专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 1．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 2．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 1．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 3．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 1．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 2．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 3．阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形相似的判定与性质，根据题意构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接，，，证明，利用三角形相似的性质结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，，， 则． ， ， ， ． 又， ． 在中， ． 故选：B． 1．如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：如图所示，连接，设正方形网格中小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键． 2．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ． 【答案】3 【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理证明是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN， 由题意得：CM∥AB， ∴∠APD＝∠NCD， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴∠APD的正切值为：3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明和，得到； （2）根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时，画图即可； （3）根据强相似点定义得出，得出，根据折叠得出，，得出，根据三角函数定义得出，得出，即可求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）解：如图，点为靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为矩形的边上的强相似点； 同理点为靠近点B，边上的强相似点，如图所示： （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知：， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，三角函数的定义，余角的性质，勾股定理，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 故选：A 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且．设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，解直角三角形的综合，根据题意，以点为圆心，以2为半径画圆，当时，的值最小，根据解直角三角形的计算方法即可求解，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点为圆心，以2为半径画圆交x轴于点E，F，点在处在第一象限的弧上，    当与相切时，的值最小，，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，   故选：D ． 2．如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握对称性质．过点作轴于点，根据点坐标为，可得，，根据三角函数可得，所以得，再根据矩形沿对角线翻折使点落在点处，可得，，所以得，进而求得点的坐标． 【详解】解：如图， 过点作轴于点， 点坐标为， ，， ， ， 矩形沿对角线翻折使点落在点处， ，， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 3．已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． (1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； (2)①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理，数量掌握这些性质是解题的关键． （1）过点A作轴于点E，设，求出，可得，再用含的式子表示出，即可求解； （2）①过点A作轴于点E，过B作轴于点F，同（1）方法求出，求出、，证即可求出； ②过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G，同（1）求出，证即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， ∴点坐标为； （2）①如图，过点A作轴于点E，过B作轴于点F， ∴， ∵，， ∴，即，， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，过点A作轴于点H，过点B作延长线于点G， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍）， ∴，， ∵，轴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与正方形综合，涉及三角函数、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，数量掌握这些性质是解题的关键． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图，矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上． 若四边形是菱形，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用定理是解题的关键．连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，设，，解直角三角形，得，，则，，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，设，， ，可得， ∴，，则，， ∴． 故选：D． 1．如图，四边形是面积为3的正方形，一直角三角板（三个角分别为、、）的斜边与重合，直角顶点E在上，则的面积为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形面积算出边长，再算出，得出，根据三角形面积公式即可求解； 【详解】解：∵四边形是面积为3的正方形， ∴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】首先得出，然后得出，然后结合得到，推出，然后利用求出，然后证明出，设，根据勾股定理求出，过点A作交于点G然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， 如图，过点A作交于点G    ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是推出． 3、【问题提出】 （1）如图①，在菱形中，，点、分别是、上的点，且平分菱形的面积，求的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，和是两条平行的路，在两条路之间有一块四边形空地，即四边形．为了美化环境，市政府决定将这块空地改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便市民观赏花卉．并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，．如果将通道记为，请求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）连接交于点，作，则当过点时，平分菱形的面积；当时，有最小值．据此即可求解； （2）延长交直线于点，过点作于点，在上取点，连接，首先证明，利用三角函数解得，在中，由勾股定理解得，的值，进而可得，的值，由求得花卉总面积；再在中，利用三角函数解得，由勾股定理解得，的值，结合通道两侧种植的两种花卉面积相等可解得，进一步解得，的值，然后利用勾股定理计算的值即可． 【详解】解：（1）连接交于点，作，如图所示， 则当过点时，平分菱形的面积； 当时，有最小值． ∵， ∴， ∵、均为菱形的高， ∴的最小值为； （2）如下图，延长交直线于点，过点作于点，在上取点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，可有， ∴， ∴， 即，解得， ∴， ∵要求通道两侧种植的两种花卉面积相等， ∴，即， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形函数的应用、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，在中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形． 