专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与圆压轴 题型四 锐角三角函数与一次函数压轴 题型五 锐角三角函数与二次函数压轴 题型六 锐角三角函数与相似压轴 题型七 锐角三角函数的最值训练 题型八 锐角三角函数的应用 题型九 锐角三角函数的新定义问题 题型十 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意推出、、、四点共圆，进而证明、，由对应边的比例即可求得的长． 【详解】解：由题意知，、、、四点共圆， ∴，， ∵，， ∴, ∵， ∴． ∵ ∴， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：B ． 【点睛】本题考查了四点共圆、相似三角形的应用、解直角三角形，掌握相似三角形的证明方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，延长，交于，过作，交的延长线于，则，依据，即可判定，进而得，即可得到，设，，即可得，，得到，再根据勾股定理，即可得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于，过作，交的延长线于，则， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， ∴中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的正切值： （1）证明，列出比例式进行计算即可； （2）根据相似三角形的性质，求出的值，根据，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵，， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识． （1）求出，，则，又由即可证明，则，结论得证； （2）证明，则，得到，进一步即可得到，又由，即可证明结论； （3）勾股定理求出，由，得到，则，由勾股定理得到，由（2）可知，，则，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 5．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， 故答案为：1； （2）解：如图2，设与交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 中，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是相似综合题三角形、四边形的综合题，考查的是正方形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 7．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点E、F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，则菱形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形性质以及垂直平分线性质先证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再结合得到结论； （2）由矩形的性质得到为直角，在中，利用勾股定理求出的长，再求出，然后根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：为矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：在中，由，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线性质，全等三角形的判定与性质，正确表示出菱形的面积是解答本题的关键． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过A作垂足为M，根据平行四边形的面积公式计算出，根据勾股定理计算出，从而得到垂直平分，再证明得到，设，分别得到，根据建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据矩形的性质推到得，得出，再根据勾股定理计算出，通过证明，通过三角形的相似比计算出； （3）根据和两种情况进行讨论，当可利用（1）得结论得到答案，当时，，得，，，根据得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）如下图所示，过A作垂足为M， ∵平行四边形的面积为96，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 设，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如下图所示，过A作垂足为M， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）如下图所示， ∵，当时，点G在AC上时， 由（1）得， 当时，点G不在AC上，如下图所示， ∵， ∴， 设， 得，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角函数、正方形、平行四边形、全等三角形和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角函数和相似三角形的相似比建立方程． 9．（21-22九年级下·上海·自主招生）如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，运用全等三角形的性质和判定解决问题是解题关键； （1）作交于，可得，进而可得的值； （2）连接，可得是等边三角形，根据可知，进而可得结论． 【详解】（1）解：作，交于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，． （2）证明：连接， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ，，， 在与中， ， ， ， ． 即． 10．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在菱形中，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点的运动时间为，且，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，点的运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)当时，与全等 【分析】（1）根据平行线的判定，可得，已知，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质可得∴，则四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可求证； （2）根据菱形，含角的直角三角形的性质，分别用含的式子表示的值，根据三角形全等的判定方法，当时，，由此列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 已知， ∵四边形是菱形，， ∴，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：与能够全等，理由如下， 根据题意作图如下， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得，， ∴当时，与全等． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，特殊角的直角三角函数的计算，掌握菱形的性质，矩形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题三 锐角三角函数与圆压轴】 11．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，是的直径，边交于点，作于点，延长和交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，推出，进而得到，根据，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，证明，锐角三角形函数求出的长，勾股定理求出的长，三角函数求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连结，根据切线的性质，得到，根据圆周角定理可得，再通过解直角三角形即可求得答案； （2）先证明，再证明，得到，最后根据等腰三角形的三线合一性质，即可证明结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，最后代入计算，即可证得答案． 