点题型三】写出直角坐标系中点的坐标 【例3】象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”的点的坐标为，则表示棋子“車”的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据棋子“馬”的点的坐标为，得出原点的位置，进而建立坐标，即可求解，正确得出原点的位置是解题关键． 【详解】解：建立坐标系如图所示，表示棋子“車”的点的坐标为， 故答案为：． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出，的长，然后利用勾股定理求出的长，于是可得的长，利用线段的和与差可求得的长，于是即可求出点的坐标． 【详解】解：，，， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．先利用甲的坐标和乙的坐标，画出直角坐标系，然后可写出丙的坐标． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系： 则丙的坐标是， 故答案为：． 【变式3-3】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)写出坐标（   ），（   ），（   ）； (3)在x轴上画出点D，使与的和最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）先确定点的位置，然后连线即可； （2）根据图形写出的坐标即可； （3）连接交x轴于D点即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）解：由图可知，． 故答案为：； （3）如图，点D即为所求． 【变式3-4】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中、、分别是A，B，C的对应点，不写画法）； (2)直接写出、、三点的坐标：（   ）、（   ）、（   ）． (3)连接A、，直接写出的面积________． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)10 【分析】本题主要考查了轴对称图形的画法及对直角坐标系的认识，其中掌握画法是做题的关键． （1）从三角形的各顶点向轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接； （2）直接从（1）的图写出、、三点的坐标，即可作答． （3）从画出的图形上找出三角形的三顶点的坐标，利用面积解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依题意，，，； （3）解：的面积． 【变式3-5】平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门， 故答案为：，； （3）解：体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示，； （4）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，图书馆的位置为，大门的位置为， ∵1个单位长度表示， ∴从大门到图书馆的最短距离为， 故答案为：． 【考点题型四】判断点所在的象限 【例4】平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据第一象限的点的坐标特征为，第二象限的点的坐标特征为，第三象限的点的坐标特征为，第四象限的点的坐标特征为，判断即可得解． 【详解】解：平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查象限里的坐标，熟练掌握象限里的坐标特征是解题的关键；因此此题可根据第一象限的点坐标符号特征为，第二象限的点的坐标符号特征为，第三象限的点的坐标符号特征为，第四象限的点的坐标符号特征为，进而问题可求解． 【详解】解：下列各点再第二象限的是； 故选B． 【变式4-2】下列各点在第一象限内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 根据象限内点的坐标特征，逐一判断即可． 【详解】解：∵第一象限内点的横纵坐标都是正数， ∴点在第一象限内． 故选：A． 【变式4-3】已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标，根据点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴点在第四象限． 故选：D． 【变式4-4】在平面直角坐标系中，点的位置在（   ） A．x轴的正半轴 B．x轴的负半轴 C．y轴的正半轴 D．y轴的负半轴 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据x轴上的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点在x轴的负半轴上． 故选B． 【变式4-5】若m，n为实数，且满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了非负数的性质及象限内点的坐标特征，根据绝对值与算术平方根的和为0，可得绝对值与算术平方根同时为0，求出、的值，再判断点的位置． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴在第四象限. 故答案是：四． 【考点题型五】坐标与图形 【例5】如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．先由题意得点的横坐标与纵坐标相等，再由点P在线段上可得点的纵坐标为8，据此可解决问题． 【详解】解：线段上的一点到两坐标轴距离相等． 点的横坐标与纵坐标相等， ∵点A坐标，点B坐标，且点P在线段上， ∴点的纵坐标为8， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式5-1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，点与点在同一条平行于轴的直线上，则，根据点到轴的距离为，则，再根据点在点的右边，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在点的右边， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查的是坐标与图形，求解网格三角形的面积，掌握平面直角坐标系内描点是解本题的关键． （1）根据点的坐标先描点，再画出三角形即可； （2）由长方形的面积减去周围三个三角形是面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求M点的坐标； (2)若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标； (3)若轴，且，则n的值为 ． 【答案】(1) (2)点N的坐标为或 (3)5或1 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质． （1）根据x轴上点的坐标纵坐标为0，列方程求解即可解决问题； （2）根据点到y轴的距离是其横坐标的绝对值即可解决问题； （3）根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等求解即可． 【详解】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：∵点N到y轴的距离等于5，则， ∴， ∴点N的坐标为或； （3）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得或3， 当时，； 当时，． 综上所述，n的值为5或1． 故答案为：5或1． 【变式5-4】已知点，解答下列各题： (1)若点A在x轴上，求出点A的坐标． (2)若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标特征； （1）根据点在x轴上可知纵坐标为0，进而问题可求解； （2）根据平行于y轴的线上所有的点的横坐标相等可得方程，然后问题可求解． 【详解】（1）解：因为点A在x轴上，所以，则， 所以， 即点A的坐标为； （2）解：由点B的坐标为，且轴，可知：， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为． 