第二章《有理数及其运算》考点复习(3) 讲义 2024--2025学年北师大版七年级数学上册

第二章 有理数及其运算 第3节 有理数的乘除法 目录：基础点拨、巩固拔高、试题析解 一 基础点拨 知识点1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0. 知识点2 倒数的定义 如果两个数的积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 符号表示：如果ab=1，那么a与b互为倒数。 此时，b=1/a或a=1/b . 反过来，如果a与b互为倒数，那么ab=1。 知识点3 有理数乘法法则推广 几个不等于0有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正，并把绝对值相乘。 几个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0 知识点4 有理数除法法则(1) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何数都是得0。 注意：0不能作除数。 知识点5 有理数除法法则(2) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 符号表示： 【例1】计算：． 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法运算法则是关键 【解答】解：原式 ． 【变式练习1】计算：； 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握是有理数的乘法法则是解题的关键 【解答】解：（1） ＝﹣2； 【变式练习2】计算：． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是关键 【解答】解：原式 ． 【变式练习3】已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，求|a﹣b|的值； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的额减法，掌握分类讨论是解题关键。 【解答】解：（1）根据题意可知，|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7， 又∵ab＜0， ∴a，b异号， ∴a＝5，b＝﹣7或a＝﹣5，b＝7， |a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12或|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12， 综上，|a﹣b|＝12； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0， ∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7， ∴ab＝5×7＝35或ab＝﹣5×7＝﹣35， 综上，ab＝±35． 【例2】2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义. 【解答】解：2024的倒数是， 故选：C． 【变式练习1】下列各组中两数互为倒数的是（　　） A．0和0 B．4和﹣4 C．﹣3和 D．﹣2和 【分析】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．注意0没有倒数 【解答】解：A．0没有倒数，∴0和0不互为倒数，故不符合题意； B．∵4×（﹣4）≠1，∴4和﹣4不互为倒数，故不符合题意； C．∵﹣31，∴﹣3和不互为倒数，故不符合题意； D．∵﹣2×（）＝1，∴﹣2和互为倒数，故符合题意． 故选：D． 【变式练习2】﹣2的倒数是（　　） A．2 B． C． D．|﹣2| 【分析】本题考查了倒数，关键是掌握倒数的性质． 【解答】解：﹣2的倒数是， 故选：C． 【变式练习3】已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|x|＝2． ①分别写出ab，c+d，x的值； ②的值． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【解答】解：①ab＝1，c+d＝0，x＝±2； ②当x＝2时，原式＝﹣1+0+2＝1； 当x＝﹣2时，原式＝﹣1+0﹣2＝﹣3； 所以原式的值为1或﹣3． 【例3】用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法，应用乘法分配律进行简便计算是解题的关键.【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9） ＝﹣900 ＝﹣899． （2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3） ＝0×（﹣3） ＝0． 【变式练习1】用简便方法计算． 【考点】本题考查了利用乘法分配律进行简便运算，计算时要注意运算符号的处理，这也是同学们容易出错的地方． 【解答】解：（﹣231）×（）， ＝（）×（）， ＝（）×（）（）（）， ＝2+3， ＝3． 【变式练习2】计算：2011． 【考点】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握乘法分配律． 【解答】解：2011（2010+1）2009． 【变式练习3】用简便方法计算 （1）﹣39（﹣12） （2）（）×（﹣60） 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用拆项法得出乘法分配律是解题关键. 【解答】解：（1）原式＝（﹣40）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）12＝480479； （2）原式（﹣60）6060＝﹣40+5+4＝﹣31． 【例4】老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣5）（第二步） ＝﹣3．（第三步） （1）小丽的解答过程共存在　两　处错误，分别是是第　二　步和第　三　步． （2）请你写出这道题正确的解答过程过程． 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键 【解答】解：（1）上面的解题过程中有两处错误： 根据有理数的乘除运算法则可知，第一处错误是第二步，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 第二处错误是第三步，错误原因时符号错了， 故答案为：两，二，三； （2） ＝9×3 ＝27． 【变式练习1】若|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求的值． 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法和除法，掌握绝对值问题的分类讨论是解决此题的关键． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝5，b＝﹣3或a＝5，b＝3， 则或； 即的值为或． 【变式练习2】（）÷（） 【分析】本题考查了有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．注意除法转化为乘法以后，能够利用运算律的要利用运算律进行简便计算． 【解答】解：原式＝（）×（﹣42） （﹣42）（﹣42）（﹣42） ＝﹣14+22﹣9 ＝﹣1． 【变式练习3】已知a，b，c为有理数，且1，求的值． 【分析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【解答】解：∵a，b，c为有理数，且1， ∴a，b，c中有两个为负数，一个为正数，即abc＞0， 则原式＝1． 