第二章 《有理数及其运算》考点复习(5) 讲义 2024--2025学年北师大版七年级数学上册

第二章 有理数及其运算 第5节 有理数的混合运算 目录：基础点拨、巩固拔高、试题析解 一 基础点拨 知识点1 有理数的运算律 加法运算律：交换律——a+b=b+a； 结合律——(a+b)+c=a+(b+c) 乘法运算律：交换律——ab=ba 结合律——(ab)c=a(bc) 分配律——a (b+c)=ab+ac 知识点2 有理数混合运算律的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【例1】计算： （1）（﹣7）﹣（﹣8）+（﹣9）﹣14； （2）（﹣4）×（﹣3）2﹣14÷（﹣7）； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【解答】解：（1）原式＝﹣7+8+（﹣9）+（﹣14） ＝1+（﹣23） ＝﹣22； （2）原式＝﹣4×9﹣14÷（﹣7） ＝﹣36+2 ＝﹣34； （3）原式 ＝﹣6+5﹣16 ＝﹣17； （4）原式＝﹣1﹣4+5， ＝0． 【变式练习1】计算：． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算法则． 【解答】解： ＝﹣12． 【变式练习2】计算： ①（﹣5）2﹣（﹣7）+（﹣16）+（﹣1）4； ②； ③﹣32÷（﹣3）2+3×2+|﹣4|； ④． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解答】解：①（﹣5）2﹣（﹣7）+（﹣16）+（﹣1）4 ＝25+7﹣16+1 ＝32﹣16+1 ＝16+1 ＝17； ② ＝﹣16﹣24 ＝﹣16﹣25 ＝﹣41； ③﹣32÷（﹣3）2+3×2+|﹣4| ＝﹣9÷9+6+4 ＝﹣1+6+4 ＝9； ④ ＝﹣16（4+1） ＝﹣165 ＝﹣16 ＝﹣16． 【变式练习3】计算： （1）﹣8﹣5+3； （2）； （3）（﹣4）×9+（﹣8）×9﹣2×（﹣9）； （4）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． 【解答】解：（1）原式＝﹣13+3 ＝﹣10； （2）原式 ＝﹣16； （3）原式＝﹣36﹣72+18 ＝﹣90； （4）原式 ＝﹣8+2+1 ＝﹣5． 【例2】若a，b是有理数，定义一种新运算⊕：a⊕b＝2ab+1． 计算：例如：（﹣3）⊕4＝2×（﹣3）×4+1＝﹣23． 试计算： （1）3⊕（﹣5）． （2）[3⊕（﹣5）]⊕（﹣6）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式是解题的关键． 【解答】解：（1）根据题意可得：原式＝2×3×（﹣5）+1＝﹣30+1＝﹣29； （2）根据题意可得：2×（﹣29）×（﹣6）+1＝348+1＝349． 【变式练习1】已知x，y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题． （1）求2*4； （2）求（2*5）*（﹣3）； （3）任意选择两个有理数x，y，分别计算x*y和y*x，并比较两个运算结果，你有何发现？ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：2*4＝8+1＝9； （2）根据题中的新定义得：（2*5）*（﹣3）＝11*（﹣3）＝﹣33+1＝﹣32； （3）根据题中的新定义得：x*y＝xy+1，y*x＝yx+1， 则x*y＝y*x． 【变式练习2】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17． 故答案为：17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【变式练习3】对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|． （1）计算（﹣3）⊙（﹣4）的值； （2）当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b； （3）当a⊙b＝a⊙c时，是否一定有b＝c或者b＝﹣c？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【解答】解：（1）∵a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|， ∴（﹣3）⊙（﹣4）＝|﹣3+（﹣4）|+|﹣3﹣（﹣4）|＝7+1＝8； （2）根据图像可得：a+b＜0，a﹣b＞0， 故a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b； （3）不一定， a⊙b＝a⊙c时，即|a+b|+|a﹣b|＝|a+c|+|a﹣c|， 当a＝6，b＝5，c＝4时，a⊙b＝a⊙c＝12， 此时，等式成立，但b≠c，b≠﹣c， 故不一定有b＝c或者b＝﹣c． 【例3】“十•一”国庆黄金周期间，某旅游景区第一天（10月1日）进入景区的人数为2.3万人，以后的6天里每天进入景区的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人） 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 +0.8 +0.4 ﹣0.3 ﹣0.8 +0.6 ﹣1.2 （1）10月2日进入景区人数是多少？ （2）黄金周这7天内进入景区人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们人数相差多少？ （3）若景区门票为每人10元，问黄金周期间景区门票总收入是多少？ 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【解答】解：（1）2.3+0.8＝3.1（万人）， 即10月2日进入景区人数为3.1万人； （2）10月2日～7日每天的景区人数如下： 10月1日：2.3万人； 10月2日：3.1万人； 10月3日：3.1+0.4＝3.5（万人）； 10月4日：3.5﹣0.3＝3.2（万人）； 10月5日：3.2﹣0.8＝2.4（万人）； 10月6日：2.4+0.6＝3（万人）； 10月7日：3﹣1.2＝1.8（万人）； 那么景区人数最多是10月3日，最少是10月7日， 则3.5﹣1.8＝1.7（万人）， 即它们人数相差1.7万人； （3）（2.3+3.1+3.5+3.2+2.4+3+1.8）×10 ＝19.3×10 ＝193（万元）， 即景区门票总收入是193万元． 【变式练习1】 怎样邮寄瓯柑更经济？ 瓯柑是温州的特产，每年秋冬季是其盛产期．小温家的瓯柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了10箱瓯柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 ﹣0.1 ﹣0.2 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，瓯柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，瓯柑几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，瓯柑的受损率估计为5%，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱瓯柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年瓯柑的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄10箱瓯柑哪种方案利润更高？ 