第06讲 解分式方程（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第06讲 解分式方程 课程标准 学习目标 ①分式方程的概念 ②解分式方程 1. 掌握分式方程的概念并能够熟练的判断分式方程。 2. 掌握解分式方程的方法过程，能够熟练的解分式方程以及熟练的进行其他应用。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 【即学即练1】 1．下列式子中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误； B、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误； C、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确； D、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 曾根 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 【即学即练1】2．把分式方程＝化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程． 【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x， 故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）． 故选：C． 【即学即练2】 解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程无解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：2x﹣2＝4x﹣6+1， 解得：x＝， 检验：把x＝代入得：2x﹣3＝0， ∴分式方程无解； （2）去分母得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入得：（x﹣2）2≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 【即学即练3】 4．若关于x的分式方程＝0的解为x＝4，则常数a的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．10 【分析】根据分式方程的解的定义把x＝4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可． 【解答】解：把x＝4代入分式方程＝0，得 +＝0， 解得：a＝10， 经检验a＝10是方程的解， 故选：D． 【即学即练4】 5．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4 【分析】先解分式方程得x＝，再由解为负数，得到＜0，又由x≠0，x≠﹣1，求得m≠0，即可求m的取值范围． 【解答】解：， 方程两边同时乘以x（x+1）得， mx﹣2（x+1）＝0， 去括号得，mx﹣2x﹣2＝0， 解得x＝， ∵解为负数， ∴＜0， ∴m＜2， ∵x≠0，x≠﹣1， ∴m≠0， ∴m的取值范围为m＜2且m≠0， 故选：B． 【即学即练5】 6．如果关于x的方程有增根，那么a的值是　1　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x＝2，将x＝2代入整式方程计算即可求出a的值． 【解答】解：分式方程去分母得：a+3（x﹣2）＝x﹣1， 根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 将x＝2代入得：a＝2﹣1＝1， 故答案为：1 【即学即练6】 7．若关于x的方程无解，则m的值是 　或　． 【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【解答】解：， 方程两边同乘：x（x﹣3），得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6， 整理得：（2m+1）x＝﹣6， ①整式方程无解：2m+1＝0，解得：； ②分式方程有增根：x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3； 当x＝0时：整式方程无解； 当x＝3时：3（2m+1）＝﹣6，解得：； 综上，当或时，分式方程无解； 故答案为：或． 题型01 判断分式方程 【典例1】下列是分式方程的是（　　） A．+ B．+＝0 C．（x﹣2）＝x D．+1＝0 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、+不是方程，不符合题意； B、+＝0不含有分式，不是分式方程，不符合题意； C、（x﹣2）＝x不含有分式，不是分式方程，不符合题意； D、+1＝0含有分式，是分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④ 【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【解答】解：方程①是分式方程，符合题意； 方程②分母中含有未知数，符合题意； 方程③整式方程，不符合题意； 方程④是整式方程，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【解答】解：（1）关于x的方程分母中含有未知数，（1）是分式方程； （2）关于x的方程分母中不含有未知数，（2）不是分式方程； （3）关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程； （4）关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程； （5）关于x的方程分母中π是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程． 综上所述：是分式方程的有1个． 故选：A． 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 【分析】先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案． 【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）去分母得：x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1， 故选：D． 【变式1】解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可； （2）利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）去分母得： 2x﹣3＝2（2x﹣1）， 去括号得： 2x﹣3＝4x﹣2， 移项，合并同类项得： ﹣2x＝1， ∴x＝﹣． 经检验：x＝﹣是原方程的解． ∴原方程的解为x＝﹣． （2）去分母得： 8+x2﹣4＝x（x+2）， 去括号得： 8+x2﹣4＝x2+2x， 移项，合并同类项得： 2x＝4， ∴x＝2． 经检验：x＝2是原方程的增根． ∴原方程无解． 【变式2】解方程： （1）； （2）＝1． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 原分式方程整理得，， 2×2（x﹣2）+2＝5（x﹣2）， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，2x（x﹣2）≠0， ∴x＝4是原方程的根； （2）＝1， 原分式方程整理得， 1.5+x﹣2＝1﹣2x， 解得：x＝0.5 检验：当x＝0.5时，1﹣2x＝0， ∴x＝0.5是原方程的增根， 原方程无解． 