【详解】（1）解：连结， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ； （3）证明：连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若E是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、垂径定理、三角函数及圆周角定理，熟练掌握切线的判定、垂径定理、三角函数及圆周角定理是解题的关键； （1）过点A作于点F，由题意易得过圆心O，则有，然后问题可求证； （2）连接，交于点H，由题意易得，，，则可求出半径为5，然后根据圆周角定理及三角函数可进行求解． 【详解】（1）证明：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴过圆心O， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，交于点H，如图所示： ∵E是的中点， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦垂直平分，交于点，点是弧上的一点，连结，，， (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)四边形的面积 【分析】（1）连接，，利用等腰三角形的三线合一的性质，特殊三角函数值和圆周角定理解答即可； （2）在上截取，连接，利用（1）的结论得到为等边三角形，利用圆周角定理，垂径定理得到为等边三角形，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； （3）过点C作于点M，，交的延长线于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用四边形的面积和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ，， ． ∵，． ，即， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接，如图， 由（1）知：， ∴为等边三角形， ， ． ∵是的直径，弦， ， ， ， ∴为等边三角形， ，． ∵四边形为圆的内接四边形， ， ， ． 在和中， ， ∴， ． ， ； （3）解：过点C作于点M，，交的延长线于点N，如图， 由（2）知：为等边三角形， ， ． ， ． ， ． ∴四边形的面积 ． 由（2）知：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数压轴】 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； （2）证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 17．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 18．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； (3)在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或． 【分析】()由待定系数法即可求解； ()当与相似，或，即或，即可求解； ()若恰好有两个点落在 上，只能是点落在 函数上，设点，得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点的坐标为， 设一次函数的表达式为 ， 将点代入得： ， ∴， 即一次函数的表达式为：； （2）由一次函数的表达式知，点， 在中， ， 则与相似， 或， 即或， 设点， 则或， 解得：或(负值已舍去)， ∴点的坐标为：或； （3）当点的坐标为时， 则，， 若恰好有两个点落在上，只能是点落在函数上， 设点， 则点的坐标分别为、， 将上式两个点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 当点的坐标为，同理可得：， 解得：(不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，三角形相似、解直角三角形、图象的旋转，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 19．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过x轴上的点作平行于y轴的直线l（），分别与直线和双曲线交于P、Q两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，在直线上寻求一点M，使的值最小；在直线上寻求点N，使的值最大，请求出的长度． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法先确定一次函数解析式，然后得出，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）根据题意得出，，确定．，再由正弦函数的定义及勾股定理确定，，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据题意先确定出点M和点N的位置，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，得出交点，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 把代入得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数解析式为； （2）过点Q作于点E ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）如图所示，连接交直线于点M，此时的值最小； 作点A关于直线的对称点为，连接并延长交于点N，此时的值最大；    设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴， 联立，解得， ∴， 同理得：， ∴． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，正弦及正切的定义，一元二次方程的应用等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，一次函数与正比例函数相交于第一象限的点A，与x轴相交于点B，已知k是方程的一个解． (1)求点A的坐标； (2)求的值； (3)直线上是否存在一点C，使得？若存在，请求出点C的．坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先解方程可得，再联立两个一次函数的解析式求解A的坐标即可； （2）如图，过作于，求解，，可得，可得：，再利用正弦的含义求解即可； （3）如图，过作于，过作于，当，则，设，则，当时，Q满足条件，过作于，过作轴于，当，则，设，则，再利用数形结合的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵k是方程的一个解． ∴， 解得：或， ∵正比例函数过一，三象限， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）如图，过作于， ∵为， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． （3）如图，过作于，过作于， 当，则，设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，Q满足条件，过作于，过作轴于， 当，则，设，则， ∴， 由，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，求解函数解析式，交点坐标，锐角三角函数的应用，等面积法的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数压轴】 21．（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)点P的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，，，用解直角三角形的方法求出，再运用待定系数法求出的表达式为：，即可求解； （3）运用待定系数法求出的表达式为：，作点关于轴的对称点，连接，过点作于点，设点，则点，则，由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则，， 由勾股定理得：，即点， 由点、的坐标得， 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为：； （3）解：依题意， ∴ 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 ∴的表达式为：， 作点关于轴的对称点，连接，过点作于点， 则， 则， 即，则， 则， 的一个锐角等于的2倍， 即或， 过点作轴交于点， 则， 则， 则， 设点， 则点，则， 则或， 解得：或， 即点的横坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 22．