专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    1．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 2．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 【答案】 【分析】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，连接，根据为直径，得出，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，根据同弧所对的圆周角相等得出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 1．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理算出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，，，，点D是斜边上任意一点，连接，过C作于点C，连接，使得．当的面积取得最大值时，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】先证明，利用勾股定理求出，根据，，，可得，则，于是可得，，设，则，，，设的面积，则，进而可得当时，取得最大值，此时，则点是斜边的中点，此时，因而可得，进而即可得出答案． 【详解】解：， ， ，， ， 在中，，，， 由勾股定理可得： ， 在中，， 在中，， ， ， 即：， 又， ， ，， 设，则， ， ， ， 即：， 设的面积， 则， 整理，得：， 当时，取得最大值， 此时，， ， ， 当点是斜边的中点时，的面积取得最大值， 此时， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，等式的性质，勾股定理，求角的正切值，相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的面积公式，代数式求值，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式构造二次函数是解题的关键． 3．已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识点，准确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理求解即可； （2）如图：过点F作于点G，根据平行四边形的性质证明，然后求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶ ． （2）解：如图：过点F作于点G，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的正切值． 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，中，，，，作于，则，设，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，中，，，， 作于， 又∵是的角平分线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切是解题的关键． 1．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 2．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角函数值求边长，过作交延长线于点，由，求出，再根据平行四边形的性质得出，最后利用面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握三角函数求边长及平行四边形的性质． 【详解】解：过作交延长线于点，如图， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 3．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 1．如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，连接，由勾股定理可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即得，再根据特殊角的三角函数值即可求解，得出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 2．求常见的三角函数值： （1） ； ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的函数值计算即可； （2）根据特殊角的函数值计算即可； （3）根据特殊角的函数值计算即可； （4）根据特殊角的函数值计算即可； （5）构造等腰三角形，利用方程，估算思想计算即可； （6）根据特殊角的函数值，估算思想计算即可． 【详解】（1）；， 故答案为：，1； （2），， 故答案为：； （3），， 故答案为：，； （4），； 故答案为；，； （5）如图，构造等腰，使得，则， 作的平分线，交于点E，作于点D， 则，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设，则, ∴， 故，； 故答案为：，； （6），， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用二次根式的性质，特殊角的三角函数，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果； （2）原式利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的三角函数值，进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式加法运算，熟记特殊角的三角函数值、二次根式加法运算是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式加法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，熟练掌握公式，熟记特殊角的函数值是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分母有理化等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算各特殊角的三角函数值，然后分母有理化，计算乘方与乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】由，得 2cosA-=0，=0， 解得cosA=，tanB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=180°-30°-30°=120°， △ABC是顶角为120°的等腰三角形． 故选B. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键，要熟记特殊角三角函数值． 1．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足+-cos B2=0，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．90° D．60° 【答案】B 【详解】 ∵+-cos B2=0，∴sin C-=0，-cos B=0， ∴sin C=，cos B=， ∴∠C=45°，∠B=30°， ∴∠A的度数为180°-45°-30°=105°． 答案 B 2．中，均为锐角，且，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据等边三角形的判定即可得． 【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 在中，均为锐角， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”证明即可； （2）根据勾股定理和垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”解答即可． 【详解】（1）证明：E为的中点， ， 弦于点E， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：在中，，， ， 是的直径，弦于点E， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的判定，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，过作于，由勾股定理求解，再利用锐角的余弦即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 1．如图，是的两条弦，的半径为5，连接交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、特殊角的三角形函数、等腰直角三角形、圆周角定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键. 如图：连接,即，过作，先根据勾股定理可得，再根据垂径定理以及余弦函数可得、即，从而得到，再根据圆周角定理可得、，最后根据三角形外角的性质即可解答. 【详解】解：如图：连接,即，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴,即, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴,， ∴. 故选D. 2．在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性． 根据题意得出，进而得出，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ， 故答案为：． 3．综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 1．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 2．比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 3．（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 1．已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：根据题意，知 0°＜∠B＜45°． 又sin45°=， ∴0＜n＜． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，以及切线长定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．先由勾股定理的逆定理得为直角三角形，再过内切圆圆心点作，垂足分别为点，进而利用切线长定理即可求解． 【详解】解：， 为直角三角形，如图，过内切圆圆心点作，垂足分别为点，则由切线长定理可知，，， ，， ． 故选：A． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【详解】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各项分别计算然后判断. 【详解】解：A.     ，故此选项错误； B. ，故此选项正确； C. ，故本选项错误；     D. 当，，∴，故本选项错误 故选：B. 【点睛】本题考查锐角三角函数及其增减性，熟练掌握特殊角三角函数值是本题的解题关键. 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选：C． 1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 2．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 3．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点为弧的中点，可得，推出，进 而 得 到，推出，可得，即 可 证 明 ； （2）连接，得到，由可得，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，得 到 ，证明，得 到 ，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关的知识． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例、求角的正切值等知识点，正确连接辅助线得到平行线段及直角三角形是解题的关键． 如图：连接，连接格点D、F交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，再利用对顶角可得答案． 【详解】解：如图：连接，连接格点D、F交于F， 由网格图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，折叠得到的图形是轴对称图形，先求出的长，再根据相似三角形的性质，得出，最后得出正切值．根据折叠的性质，可得与的关系，根据，可得与的关系，根据勾股定理，可得的长，根据两个角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据正切的意义，可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 设， 沿折叠为， ，． ， ． ， ． 在中，由勾股定理，得 ． ，， ， ， ． ． ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，过作轴交于，由直线的解析式可求 ，由三角形的面积求得，由正切函数得，可求点的坐标，即可求解；能通过三角形的面积及正切函数求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过作轴交于， 直线， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形、二次函数的图像和性质，解题的关键是利用数形结合思想，及等边三角形的性质确定二次函数的顶点，建立等式． 先根据等边三角形的性质求出的值，并确定Q为二次函数的顶点，再结合求出，得出Q，A，B的坐标，再将Q，A，B代入解析式得方程组，计算即可求出a的值． 【详解】解：过点Q作，垂足为D， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴Q为二次函数的顶点， ∵， ∴， ∴， ， ， 将Q，A，B代入解析式得 解得： 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，解一元二次方程，由推出，进而得出，再解一元二次方程可得答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 令，则， 解得， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 8．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为6． 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：如图，中，，点是边上的一点，且，，． (1)求的长； (2)作于，求的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质可知，借助勾股定理计算出，即可确定的长； （2）首先由相似三角形的性质计算，即可确定，然后证明，由相似三角形的性质求得的值，然后计算的长，在中求的正弦值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质，正确画出辅助线是解题的关键． （1）可过点O作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题． （2）过点A作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）过点O作的平行线，分别与，交于点M，N， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴． （2）解：在中，， 过点D作的垂线，垂足为E，过点A作垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，则， ∴在中，， ∵， ∴． 在中，． 15．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)求点到边的距离． (3)________． (4)当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4)当时，；当时，． 【分析】（1）分两种情况讨论，当和时，根据题意分别列式即可； （2）过点作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解； （3）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （4）分①当时，由余弦函数的定义求得，由等腰三角形的判定和性质求得，得到，解方程即可；②当时，推出，利用平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：过点作于点， ，且， ∴， 在中，由勾股定理得： ； （3）解：在中，，， ∴； （4）解：①当时，在矩形中， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时，若，则， ∴， ∵， ∴， ∴, 即， ∴． 【点睛】本题考查了余弦函数，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程．分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则 ． 3．如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 1．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点D是斜边上任意一点，连接，过C作于点C，连接，使得．当的面积取得最大值时，的值为 ． 3．已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 1．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 2．如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积的值是 ． 3．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．求常见的三角函数值： （1） ； ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 3．计算： (1) (2) 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】的值为（   ） A．1 B． C． D． 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．计算： ． 3．计算：． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 1．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足+-cos B2=0，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．90° D．60° 2．中，均为锐角，且，则的形状是 ． 3．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．如图，是的两条弦，的半径为5，连接交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则的度数为 ． 3．综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 1．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小（用连接），，， ． 3．（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 1．已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 3．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上，若，则的值为（） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是（   ） A．64 B．48 C．40 D．32 4．（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，若，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 12．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：如图，中，，点是边上的一点，且，，． (1)求的长； (2)作于，求的正弦值． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 15．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，中，，．动点、分别从点、同时出发，点以每1个单位长度的速度沿向终点运动，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度，连结．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)求点到边的距离． (3)________． (4)当时，以为对角线作矩形，且点在边上，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$