专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（2024·陕西榆林·一模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题）1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，求，，的值． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，则 ． 3．（2024·青海西宁·一模）计算：． 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算：= ． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）（1）计算：； （1）计算：． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知是锐角，且，求和的值． 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 3．（23-24·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 3．（2022·福建南平·模拟预测）在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ． 3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 2．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 ．    3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 3．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴与的面积之比等于． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（2024·陕西榆林·一模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得，可得，再由线段中点即可求出答案； 【详解】解：在中，， ， D是的中点， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得，得到，据此可证明； （2）利用等腰三角形的性质求得，根据相似三角形的性质求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【答案】 【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC， ∴=， ∴=， ∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∵， ∴=， ∴=（）²=（）2=． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据同角的余角相等得，由知，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，连接和，通过证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，再根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接和， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 设小正方形的边长为1， 则,，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的知识；根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ，． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ． ． ， ． 在中，． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 3．（2024·青海西宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，分别根据相关运算法则计算出各项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解： 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（23-24九年级下·全国·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）（1）计算：； （1）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算， （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形． 【详解】根据绝对值的非负性可得：， ∴， ∴， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知是锐角，且，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴，， ∴ ； ． 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 3．（23-24·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 3．（2022·福建南平·模拟预测）在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，） 【答案】第二天凌晨时发起攻击 【分析】利用锐角三角函数得出CD和BD的值，即可求出到达点D的时间，即可得． 【详解】解：∵∠ACD=70°，cos∠ACD=， 则CD＝AC ·cos∠ACD=500×0.34=170， ∵∠BCD=37°， ∴， ∵tan∠BCD =， ∴BD=CD tan∠BCD=170×0.75=， ， 即第二天凌晨时发起攻击． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数． 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】根据、上的中线、相交于点得到点是的重心，进而求出的长度，再利用等腰三角形的三线合一得到，结合求出的长度，进而求得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：边、上的中线、相交于点，， 点是的重心， ， ． 在中，如果，是边上的中线, ， ， , ， , ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一，重心的性质，锐角三角函数值的求法，三角形面积公式，利用重心求出是解答关键． 3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 ．    【答案】． 【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长. 【详解】解：∵， ∴. 在中，，， ∴， ∴ 在中，，， ∴ ∵平分， ∴. 在中，，， ∴ ∴    【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质. 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    【答案】262 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【详解】解：作于，如图所示：    由题意得：， ∴四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为：262． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5米 (2)17.1米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 3．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米 (2)走点A经过点B到点C的路线较近 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴小王从点A经过点B到点C较近． 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 【答案】 【分析】本题考查了坡度，根据坡度是“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离 【详解】解：∵，为米， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定；由已知角可求得，则；在中，由正弦函数即可求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 在中，； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 学科网（北京）股份有限公司 $$