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上位于直线下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，过点P作的平行线交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点N是抛物线上一点，连接，当线段的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时点 (3)存在，点M的坐标为：或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； （3）当时，则，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴于点，如图1， 、， ， ， ， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点； （3）解：存在，理由： 如图2，当线段的中点恰好在轴上时， 由中点坐标公式得：，即点， 设直线交于点， 设点， 当时， 则， 即， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得： 解得：（舍去）或， 当和平行时，直线的解析式为：， 与抛物线解析式联立方程组， 解得或（舍去）， 的坐标为：． 即点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 23．（23-24九年级下·全国·单元测试）定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． (1)直接写出抛物线的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点的坐标，设，根据“勾股点”的定义解得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，结合点的坐标，易得，，进而可得，，根据“勾股点”的定义易知，进而解得的值，即可确点坐标，设抛物线的函数表达式为， 将代入并解得的值，即可获得答案； （3）由，可知，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 令，可得，解得， ∴， 设抛物线的勾股点的坐标为， 则，，， 由，化简得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴抛物线的勾股点的坐标为； （2）抛物线（）过原点， 即点的坐标为， 如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是抛物线的勾股点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴； （3）由，可知， ∴， ①当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； ②当时，， 解得， ， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“勾股点”、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，理解并掌握新定义“勾股点”是解题关键． 24．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，过作于，求解，证明，，可得，，设，可得，再进一步求解即可； （3）如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于，可得，证明，再证明，可得，如图，当在下方时，同理可得：，可得； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，过作于， ∵直线与抛物线交于点，与轴交于点， 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴，， 设， 由， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴，即， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）； ∴； （3）解：如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于， ∵轴， ∴， ∵的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当在下方时， 同理可得：， ∴； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，    设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 【经典例题六 锐角三角函数与相似压轴】 26．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】(1)猜想：，理由见解析 (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）由题意得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形，， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 27．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在直角梯形中，，E在边上，F在边上，． (1)如果，则________； (2)当________时，是等腰三角形； (3)与能否相似？如果能相似，求出的长，如果不相似，请说明理由． 【答案】(1) (2)或6 (3)满足条件的的值为或 【分析】（1）如图中，作于于．由，设，则，构建方程组即可解决问题； （2）分两种情形①如图中，当时，设．构建方程组解决问题；②如图中，当时，只要证明，推出，推出即可； （3）分两种情形，利用相似三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：如图中，作于于． ∵， ∴设， ， ， ， ∴， 则， ， ①， 在中，②， 由①②解得或， 当时，（舍去）， ； （2）解：①如图中， 当时，设． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图中，当时， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或6． 故答案为：或6． （3）解：存在． ①如图中，当时，． ， ， ， ， ， ②如图中，当时，．作于M． ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、直角梯形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程或方程组解决问题，属于中考压轴题． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）由勾股定理和题意得，，，即得，再分和两种情况解答即可求解； （）过点作于，则，由可得，设，则，由可得，得到，，即得，再由，可得，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又由题意得，，， ∴， 当时，， 则， ∴， 解得； 当时，， 则， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 29．