连接，如图，先根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到，，再证明∽得到，接着利用等线段代换得到，然后根据正弦和余弦的定义得到，，从而得到． 【详解】解：连接，如图， 是直径， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ． 故选：B． 1．如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得出，在中由可得出答案． 【详解】解：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过两点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为6，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理的应用，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 1．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，过点作轴，过点作轴，连接，证明，得到，求出，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，连接，则：， ∵关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴； 故选C． 2．如图，在直角坐标系中，点A是函数图象上的动点，1为半径作，已知点，连接，当与两坐标轴同时相切时，的值为 . 【答案】或 【分析】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分两种情况讨论，一是点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，由切线的性质得轴，轴，所以，而，所以，则；二是点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，所以，则，于是得到问题的答案．正确地作出画出两种图形是解题的关键． 【详解】解：如图1，点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、， 的半径长为1， ， 轴，轴， ， 点， ， ， ； 如图2，点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、， ，轴，轴， ， ， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 3．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案. 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴ 米． 故选：C 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．延长交于点，由题意可得：，，，，推出，证明四边形是矩形，得到，设，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， 由题意可得：，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ． 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形，根据题意，得到为等腰直角三角形，得到，再由解直角三角形，求出的长度，然后得到的长度． 【详解】解：如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 故选：A． 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 【答案】(1) (2)小明路线的长为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作于点，可证明四边形是矩形，得到，，推出，最后根据，即可求解； （2）根据矩形的性质可得：，，推出，可求出，进而求出，由，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 小明路线的长为． 1、（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查解直角三角形，由余角的性质推出，，再由锐角三角函数的定义逐个判断计算即可． 【解答】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故A不符合题意； ∵，， ∴， 故B符合题意； ∵，， ∴， 故C不符合题意； ∵，， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接．根据垂径定理可知是的垂直两平分线，从而可得最小值为的长度；根据圆周角定理求得，从而求得，由对顶角的性质可知，再根据三角形内角和定理求得，由三角函数求出即可． 【详解】解：如图所示，将半圆O补充成一个整圆，过点C作的垂线交于点，连接交于点P，连接、，连接，延长交于点E，连接． ∵为直径，， ∴是的垂直两平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ，， ， ∴ ∴ ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路线问题，作点C的对称点并将的最小值转化为线段，掌握圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理、特殊角的三角函数是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，， ∴冬至时，；夏至时，， ∴，， ∴，， 解得：． 故表高为． 故选A． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】取的中点，连接，如图所示，Q是的中点，，，在矩形中，因为F是的中点，E是的中点，所以，则四边形是平行四边形，，则三点共线，当时，取最小值，由平行线的性质，则故，再结合勾股定理得，则，解出即可作答． 【详解】解：如图：取的中点，连接，，如图所示， ∵Q是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵F是的中点，M是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则三点共线， 当时，取最小值， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的判定与性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知的半径为2，弦的长为．若在上找一点，使， ． 【答案】或 【分析】如图，过点O作于，，垂足分别为H，Q，构造出直角三角形，根据垂径定理与勾股定理求得三角形的边长，求得和，再求出的度数即可． 【详解】解：如图，过点O作于，，垂足分别为H，Q， ∵的半径为2，弦的长为，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：； 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点M作于点E，判定是等边三角形，过点C作于点G，根据轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数解答即可．． 【详解】解：过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，是等边三角形， ∴； 过点C作于点G， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点A，点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当M，C，E三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当时，取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值，此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形性质，特殊角的三角函数是解题的关键． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 【答案】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．作交的延长线于Q，，，设米，则米，由题意可知，米，在中，米，，得到米，则，解方程后即可求出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于Q，则， ，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，由题意可知，米， 在中，米，， ∴米， ∴， 解得， ∴米， 即此大树约为米． 故答案为：． 9．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】38.5 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，则， ，， ， ， 在中，， ． 点A到的距离约为38.5． 故答案为：38.5 10．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，， ， ， 在中， ， ， ． ． 12．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E是的中点，点F为边上的一点，联结、、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，得到，勾股定理求出，证明，又由，即可证明； （2）延长交于点G，过点G作，交延长线于H，在中，由勾股定理得：，在中，，可设，，得到，证明，得到，得到，则，得到，证明，则．