【变式3】解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘x（x+3）（x﹣3），把分式方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可； （2）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），把分式方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可． 【解答】解：（1）， ， 3（x﹣3）＝x， 3x﹣9＝x， 2x＝9， x＝4.5， 检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0， ∴x＝4.5是原分式方程的解； （2）， ， 8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 8+x2﹣4＝x2+2x， 2x＝4， x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴原分式方程无解． 题型03 根据分式方程的解求值或范围 【典例1】x＝2是分式方程的解，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】先化简得，再把x＝2代入分式方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵， ∴a（x﹣3）＝x， ∴， ∵x＝2是分式方程的解， ∴， 解得a＝﹣2． 经检验a＝﹣2时，x＝2是原分式方程的解． 故选：B． 【变式1】关于x的分式方程＝2+的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0 【分析】分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数． 【解答】解：＝2+， 方程两边同乘以（x+1），得 3x﹣2＝2（x+1）+m， 解得x＝m+4， ∵关于x的分式方程＝2+的解为负数， ∴x+1≠0且x＜0， 即m+4+1≠0且m+4＜0， 解得m＜﹣4且m≠﹣5． 故选：C． 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 【分析】先解出分式方程得到x＝4﹣m，再由题可知，4﹣m≥0，4﹣m≠1，解出m即可求解． 【解答】解：方程的两边同时乘x﹣1， 得，1﹣m+2＝x﹣1， 解得x＝4﹣m， ∵方程的解为非负数， ∴4﹣m≥0， ∴m≤4， ∵x≠1， ∴4﹣m≠1， ∴m≠3， ∴m的取值范围是m≤4且m≠3， 故选：B． 【变式3】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】解分式方程可得x＝，求出a为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的范围，则满足条件的整数a有两个． 【解答】解：解方程＝1得，x＝， ∵方程有正整数解， ∴整数a＝1，3，6， 解不等式组得， ∵关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴a﹣1≤2， ∴a≤3， ∴满足条件的整数a有两个． 故选：C． 【变式4】若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣14 【分析】先解一元一次不等式组的解集，再结合题意可得a≥﹣5，再解分式方程可得x＝，由题意可得符合条件的整数a有﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，求和即可． 【解答】解：， 由①得，y≥﹣4， 由②得，y≤a+3， ∵不等式组至少有3个整数解， ∴﹣2≤a+3， ∴﹣5≤a， ， 3+ax＝2（x﹣1）， （2﹣a）x＝5， 解得x＝， ∵方程的解为正数， ∴2﹣a＞0， ∴a＜2， ∵x≠0，x≠1， ∴a≠﹣3， ∴符合条件的整数a有﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1， ∴所有符合条件的整数a的和为﹣11， 故选：C． 题型04 根据分式方程的增根或无解求未知字母 【典例1】若分式方程有增根，则增根是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】根据分式方程的增根的定义解答即可． 【解答】解：∵分式方程有增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4， 故选：D． 【变式1】若分式方程有增根，则k的值为（　　） A．±1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣2或﹣6 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可． 【解答】解：去分母，得：x+1+k＝3（x﹣1）， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝1或x＝﹣1， 把x＝1代入整式方程，可得：k＝﹣2， 把x＝﹣1代入整式方程，可得：k＝﹣6， 综上，若分式方程有增根，则k的值为﹣2或﹣6． 故选：D． 【变式2】已知关于x的分式方程的增根是x＝2，则m的值为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 【分析】根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可． 【解答】解：关于x的分式方程， 去分母得，x（x+2）﹣x2+4＝m， 即m＝2x+4， 关于x的分式方程有增根x＝2， ∴x＝2满足方程m＝2x+4， 所以m＝8， 故选：A． 【典例2】“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得ax＝12+3x﹣9， 移项，得ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项，得（a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母，得ax＝12+3x﹣9， 移项、合并同类项，得（a﹣3）x＝3， 解得， ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴，解得a＝4 下列说法正确的是（　　） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【分析】先化简分式方程为（a﹣3）x＝3，根据题意可得x为增根或a﹣3＝0，分别求出对应的a的值即可． 【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项得：（a﹣3）x＝3， ∵关于x的方程无解， ∴x为增根或a﹣3＝0， 当3x﹣9＝0， 解得x＝3， 此时， 解得a＝4； 当a﹣3＝0， 解得a＝3； 综上所述：a的值为3或4， 故选：D． 【变式1】若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【解答】解：， 去分母得：3x＝﹣m+4（x﹣1）， 去括号得：3x＝﹣m+4x﹣4， 移项得：3x﹣4x＝﹣m﹣4， 合并同类项得：﹣x＝﹣m﹣4， 解得：x＝m+4， ∵当x＝1时，分式方程无解， ∴m+4＝1， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【变式2】已知关于x的分式方程无解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出x，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【解答】解：， ， （x﹣2）2﹣mx＝（x+2）（x﹣2）， x2﹣4x+4﹣mx＝x2﹣4， 4x+mx＝8， （4+m）x＝8， ， ∵关于x的分式方程无解， ∴x2＝4，4+m＝0， 解得：x＝±2，m＝﹣4， ∴＝2或﹣2， 解得：m＝0或﹣8， ∴所有满足条件的整数m为﹣4或﹣8或0，共3个， 故选：C． 