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点G． (1)如图2，当，且点G落在对角线上时，求的长； (2)如图3，连接，当且是直角三角形时，求的值； (3)当时，的延长线交的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与相似，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或 (3)满足条件的的值为或或或 【分析】（1）连接，首先证明，再解直角三角形即可得解； （2）分两种情况：当时，此时点、、三点共线；当时，分别求解即可； （3）分四种情况：当时，作于；当时，作于；当时，过点作交于，作于；当时，过点作交于，作于，作于，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，此时点、、三点共线， ， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图，当时， ， 由折叠的性质可得，， 则， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，当时，作于， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当时，作于， ， 同法可得：，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 如图，当时，过点作交于，作于， ， 设，则，， 由折叠可得：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 如图，当时，过点作交于，作于，作于， ， 设，，则， ∴，， ∴， ∴， 由上题可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段之间，连接，且与互相垂直，求的长； (3)连接，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据题意可得，证明，得到，结合，，即可求解； （2）根据与互相垂直和，可推出，进而得到，根据三角函数可得，从而求出，再求出，由（1）得，根据三角函数可求出，进而求出，最后根据线段的和差即可求解； （3）分为两种情况讨论：当时，当时，结合题意，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：是和的比例中项， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ； （2）与互相垂直， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ； （3），，又， 由（1）得， ，当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时 ①，如图2， ，    由（2）得：， ②，如图3，过点作，垂足为点， 由（1）得， ， ， 又， 设，则，，， 又， ， 解得， ， 综上所述，DE的长分别为或．    【经典例题七 锐角三角函数的最值训练】 31．（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，． 问题初探 （1）如图2，当点D在直线上时， ①求证：． ②推断：与的比值． 问题深入 （2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由． 问题解决 （3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，． ①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由． ②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析；（3）①存在，见解析；②x=4，最小值为 【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明； ②由相似三角形的性质得； （2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立； （3）①连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． ②由，可知点F在经过点C且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点P，求得，则，当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，由点E与点C重合，得，所以当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）①证明：如图2，∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． ②的值为， 理由：∵， ∴， ∴的值为． （2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立， 理由：如图1，∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不在直线上， ∴， ∴， ∴与不垂直， ∴（1）①中的结论不成立； ∵， ∴， ∴的值为， ∴（1）②中的结论成立． （3）①存在，点M是的中点， 理由：如图3，连接、，作于点M，则， ∵点O是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． ②如图3， ∵， ∴， ∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点P，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值， 如图4，点P与点F重合，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点E与点C重合， ∴，即， ∴当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、正多边形的半径及中心角的定义、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 32．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴ 又∵， ∴的面积为， 故答案为：． （2）如图所示，延长到使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∠， ， ， ， 又， ， ，， 又， ； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，， ， ， 过点作于，作于，则四边形是矩形， ， ， ， 当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于， 设， ， ， ，， ， 当最小时，的面积最小， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为米， 平方米 存在一个面积最小的，其最小值为平方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键． 33．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，中，，，则a的最小整数值为______． （2）如图2，中，，，，点O为边的中点，过O作，、分别交边、于E、F，请求出长度的最小值． （3）如图3，有一块四边形草地，规划部门计划在这块空地内种植花卉，计划在边、上分别取点E、F，利用小路、把这块草地分割开，在四边形内种植郁金香，其他区域种植草坪，为观赏长廊．已知，， m， m，．设计师认为当时，规划更美观，已知种植郁金香每平米20元，请帮助规划部门解决问题：当观赏长廊长度最小时，求出种植郁金香所需费用（观赏长廊所占面积忽略不计）． 【答案】（1）5    （2）     （3）88000元 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边求解即可 （2）如详解（2）中图2所示，取中点M，则,;所以，又因为，故的最小值为，求出长度即所求． （3）判断A，E，C，F四点共圆，当为直径时最小，最后求出面积，计算费用即可 【详解】（1） a的最小整数值为5 （2）取中点M，连接，，，如下图所示 又， ， 在，， 又点O为边的中点 故长度的最小值为 （3）如下图，过点A作,垂足为M，过点C作,垂足为Ｎ， 又， 四边形为矩形 在中， ， ， ， 四边形对角互补 A，E，C，F四点共圆 设中点为K，过K点作,垂足为K，则圆心O肯定在直线l上，如下图所示，连接,,,过点O作,垂足为H点 设圆O半径为r,则， 即 又即 又 当时，取得最小值，最小值为 当时，圆心O与K点重合，为圆O直径 ，， 在中，， ， 又 故当观赏长廊长度最小为 m时，种植郁金香所需费用为88000元． 【点睛】题目考查了三角形成立的边长条件，直角三角形的性质及解直角三角形，等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质，四点共圆等知识点，判断出如何取得最小值是解题的关键． 34．