二 巩固拔高 时间：60分钟 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，总分24分） 1．﹣3的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 2．某同学在计算﹣12÷a时，误将看成“÷”看成“+”结果是﹣6，则﹣12÷a的正确结果是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 3．下列描述正确的是（　　） A．符号不相同的两有理数的和为零 B．符号不相同的两有理数的和的符号为负 C．符号不相同的两有理数的差的符号为负 D．符号不相同的两有理数的积的符号为负 4．下列各式中计算正确的有（　　） ①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3； ②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 6．已知|x|＝4，|y|＝5且，则x﹣y的值为（　　） A．﹣1 B．﹣9 C．﹣9或﹣1 D．9 7．下列计算正确的是（　　） A．﹣3020×（） B．（）÷（）＝﹣2 C．（）÷（）×（） D．（）×（）＝0 8．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．的倒数与的相反数的和是 　 　． 10．两个非零的有理数的和是0，则它们的商是　 　． 11．计算的结果为 　 　． 12．已知|x|＝4，，且x+y＜0，则xy的值为　 　． 13．在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法． 例如：如图1，计算357×46，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则m＝ 　 　，n＝ 　 　． 14．已知a，b为有理数，下列说法：①若1，则a，b互为相反数；②若a，b互为相反数，则1；③若a+b＜0，则0；④若0，且a+b＜0，则a，b均为负数其中正确的有 　 　．（填序号） 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．计算：（1）； （2）． 16．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程从第　 　步开始错误； （2）请你写出正确的解答过程． 17．已知a2＝4，|b|＝3． （1）求出a和b的值； （2）已知，求a+b的值． 18．已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，a+b＞0，求a﹣b的值； （2）若a﹣b＜0，求ab的值． 19．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　 　的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 20．请利用绝对值的性质，解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，　 　；当b＜0时，　 　． （2）已知a，b是有理数，且ab＜0，求的值． （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （4）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值 三 试题析解 一、单选题（本大题共8小题，总分24.0分） 1．﹣3的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 【解答】解：∵（﹣3）×（）＝1， ∴﹣3的倒数是． 故选：A． 2．某同学在计算﹣12÷a时，误将看成“÷”看成“+”结果是﹣6，则﹣12÷a的正确结果是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】本题考查了有理数的除法，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键 【解答】解：由题意得，﹣12+a＝﹣6， 解得a＝6， 所以﹣12÷a＝﹣12÷6＝﹣2， 故选：B． 3．下列描述正确的是（　　） A．符号不相同的两有理数的和为零 B．符号不相同的两有理数的和的符号为负 C．符号不相同的两有理数的差的符号为负 D．符号不相同的两有理数的积的符号为负 【分析】本题考查了相反数，有理数的加法、减法和乘法，掌握相关运算法则是解题关键． 【解答】解：A、只有符号不相同的两有理数的和为零，不符合题意； B、符号不相同的两有理数的和的符号取绝对值较大的加数的符号，不符合题意； C、符号不相同的两有理数的差的符号取被减数的符号，不符合题意； D、符号不相同的两有理数的积的符号为负，符合题意． 故选：D． 4．下列各式中计算正确的有（　　） ①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3； ②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了有理数的乘法和除法法则，注意先确定符号． 【解答】解：①原式＝3，故①计算不正确； ②原式＝20，故②计算不正确； ③原式＝1，故③计算正确； ④原式3，故④计算不正确； 故选：A． 5．已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】此题考查了式子的化简求值，认真分析条件，得出这三个数中只能有一个正数，另两个为负数是解题的关键． 【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0， ∴a，b，c中有两个为负数，一个为正数， 不妨设a＜0，b＜0，c＞0， 由a+b+c＝0得出：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b， ∴ ＝1+1﹣1 ＝1． 故选：C． 6．已知|x|＝4，|y|＝5且，则x﹣y的值为（　　） A．﹣1 B．﹣9 C．﹣9或﹣1 D．9 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的除法、加法、减法，求出x、y的值是解题的关键． 【解答】解：由题意可知，|x|＝4，|y|＝5， 则x＝±4，y＝±5， 又因为， 所以y为正数，x为负数， 即x＝﹣4，y＝5， 则x﹣y ＝﹣4﹣5 ＝﹣9． 故选：B． 7．下列计算正确的是（　　） A．﹣3020×（） B．（）÷（）＝﹣2 C．（）÷（）×（） D．（）×（）＝0 【分析】本题考查了有理数的乘法与除法，运算量较大，计算时要认真仔细． 【解答】解：A、﹣3020×（）＝（﹣30+20），故本选项错误； B、（）÷（）＝（）÷（）＝﹣2，故本选项正确； C、（）÷（）×（）12，故本选项错误； D、（）×（）＝﹣1×（），故本选项错误． 故选：B． 8．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①a+b＜0；②a﹣b＜0；③ab＜0；④．成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查数轴，有理数的除法，乘法及减法，解题的关键是由图形得到﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1． 【解答】解：根据数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， 则a+b＜0，故①正确； a﹣b＜0，故②正确； ab＜0，故③正确； ，故④正确； 所以成立的有4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．