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 【解答】解：任务1：10×10+0.3×1+0.1×4﹣0.1×3﹣0.2×2＝100（千克）， ∴这10箱瓯柑的总质量为100千克； 任务2：由表格可得， 10+0.3＝10.3，10+0.1＝10.1，10﹣0.1＝9.9，10﹣0.2＝9.8， ∴10箱瓯柑中重量为10.3的有1箱，重量为10.1的有4箱，重量为9.9的有3箱，重量为9.8的有2箱， 方案一：8×10+（10+1﹣1）×2+（10+1﹣1）×2×4+（10﹣1）×2×3+（10﹣1）×2×2＝270； 方案二： ∵这10箱瓯柑的总质量为100千克， ∴8+（100﹣1）×2+30＝236， ∵270＞236，270﹣236＝34（元）， ∴选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元； 任务3： 方案一：邮寄10箱瓯柑的利润为（12﹣6）×100﹣270＝330（元）， 方案二：邮寄10箱瓯柑的利润为6×100×100%﹣236﹣12×100×5%＝304（元）， ∵330＞304 ∴方案一利润更高． 【变式练习2】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0～9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位..…..例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到下面的式子： 3721＝3×103+7×102+2×101+1×100 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 计算机常用二进制来表示字符代码，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数． 即二进制数1011＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11（*），其他进制也有类似的算法…… 说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，（1011）2就是二进制数1011的简单写法，即（*）可以简写为：（1011）2＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11．十进制数一般不标注基数． （1）根据以上信息，将二进制数1101转化为十进制数，即 （1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝ 　13　； （2）将（131）8表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式； （3）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，逢六进一，用来记录他所放牧的羊的只数，求他所放牧的羊的只数． 【分析】本题考查了二进制，八进制，十进制间转化，熟练掌握不同进位制间转化是解题的关键 【解答】解：（1）（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13， 故答案为：13； （2）（131）8＝1×82+3×81+1×80， （3）（1234）6＝1×63+2×62+3×61+4×60＝216+72+18+4＝310． 【变式练习3】奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： （1）若允许有±2g的误差，30枚样品中不合格的有 　3　枚． （2）30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ （3）与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 与标准质量的差值/g ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键 【解答】解：（1）若允许有±2g的误差， 则30枚样品中不合格的有1+2＝3（枚）， 故答案为：3； （2）3﹣（﹣3） ＝3+3 ＝6（g）， 即30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多6克； （3）﹣3×1﹣2×3﹣1×5+0×9+1×6+2×4+3×2 ＝﹣3﹣6﹣5+0+6+8+6 ＝6（克）， 即与标准质量相比，30枚样品总计超过的质量为6克． 二 巩固拔高 时间：60分钟 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．用字母表示有理数的乘法交换律，正确的是（　　） A．a+b＝b+a B．（a+b）+c＝a+（b+c） C．a•b＝b•a D．（ab）c＝a（bc） 2．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（　　） A．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2 B．22﹣（﹣1）2023＝4+1 C． D． 4．某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（　　） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 5．定义一种新运算：x※y＝|x|﹣2y，如（﹣3）※（﹣5）＝|﹣3|﹣2×（﹣5）＝3+10＝13，则（﹣4）※7的结果是（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣3 D．3 6．小聪运用有理数的知识设计了一个计算程序，他给出了下面三个说法： ①若输入的值为x＝3，则最后输出的结果是231； ②若最后输出的结果是231，则整数x共有三种取值； ③该计算程序能够输出的最小整数结果101． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（　　） A．1 B．2 C．7 D．8 8．下列结论：①﹣24的底数是﹣2；②若有理数a，b互为相反数，那么a+b＝0；③正整数、负整数统称为整数；④若a为有理数，则a2+1不可能是负数；⑤式子|a+2|+6的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．计算：　 　． 10．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则 　 　． 11．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）的值为 　 　． （2）化简|a+c|﹣|c﹣b|﹣2|b+a|值为 　 　． 12．计算：　 　． 13．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　 　． 14．定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（）④+（﹣1）⑰＝　 　． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．计算：﹣12024﹣|0.5﹣1|． 16．计算 （1）（﹣2）×3×（+4）×（﹣1）． （2）﹣7+5﹣3． （3）． （4）． 17．司机小凡沿着东西大街跑出租车，规定向东为正，向西为负．某天，小凡从东西大街的A地处出发，小凡收工时，出租车的行驶记录为（单位：千米）：+8、﹣9、+7、﹣2、+5、﹣10、+7、﹣3，回答下列问题： （1）收工时小凡在A地的东边还是西边？距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？ 18．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 　 　； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？ 19．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” （1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　 　，异号得 　 　，并 　 　；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 　 　；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． （2）画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 20．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道，当x＞0时，，当x＜0时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＝﹣2，b＝3时， 　 　； （2）已知ab＜0，求的值； （3）已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0且，则的值 三 试题析解 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．用字母表示有理数的乘法交换律，正确的是（　　） A．a+b＝b+a B．（a+b）+c＝a+（b+c） C．a•b＝b•a D．（ab）c＝a（bc） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解答】解：用字母表示有理数的乘法交换律，正确的是a•b＝b•a， 故选：C． 2．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律 【解答】解：原式＝（20）×（﹣16）． 故选：C． 3．下列运算错误的是（　　） A．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2 B．22﹣（﹣1）2023＝4+1 C． D． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【解答】解：A．（﹣3）2﹣（﹣4）÷|﹣2|＝9+4÷2，正确，不符合题意； B．22﹣（﹣1）2023＝4+1，正确，不符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，原变形错误，符合题意， 故选：D． 4．某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（　　） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【解答】解：25÷[（35200﹣35000）÷100] ＝25÷2 ＝12.5（度） 即在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为12.5度， 故选：B． 5．定义一种新运算：x※y＝|x|﹣2y，如（﹣3）※（﹣5）＝|﹣3|﹣2×（﹣5）＝3+10＝13，则（﹣4）※7的结果是（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣3 D．3 【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 【解答】解：根据新定义可知：（﹣4）※7＝|﹣4|﹣2×7＝4﹣14＝﹣10． 故选：A． 6．小聪运用有理数的知识设计了一个计算程序，他给出了下面三个说法： ①若输入的值为x＝3，则最后输出的结果是231； ②若最后输出的结果是231，则整数x共有三种取值； ③该计算程序能够输出的最小整数结果101． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解答】解：若输入的值为x＝3，则：6； 再次输入：21； 再次输入：231＞100，输出；故①正确； 由上可知：当x＝3或x＝6或x＝21时，最后输出的结果都是231， 当x＝﹣4时，，则当x＝﹣4时，最后输出的结果也为231，故②错误； 当输出结果为101时，则：x（x+1）＝202， ∵不存在两个连续的整数之积为202，故③错误； 所以，上面三个说法其中正确的个数是1， 故选：B． 7．定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（　　） A．1 B．2 C．7 D．8 【分析】本题考查有理数的混合运算，关于整数n的“F”运算，解题的关键是理解题意，循环从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1… 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， ∴第2017次运算结果8， 故选：D． 8．下列结论：①﹣24的底数是﹣2；②若有理数a，b互为相反数，那么a+b＝0；③正整数、负整数统称为整数；④若a为有理数，则a2+1不可能是负数；⑤式子|a+2|+6的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和相关概念，解题关键是熟练掌握有理数的相关概念和有关计算． 【解答】解：∵﹣22 的底数是2， ∴①的说法错误； ∵互为相反数的和为0， ∴②的说法正确； ∵正整数、负整数和0统称为整数， ∴③的说法错误； ∵不论a为何值，a2都是非负数， ∴a2+1 一定是正数， ∴④的说法正确； ∵不论a为何值，|a+2|都是非负数， ∴|a+2|+6只有最小值，最小值为6，没有最大值， 故⑤说法错误； ∵在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，但不一定越小， ∴⑥的说法错误， 综上可知：说法正确的有：②④，共2个， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．计算：　　． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序是解题关键． 【解答】解：解法一：原式 ． 解法二：原式 ＝2﹣1 ． 10．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则 　5　． 【分析】此题考查了倒数，相反数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【解答】解：∵a和b互为倒数，c和d互为相反数， ∴ab＝1，c+d＝0， ∴5． 故答案为：5． 11．