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的长为500米，的长为1000米 【分析】（1）过B作于P，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法即可求解； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，由E，关于直线对称，可知，当B，P，共线时，此时最小，最小值为的长度，根据，点E是的中点，可得，再用勾股定理可得答案； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，由C，N关于对称，C，M关于对称，，当N，E，F，M共线，最小，根据，，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米． 【详解】解：（1）过B作于P，如图：    由垂线段最短可知，时， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，如图：    ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 当B，P，共线时，最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值为； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，如图：    ∵由C，N关于对称，C，M关于对称， ∴， ∴， 当N，E，F，M共线时，此时最小； ∵， ∴， ∵C，M关于对称， ∴， ∴， ∴米，由勾股定理得米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∵C，N关于对称， ∴C，B，N共线，， ∴米， 由勾股定理得米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， （米）， 在中， （米）， ∴（米）， 答：的长为500米，的长为1000米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 35．（2024·陕西西安·模拟预测）【问题探究】 （1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________． （2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度； 【问题解决】 （3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．    【答案】（1）5；（2）；（3）存在，的最小值为 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案； （2）将绕点B顺时针旋转90度得到，由旋转的性质可得，，证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，取中点O，连接，将绕点C逆时针旋转60度得到，连接，则；由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，则当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长；如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，则，证明， 推出，在中，；设，则，由勾股定理得，解得，则，，，如图所示，过点作于E，交于F，同理可证明四边形和四边形是矩形，则，，得到，则，即可得到的最小值为． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，将绕点B顺时针旋转90度得到， 由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得； （3）如图所示，取中点O，连接，将绕点C逆时针旋转60度得到，连接， ∵，， 点O为的中点， ∴； 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长； 如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，； 设，则， 由勾股定理得 ∴， 解得， ∴，， ∴， 同理可证明四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题八 锐角三角函数的应用】 36．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 37．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 【答案】(1)，，证明见解析 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，理清题意，找到思路是解答本题的关键． （1）根据题意写出目标的仰角，再根据同角的余角相等找到和目标的仰角相等的角； （2）先根据解直角三角形的知识求出的长度，再根据求出的值即可． 【详解】（1）目标P的仰角是图②中的  目标P的仰角与图②中的相等 证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的值为米． 38．（2024九年级下·辽宁·专题练习）数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． (1)求杯口半径的长； (2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作于点D，过点C作于点Q，利用解直角三角形的知识，圆的知识解答即可； （2）连接，并延长交于点N，连接，利用垂径定理，平行线的判定，勾股定理，等腰梯形的性质解答即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D，过点C作于点Q，延长到点R， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为， 点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故杯口半径的长为． （2）解：连接，并延长交于点N， ∵G为的中点， ∴， 连接， ∵ ∴, ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数的应用是解题的关键. 39．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可． （2）证明，利用三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． （2）解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 40．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由圆弧的中点可得，由平行可得，由中点可得，即可得到，再在中求出的长度，最后根据计算即可； （2）求出到木马向前的最大安全角时刚好碰到时到距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角的距离长度最小值． 【详解】（1）过作于， ∵为半径的圆弧的中点接触地面， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， 由（1）可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴的长为， ∴马静止时到墙角的距离长度最小值为． 【经典例题九 锐角三角函数的新定义问题】 41．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 42．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为． 【分析】探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】 解：探究活动：如图，过点C作直径，连接， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴，， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼高度约为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 43．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点P、N、Q在同一条直线上，，则称点N为的“银杏点”．特别地，若N为的中点时，则Q为的“银杏点”，P也为的“银杏点”． (1)已知，点N在线段上，若点N为的“银杏点”，则______． (2)如图，O为的重心，则下列说法正确的是______（填序号）． ①O为的“银杏点”； ②E为的“银杏点”； ③D为的“银杏点”； ④C为的“银杏点”． (3)如图2，在中，．