的倒数与的相反数的和是 　0　． 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，有理数的加法，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 【解答】解：﹣1，它的倒数是，的相反数是， 则， 即的倒数与的相反数的和是0， 故答案为：0． 10．两个非零的有理数的和是0，则它们的商是　﹣1　． 【分析】本题考查相反数的性质，比较简单． 【解答】解：根据题意，两个非零的有理数的和是0， 则这两个数互为相反数，且不为0， 则它们的商是﹣1， 故答案为﹣1． 11．计算的结果为 　　． 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，熟练掌握有理数除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 12．已知|x|＝4，，且x+y＜0，则xy的值为　±2　． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，绝对值，掌握有理数的运算法则是关键． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝4，， ∴x＝±4，， 又∵x+y＜0， ∴x＝﹣4，， 当x＝﹣4，y时，， 当x＝﹣4，y时，． 故答案为：±2． 13．在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法． 例如：如图1，计算357×46，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则m＝ 　2　，n＝ 　1　． 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是理解新算法． 【解答】解：根据图2可知，ad＝10，bd＝10m，cd＝45， 结合bd＝10m、cd＝45可知d＝5， 则a＝2，c＝9，b＝2m， 由图2可得ae＝10n+6，be＝32，ce＝72， 则e＝8，b＝4， 则b＝2m＝4，ae＝10n+6＝16， 解得m＝2，n＝1， 故答案为：2，1． 14．已知a，b为有理数，下列说法：①若1，则a，b互为相反数；②若a，b互为相反数，则1；③若a+b＜0，则0；④若0，且a+b＜0，则a，b均为负数其中正确的有 　①④　．（填序号） 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的性质和定义． 【解答】解：∵， ∴a＝﹣b， ∴a，b互为相反数，故①正确； 当a＝b＝0时，a，b互为相反数，但不满足，故②错误； 当a＝0，b＝﹣1时，满足a+b＜0，但是，故③错误； ∵且a+b＜0， ∴a＜0，b＜0，故④正确； ∴正确的有①④， 故答案为：①④． 三、解答题（本大题共6小题，总分12.0分） 15．计算：（1）； （2）． 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【解答】解：（1） ＝﹣16； （2） ＝32 ＝4． 16．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程从第　二　步开始错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【分析】本题考查了有理数乘除法，掌握有理数乘除运算法则是解题的关键． 【解答】解：（1）由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，原因是没有按同级运算从左至右运算， 故答案为：二； （2） ． 17．已知a2＝4，|b|＝3． （1）求出a和b的值； （2）已知，求a+b的值． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的除法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 【解答】解：（1）根据题意可知，a2＝4，|b|＝3， 解得：a＝±2，b±3， （2）根据题意可知，0， ∴a，b异号 当a＝2，b＝﹣3时，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1， 当a＝﹣2，b＝3时，a+b＝（﹣2）+3＝1， 故a+b＝±1． 18．已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，a+b＞0，求a﹣b的值； （2）若a﹣b＜0，求ab的值． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方有理数的加减法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 【解答】解：（1）根据题意可知，|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7， ∵ab＜0，a+b＞0， ∴a＝﹣5，b＝7， ∴a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12； （2）当a﹣b＜0时， a＝﹣5，b＝7或a＝5，b＝7， 则ab＝（﹣5）×7＝﹣35或ab＝5×7＝35． ab的值为±35． 19．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　小红　的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【分析】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题． 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 20．请利用绝对值的性质，解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，　1　；当b＜0时，　﹣1　． （2）已知a，b是有理数，且ab＜0，求的值． （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． （4）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值． 【分析】本题考查的是有理数的乘法、有理数加法、绝对值，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解。 【解答】解：（1）∵a＞0，|a|＝a， ∴1； ∵b＜0， ∴|b|＝﹣b， ∴1． 故答案为：1，﹣1； （2）a，b是有理数，且ab＜0， ∴0． （3）∵a+b+c＝0，abc＜0， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0 ∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）， ∴原式1﹣1+1＝﹣1； （4）①三个数同时大于0时， 原式＝1+1+1＝3； ②三个数同时小于0时， 原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ③一个数大于0，两个数小于0时， 原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； ④两个数大于0，一个数小于0时， 原式＝1+1﹣1＝1． 综上所述，代数式的值为：3或﹣3或1或﹣1． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$