【考点题型六】实际问题中用坐标表示位置 【例6】如图，围棋棋盘放在平面直角坐标系内，棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，则棋子丙的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查坐标位置的表示，根据已知点找出坐标原点建立直角坐标系是关键，难度一般． 根据已知棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，确定坐标原点，即坐标系，再找出未知点坐标即可． 【详解】解：已知棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为， 建立坐标系如图： 则棋子丙的坐标为， 故选：A． 【变式6-1】如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，则“帅”所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标确定位置，根据“马”位于点，“兵”位于点，建立平面直角坐标系即可得出结论． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 则“帅”所在位置的坐标是． 故选：D 【变式6-2】如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 【详解】（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 【变式6-3】永乐宫是中国现存最大、保存最为完整的道教宫观之一，它的建筑布局沿中轴线展开，依次排列着宫门、无极门、三清殿、纯阳殿和重阳殿，中轴线以外还有王母殿、吕公祠、财神庙等．如图是永乐宫中的三个殿，将其放在适当的平面直角坐标系中，若王母殿的坐标为，玄帝庙的坐标为，则纯阳殿的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，先建立直角坐标系，即可得出答案． 【详解】如图所示，建立直角坐标系， ∴纯阳殿的坐标是． 故答案为：． 【变式6-4】如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点，， 则“宝藏”点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出平面直角坐标系是解题的关键．根据点A、C的坐标可知平面直角坐标系，据此可得答案． 【详解】解：根据，建立直角坐标系为∶ 则“宝藏”点B的坐标是， 故答案为：． 【变式6-5】你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图： （2）解：由坐标系得，黑③坐标为，白④坐标为； （3）解：现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或． 【考点题型七】根据方位描述确定物体的位置 【例7】如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距离学校1200米处 B．北偏东方向上的1200米处 C．南偏西方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：用点表示小明家，点表示学校，射线表示正北方向，过的直线表示南北方向， ， ∵， ∴， ∴小明家相对于学校的位置为南偏西方向上的1200米处， 故选：C． 【变式7-1】如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果．若图中目标的位置表示为，则下列各目标位置表示正确的是（   ） A．目标的位置为 B．目标的位置为 C．目标的位置为 D．目标的位置为 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键．根据题中坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出逐项判断即可． 【详解】A、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； B、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； C、目标的位置为，故本选项错误，不符合题意； D、目标的位置为，故本选项正确，符合题意； 故选择：D 【变式7-2】2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成功．下列描述能确定东风着陆场位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．距离酒泉发射中心300千米 C．内蒙古自治区阿拉善盟 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，方位角确定位置等知识点，根据坐标确定位置需要两个数据，以及方位角确定位置需要方位角与距离即可解答，理解坐标确定位置需要两个数据是解题的关键． 【详解】内蒙古中部是大概位置，不能准确表示位置，故A不符合题意； 距离酒泉发射中心300千米是大概位置，不能准确表示位置，故B不符合题意； 内蒙古自治区阿拉善盟，不能准确表示位置，故C不符合题意； 东经，北纬，能准确确定位置，故D符合题意； 故选：D． 【变式7-3】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都市举行．以下能够准确表示成都市地理位置的是（　　） A．与北京市直线距离1500多千米 B．在四川省 C．紧靠德阳市 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：能够能够准确表示成都市地理位置的是：东经，北纬． 故选：D． 【变式7-4】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置． 【答案】商场在小明家西偏北，处；学校在小明家东偏北，处；公园在小明家东偏南，处；停车场在小明家东偏南 ，处；小吃街在小明家南偏西，处 【分析】本题主要考查了运用方位角确定位置，掌握方位角确定位置包括方位角和距离两部分成为解题的关键． 直接运用方位角各场所的位置即可． 【详解】解：商场在小明家西偏北，处； 学校在小明家东偏北，处； 公园在小明家东偏南，处； 停车场在小明家东偏南 ，处； 小吃街在小明家南偏西，处． 【变式7-5】下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 【考点题型八】点坐标规律探索 【例8】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形规律，读懂图形，找出规律是解答关键． 由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，且经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，坐标是． ∵， ∴经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同， ∴经过第次变换后点的对应点的坐标为． 故选：A． 【变式8-1】圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的圆周率所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为， 故选：C． 【变式8-2】如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及轴，轴的正半轴上运动、在第一秒钟，质点从原点运动到，再继续按图中箭头所示的方向（与，轴平行）运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第2024秒时质点所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键． 先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律，再运用规律解答即可． 