若，． ①求的长； ②当点M在边上，且M、E、G中有一点为其它两点的“银杏点”．点K在直线上，且．求的长． 【答案】(1)2 (2)①④ (3)①；②或17或  或 【分析】（1）运用“银杏点”的定义运算求解； （2）由于O是重心，即是中线的交点，由“银杏点”的定义逐一判断即可； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理和相似进行解题． 【详解】（1）由“银杏点”可知即， ， 故答案为：2． （2）O为的重心， 且 故由题意可知：O为[A，D]的“银杏点”； O为[B，E]的“银杏点”； C为[B，D]的“银杏点”； C为[A，E]的“银杏点”； A为[C，E]的“银杏点”； B为[C，D]的“银杏点”； 所以①④正确 （3）①， ， ②如图，当点M为的中点时，为[G，M]的“银杏点”，G为[E，M]的“银杏点”， 则， 又， , , ， ， 即， ， ， 如图，若M为[G，E]的“银杏点”，则， 过点M作于N，则， ， ， ， ， 又， ， 即，解得， ， ， ， ； 若M为[E，G]的“银杏点”，则， 过点M作于N，则， ， ， ， ， ， 又， ， 即，解得， ， 综上所述，或17或  或 【点睛】本题考查相似三角形，勾股定理，重心性质定理，分类讨论和构造相似三角形是解题的关键． 44．（21-22九年级下·山西·阶段练习）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定sin90°＝1）． (1)探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接）． 事实上，以上结论适用于任意三角形． (2)初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b． (3)综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【答案】(1)=；=； (2)； (3)古塔高度约为36.6m． 【分析】（1）过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案； （2）根据，得出，即可得出b的值； （3）由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 理由如下： 如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∠A＝∠D， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴， 同理可证：， ∴； 故答案为：＝，＝； （2）∵，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6， ∴， ∴． （3）由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝x，则BC＝， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键． 45．（2021·福建厦门·模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定）． 探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：． 学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【答案】（1）见详解；（2）36.6m 【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，由锐角三角函数的定义以及圆周角定理可得sinA＝sinD，sinD＝，进而即可得到结论； 学以致用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论可得，进而即可求解． 【详解】探究活动： 证明：如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， ∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴=2R， 同理可证：＝2R，＝2R， ∴＝＝＝2R； 学以致用： 由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝xm，则BC＝xm， ∵， ∴，即： ∴x＝25()＝50(−1)≈50×0.732＝36.6（m）， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【经典例题十 锐角三角函数的综合】 46．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 【答案】（1）；（2）；（3）海里 【分析】（1）与相交于点，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可； （2）过点B作，连接，解直角三角形，求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据等腰直角三角形的性质即可得出结果； （3）当直线与过两点的圆相切时，最大，此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，根据题意得，解直角三角形求出，，进而得到，利用勾股定理求出，解可解答． 【详解】（1）解：如图2，与相交于点，连接，      由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， ， ，即； （2）解：如图3，过点B作，连接，    ∵在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当直线与过两点的圆相切时，最大， 此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，    由（2）知，危险角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时货轮Q与港口K的距离是海里． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质，最大张角问题，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 47．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 【答案】（1）四边形是平行四边形，，；（2）；（3）3 【分析】（1）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，得四边形是平行四边形，可知，，，再再根据平行线的性质，结合，四边形的内角和为，求得，进而求得，可证得，再由勾股定理及可求解； （2）在上截取，则，进而可证得，得，，再证，可知为等腰直角三角形，得，再证四边形是平行四边形，得，即可求解； （3）延长，交于点，过点作交于点，结合正六边形的性质，设，则，再证为等边三角形，则，，在中，，则，，而，由勾股定理可得：，当时，去等号，要使得最小，则要最小，进而可求解． 【详解】解：（1）解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， 四边形是平行四边形． ，，， ， ， ， ， 四边形的内角和为． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：四边形是平行四边形，，； （2）在上截取，则， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作交于点， 在正六边形中，， 设，则， ∵正六边形得每个外角都相等，且外角和为， ∴， ∴为等边三角形，则，， 而，即， 在中，， 则，， 而， 由勾股定理可得：，当时，去等号， 要使得最小，则要最小， ∵，即最小值为9， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解决问题的关键． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，动点D从点O出发沿O→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A停止．在运动过程中，的外接圆交于点P．连接交于点E，连接，得到． (1)求； (2)如图2，移动过程中，当点P恰好落在的中点时，求此时点D的坐标； (3)①设点D运动的时间为t秒，直接写出点P的坐标______（用含t的代数式表示）； ②设的面积为S，求S关于时间t的关系式． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）证明求出，得到，证明，则，即可求出； （2）过点O作，延长交于点N，求出，证明是的中位线，则，证明，则，得到，得到，即可求出点D的坐标； （3）①过点P作，延长交于点N，设点，则由题意可得，，则，得到，，由（2）可知，则，即可求出答案；②过点E作于点H，证明，得到，得到，证明，则，得到，求出，根据得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵] ∴， ， （2）过点P作，延长交于点N，如图， ∵ ∴， ∴， ∵点P恰好落在的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）①过点P作，延长交于点N，如图， 设点，则 由题意可得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 由（2）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为： ②过点E作于点H，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形、圆内接四边形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 49．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，交于第一象限内点，在射线上截取，连接，点即为所求作的点；设，过点作轴于点，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解，当，先证明四边形是矩形，则，列式，得，即可作答 ； （2）运用待定系数法解出的解析式为，因为以点为圆心，所以，则在的上方，作图，运用勾股定理分别算出，，，，同理，解出，对于与以点为圆心、半径为r的圆有公共点的处理过程与上述解法类似，最后运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作的点． 设，过点作轴于点， 则，， ， 点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ， 点的坐标为， 当的直角顶角在点A处， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：依题意，设的解析式为， 把和分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， ∵以点为圆心， ∴， 则在的上方， 如图：过点P分别作，，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 同理，由（1）得出四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，图形与坐标，勾股定理，矩形的性质与判定，待定系数法解一次函数，解直角三角形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 50．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)的长是 (2)的值为 【分析】（1）连接，由四边形是矩形，是的中点，得，，则，由折叠得，垂直平分，则，，可证明，则，，所以，则； （2）作于点，交于点，则，，所以，，则，，所以，，即可求得． 【详解】（1）解：（1）连接， 四边形是矩形，，，是的中点， ，， ， 由折叠得点与点关于对称，， 垂直平分，，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． （2）作于点，交于点，   ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ，， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与圆压轴 题型四 锐角三角函数与一次函数压轴 题型五 锐角三角函数与二次函数压轴 题型六 锐角三角函数与相似压轴 题型七 锐角三角函数的最值训练 题型八 锐角三角函数的应用 题型九 锐角三角函数的新定义问题 题型十 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足． (1)求的长； (2)若，求的值． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．    求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 5．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 7．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点E、F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，则菱形的面积为________． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． (1)如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； (2)设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： (3)如果点F在边上，且与相似，求的长． 9．（21-22九年级下·上海·自主招生）如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 10．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在菱形中，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点的运动时间为，且，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，点的运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【经典例题三 锐角三角函数与圆压轴】 11．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，是的直径，边交于点，作于点，延长和交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长度． 12．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 13．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若E是的中点，且，，求的长． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦垂直平分，交于点，点是弧上的一点，连结，，， (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求四边形的面积． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数压轴】 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 17．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 18．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； (3)在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 19．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过x轴上的点作平行于y轴的直线l（），分别与直线和双曲线交于P、Q两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，在直线上寻求一点M，使的值最小；在直线上寻求点N，使的值最大，请求出的长度． 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，一次函数与正比例函数相交于第一象限的点A，与x轴相交于点B，已知k是方程的一个解． (1)求点A的坐标； (2)求的值； (3)直线上是否存在一点C，使得？若存在，请求出点C的．坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数压轴】 21．（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 22．