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）的值为 　﹣1　． （2）化简|a+c|﹣|c﹣b|﹣2|b+a|值为 　a+3b﹣2c　． 【分析】本题考查有理数的混合运算、数轴，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【解答】解：（1）由数轴可得， a＜b＜0＜c， ∴ab＞0， ∴ ＝﹣1+（﹣1）+1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）由数轴可得， a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a+c＜0，c﹣b＞0，b+a＜0， ∴|a+c|﹣|c﹣b|﹣2|b+a| ＝﹣（a+c）﹣（c﹣b）+2（b+a） ＝﹣a﹣c﹣c+b+2b+2a ＝a+3b﹣2c． 故答案为：a+3b﹣2c． 12．计算：　﹣1　． 【分析】本题考查的是有理数的运算能力．要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．注意要会灵活运用法则或者运算律进行解题． 【解答】解：原式（3.2） ＝﹣1． 13．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　　． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【解答】解：当x＝﹣4时， ＝3＞1， 当x＝3时， ． 故答案为：． 14．定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（）④+（﹣1）⑰＝　3　． 【分析】本题考查了有理数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． 【解答】解：2022②×（）④+（﹣1）⑰ ＝2022÷2022×（）÷（）÷（）÷（） ＝1×4+（﹣1） ＝3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．计算：﹣12024﹣|0.5﹣1|． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【解答】解：原式＝﹣1（3﹣9） ＝﹣1（﹣6） ＝﹣1+1 ＝0． 16．计算 （1）（﹣2）×3×（+4）×（﹣1）． （2）﹣7+5﹣3． （3）． （4）． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【解答】解：（1）（﹣2）×3×（+4）×（﹣1） ＝2×3×4×1 ＝24； （2）﹣7+5﹣3 ＝﹣（7+3）+5 ＝﹣10+5 ＝﹣5； （3）原式 ＝﹣14+20﹣18+16 ＝﹣（14+18）+（20+16） ＝﹣32+36 ＝4； （4）原式 ． 17．司机小凡沿着东西大街跑出租车，规定向东为正，向西为负．某天，小凡从东西大街的A地处出发，小凡收工时，出租车的行驶记录为（单位：千米）：+8、﹣9、+7、﹣2、+5、﹣10、+7、﹣3，回答下列问题： （1）收工时小凡在A地的东边还是西边？距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？ 【分析】此题主要考查的是有理数的加减混合运算，正数和负数，熟知有理数混合运算的法则，正数和负数的意义是解题的关键． 【解答】解：（1）8+（﹣9）+7+（﹣2）+5+（﹣10）+7+（﹣3）＝3（千米）， ∴收工时小凡在A地的东边，距A地3千米； （2）0.2×（8+|﹣9|+7+|﹣2|+5+|﹣10|+7+|﹣3|）＝0.2×51＝10.2（升）， ∴从A地出发到收工时，共耗油10.2升． 18．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 　﹣6.28　； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？ 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键． 【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28， ∴点A表示的数是﹣6.28， 故答案为：﹣6.28； （2）∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17， ∴17×2π×1＝106.76， ∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76， ∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1， ∴1×2π×1≈6.28， ∴此时点Q所表示的数是6.28． 答：当圆片结束运动时，Q点运动的路共是106.76，此时点Q所表示的数是6.28． 19．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” （1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 　正　，异号得 　负　，并 　用绝对值较大的数减绝对值较小的数　；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 　0　；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． （2）画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 【解答】解：（1）∵（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1），（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（）． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 20．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道，当x＞0时，，当x＜0时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＝﹣2，b＝3时， 　0　； （2）已知ab＜0，求的值； （3）已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0且，则的值． 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的混合计算，熟练掌握运算法则是关键 【解答】解：（1）由条件可知：， 故答案为：0； （2）∵ab＜0， ∴a、b异号， ∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，则， 当a＜0，b＞0时，则， ∴当ab＜0时，； （3）∵a+b+c＝0， ∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）， ∵， ∴|abc|＝﹣abc， ∴abc＜0， ∴a、b、c中一负两正， 当a为负，b、c为正时，则原式＝3， 当b为负，a、c为正时，则原式＝﹣1， 当c为负，a、b为正时，则原式＝﹣1， 综上所述，的值为3或﹣1． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$