即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长交于点G，过点G作，交延长线于H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴可设，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 由，得：， 由，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质、勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（2024·广西贵港·模拟预测）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，米，求车轮的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)直径 【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，进而三角形内角和定理证明即可； （2）过点作于点．设米，米，根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是切线， ， 是直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于点． ， 可以假设米，米， （米）， ， （米）， （米）， ， ， 解得，， 直径． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（24-25九年级上·重庆·期中）山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚处集合，此时测得山顶的仰角是，两人边走边聊，沿着倾斜角为的斜坡前进到达凉亭，在凉亭测得山顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求山的高度（结果保留根号）． (2)随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭出发的后一段，两人的行进速度为千米/时．当他们从凉亭出发的同时，小庆在山脚处乘坐观光缆车到山顶与小育小才会合．已知观光缆车的速度为千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)小庆先到达山顶 【分析】过点作于点，过点作于点，可得四边形是正方形，是等腰三角形，利用锐角三角形函数分别求出、的长度，利用全等三角形的性质可昨：、，从而可得； 利用，小育、小才的速度是，可以求出小育小才用的时间是，根据，可以求出，根据观光车的速度是，求出小庆到山顶需要的时间为，通过比较可得小庆先到山顶． 【详解】（1）解：如下图所示， 过点作于点，过点作于点， 由题意得，，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 于点，于点， 四边形是正方形， ，     在中，，， ， ，， ，     答：山高度为； （2）小庆先到达山顶， 理由如下： 可知     由得， ，， ，         ，         小庆先到达山顶．         答：小庆先到达山顶． 【点睛】本题主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键． 15．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 3．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 1．如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 3．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 1．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 2．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 3．阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ． 3．【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且．设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 3．已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在x轴上方，与y轴的夹角为． (1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标； (2)①如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标； ②如图3，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图，矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上． 若四边形是菱形，则的长是（   ） A． B． C． D． 1．如图，四边形是面积为3的正方形，一直角三角板（三个角分别为、、）的斜边与重合，直角顶点E在上，则的面积为（   ） A．3 B． C． D． 2．如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为 ．    3、【问题提出】 （1）如图①，在菱形中，，点、分别是、上的点，且平分菱形的面积，求的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，和是两条平行的路，在两条路之间有一块四边形空地，即四边形．为了美化环境，市政府决定将这块空地改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便市民观赏花卉．并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，．如果将通道记为，请求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，在中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径，圆恰好与相切于点，连接，若平分，，则线段的长是（    ） A．2 B． C． D．3 2．如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 3．如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过两点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为6，求的长． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，在直角坐标系中，点A是函数图象上的动点，1为半径作，已知点，连接，当与两坐标轴同时相切时，的值为 . 3．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 1、（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半圆O中，直径，C，D是半圆上两点，P是直径上一点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知的半径为2，弦的长为．若在上找一点，使， ． 7．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 9．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 10．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 12．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E是的中点，点F为边上的一点，联结、、． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，求的长． 13．（2024·广西贵港·模拟预测）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，米，求车轮的直径的长． 14．（24-25九年级上·重庆·期中）山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远．“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔．小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚处集合，此时测得山顶的仰角是，两人边走边聊，沿着倾斜角为的斜坡前进到达凉亭，在凉亭测得山顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求山的高度（结果保留根号）． (2)随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢．若从凉亭出发的后一段，两人的行进速度为千米/时．当他们从凉亭出发的同时，小庆在山脚处乘坐观光缆车到山顶与小育小才会合．已知观光缆车的速度为千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶？请通过计算说明． 15．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$