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上位于直线下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，过点P作的平行线交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点N是抛物线上一点，连接，当线段的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 23．（23-24九年级下·全国·单元测试）定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． (1)直接写出抛物线的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 24．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 25．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 锐角三角函数与相似压轴】 26．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)猜想：与的数量关系并证明； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 27．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在直角梯形中，，E在边上，F在边上，． (1)如果，则________； (2)当________时，是等腰三角形； (3)与能否相似？如果能相似，求出的长，如果不相似，请说明理由． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 29．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点G． (1)如图2，当，且点G落在对角线上时，求的长； (2)如图3，连接，当且是直角三角形时，求的值； (3)当时，的延长线交的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与相似，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 30．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段之间，连接，且与互相垂直，求的长； (3)连接，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【经典例题七 锐角三角函数的最值训练】 31．（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，． 问题初探 （1）如图2，当点D在直线上时， ①求证：． ②推断：与的比值． 问题深入 （2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由． 问题解决 （3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，． ①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由． ②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 32．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 33．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，中，，，则a的最小整数值为______． （2）如图2，中，，，，点O为边的中点，过O作，、分别交边、于E、F，请求出长度的最小值． （3）如图3，有一块四边形草地，规划部门计划在这块空地内种植花卉，计划在边、上分别取点E、F，利用小路、把这块草地分割开，在四边形内种植郁金香，其他区域种植草坪，为观赏长廊．已知，， m， m，．设计师认为当时，规划更美观，已知种植郁金香每平米20元，请帮助规划部门解决问题：当观赏长廊长度最小时，求出种植郁金香所需费用（观赏长廊所占面积忽略不计）． 34．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    35．（2024·陕西西安·模拟预测）【问题探究】 （1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________． （2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度； 【问题解决】 （3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．    【经典例题八 锐角三角函数的应用】 36．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 37．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 38．（2024九年级下·辽宁·专题练习）数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． (1)求杯口半径的长； (2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 39．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 40．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【经典例题九 锐角三角函数的新定义问题】 41．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 42．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 43．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点P、N、Q在同一条直线上，，则称点N为的“银杏点”．特别地，若N为的中点时，则Q为的“银杏点”，P也为的“银杏点”． (1)已知，点N在线段上，若点N为的“银杏点”，则______． (2)如图，O为的重心，则下列说法正确的是______（填序号）． ①O为的“银杏点”； ②E为的“银杏点”； ③D为的“银杏点”； ④C为的“银杏点”． (3)如图2，在中，．若，． ①求的长； ②当点M在边上，且M、E、G中有一点为其它两点的“银杏点”．点K在直线上，且．求的长． 44．（21-22九年级下·山西·阶段练习）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定sin90°＝1）． (1)探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接）． 事实上，以上结论适用于任意三角形． (2)初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b． (3)综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 45．（2021·福建厦门·模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定）． 探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：． 学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【经典例题十 锐角三角函数的综合】 46．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 47．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，动点D从点O出发沿O→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A停止．在运动过程中，的外接圆交于点P．连接交于点E，连接，得到． (1)求； (2)如图2，移动过程中，当点P恰好落在的中点时，求此时点D的坐标； (3)①设点D运动的时间为t秒，直接写出点P的坐标______（用含t的代数式表示）； ②设的面积为S，求S关于时间t的关系式． 49．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 50．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$