【详解】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为， 到达时用了3秒，到达时用了4秒， 从到有四个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒； 从到有六个单位长度，则到时用秒； 依此类推到用16秒，到用秒，到用25秒，到用36秒，到时用秒…， 可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒； 在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒， ∵， ∴第2024秒时这个点所在位置的坐标为， ∴第2024秒时这个点所在位置的坐标为． 故答案为：． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的规律问题， 由题意可知该点按照6次一循环移动，用2022除以6，再确定商和余数即可． 【详解】由题意可知该点按照“下，左，上，上，左 ，下”的方向每6次一循环移动的规律移动，且每移动一个循环向左移动2个单位长度． ∵， ∴点的横坐标是，且点的纵坐标与的纵坐标相同都是0， 即的坐标是． 故答案为：． 【变式8-4】已知点，规定一次变换是：先作点关于轴对称，再将对称点向右平移1个单位长度，则连续经过2024次变换后，点的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的坐标， 先分别求出一，二，三次变换后的坐标，即可得出数字变化的规律，再根据规律解答即可． 【详解】解：第一次变换的坐标为； 第二次变换的坐标为； 第三次变换的坐标为； ∴第2024次变换的坐标为． 故答案为：． 【考点题型九】点的平移变化 【例9】点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移规律：左减右加，上加下减． 根据点的平移规律左减右加，上加下减直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点向右平移6个单位后， ∴平移后的点坐标是， 故答案为：． 【变式9-3】将点关于y轴对称后再向左平移 个单位，其对应点落在y轴上． 【答案】2 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标，点平移的规律，直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称点坐标为，则再向左平移2个单位，其对应点落在y轴上． 故答案为：2． 【变式9-4】的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移点的变化规律求解即可． 【详解】解：根据点的平移规律可知：将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为，即． 故答案为：． 【变式9-5】已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 【考点题型十】已知图形平移求点的坐标 【例10】如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 【变式10-1】已知点，，将线段平移至，若点，点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，根据平移规律“左加右减，上加下减”可得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：将线段平移至，点，，点，点， ∴，， ∴平移规律为：向左平移2个单位，向下平移1个单位， ∴，， ∴， ∴， 故选：C ． 【变式10-2】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键．根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解． 【详解】解：点的对应点与点重合， 平移方式为向左平移两个单位， 点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式10-3】已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键． 首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∵ ∴， 故答案为： 【变式10-4】与在平面直角坐标系中的位置如图所示，由平移得到的． (1)点的坐标为_____； (2)若点是内的一点，平移后内的对应点为，则点的坐标为_____； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)2． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，网格中求图形的面积等知识；根据两个三角形的位置确定出平移是解题的关键． （1）根据与在平面直角坐标系中的位置可确定平移，进而确定点的坐标； （2）根据确定的平移即可确定点的坐标； （3）用长为3宽为2的长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求得的面积． 【详解】（1）解：根据与在平面直角坐标系中的位置，平移为向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度， ∴按此平移，点平移后的坐标为； 故答案为：； （2）解：按（1）中的平移，点平移后的坐标为； 故答案为：； （3）解：． 【变式10-5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)将先向右平移5个单位，再关于轴对称，得到，请画出； (2)直接写出，，三点的坐标分别为________，________，________； (3)的面积为________． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)4 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称和平移，熟练掌握轴对称的性质，平移规则，是解题的关键： （1）根据平移规则和轴对称的性质画出即可； （2）根据图形，写出点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，，三点的坐标分别为，，； （3）的面积． 【考点题型十一】轴对称 【例11】点关于轴对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 【变式11-1】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 【变式11-2】若点与关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，即． 故选A． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． 请解答下列问题． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)写出各顶点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图形可得出各点坐标； （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图, 即为所求． （2）解：根据图可知：点； （3）解：， 的面积为． 【变式11-4】如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2)10 【分析】本题考查作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图，和即为所求， ②由题意知：的坐标为， 故答案为：； （2）解：． 【变式11-5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，分别写出点A、B的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据图形，直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）由图可知：的坐标分别为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$