1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意； B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意； C中方程不是有理方程，则C不符合题意； D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意； 故选：D． 2．在①＝5；②（x﹣1）+（x+1）＝4；③﹣＝1；④+＝﹣1；⑤（3x﹣7）中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【解答】解：③﹣＝1；④+＝﹣1是分式方程，共2个， 故选：B． 3．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（2﹣x）＝1+x 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 去分母，方程两边同时乘（x﹣2）得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x， 故选：B． 4．已知关于x的方程的解是0，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【分析】将原分式方程去分母转化为整式方程，然后将x＝0代入计算即可． 【解答】解：原分式方程去分母得：a＝x﹣1﹣3（x﹣2）， ∵关于x的方程的解是0， 将x＝0代入a＝x﹣1﹣3（x﹣2）中得a＝5， 故选：C． 5．嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 【分析】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可． 【解答】解：设印刷不清的位置的式子为a，即+＝0， 把x＝﹣1代入得：+1＝0， 解得：a＝﹣2， 检验：把a＝﹣2代入得：a≠0， ∴分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， 则推断印刷不清的位置可能是x﹣1． 故选：A． 6．对于非零的有理数a，b规定，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：∵（x﹣2）*3＝2， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴x的值为． 故选：A． 7．已知关于x的方程，下列说法错误的是（　　） A．当m＝1时，x＝3 B．当m＝3时，原方程无解 C．x为正数时，m＜3 D．x为负整数时，m有4个整数值 【分析】先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可． 【解答】解：A、原方程整理得：（m﹣3）x＝﹣6， 当m＝1时，﹣2x＝﹣6， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴原方程的解为x＝3， 故选项A正确，但不符合题意； B、当m＝3时，方程无解， 故选项B正确，但不符合题意； C、当x为正数时，m﹣3＜0，且 ∴m＜3且m≠0， 故选项C错误，符合题意； D、当x为负整数时，则x＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6， ∴3﹣m＝6或3或2或1， ∴m有4个整数值， 故选项D正确，但不符合题意， 故选：C． 8．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 【分析】去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，则，再根据该方程的解是负数得a＜﹣3，然后根据x＝±2是该方程的增根得出a＝1，a＝﹣7，据此可得a的取值范围． 【解答】解：， 去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：a＜﹣3， ∵x＝±2是该方程的增根， ∴x＝2时，，解得：a＝1， 当x＝﹣2时，，解得：a＝﹣7， 综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且a≠﹣7． 故选：C． 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题． 【解答】解：， 去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1． 去括号，得2x+4+mx＝x﹣1． 移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4． 合并同类项，得（m+1）x＝﹣5． ∵分式方程有增根， ∴m+1≠0，即m≠﹣1， x的系数化为1，得x＝﹣． ∵关于x的分式方程有增根， ∴﹣＝﹣2或﹣＝1 ∴m＝﹣6或1.5． 故选：D． 10．关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（　　） A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝ C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝ 【分析】所求方程变形后，根据题中求方程解的方法求出解即可． 【解答】解：已知方程整理得：（x﹣1）+＝（a﹣1）+， 根据题中方程的解得所求方程的解为x﹣1＝a﹣1，x﹣1＝， 解得：x1＝a，x2＝， 经检验x1＝a，x2＝都为分式方程的解， 故选：D． 11．方程的解为x＝ 　　． 【分析】根据分式方程的解法进行解答即可． 【解答】解：两边都乘以3x（5x+4），得 3x＝2（5x+4）， 去括号，得 3x＝10x+8， 移项合并同类项，得 ﹣7x＝8， 解得x＝﹣， 经检验，x＝﹣是原方程的解， 故答案为：﹣． 12．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 　3y2+y﹣1＝0　． 【分析】由已知＝y，则原方程化为＝1，方程两边乘y即可得答案． 【解答】解：设＝y，则原方程化为：﹣3y＝1， 方程两边乘y得：1﹣3y2＝y， 即3y2+y﹣1＝0， 故答案为：3y2+y﹣1＝0． 13．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　﹣1　． 【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【解答】解：， ﹣mx＝3（x﹣1）﹣x， ﹣mx＝3x﹣3﹣x， ﹣mx＝2x﹣3， 2x+mx＝3， （2+m）x＝3， ， ∵分式方程的解为正整数， ∴2+m＝1或3， 解得：m＝﹣1或1， ∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义， ∴m≠1， ∴整数m的值为﹣1， 故答案为：﹣1． 14．分式方程＝有增根，则m的值为 　6　． 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得， 2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m， 2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m， m＝2x+4， ∵分式方程有增根， ∴（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x﹣1＝0，x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2， 当x1＝1时，m＝2x+4＝2+4＝6， 当x2＝﹣2时，m＝2x+4＝﹣4+4＝0，此时方程无解，不符合题意． 所以m的值为6， 故答案为：6． 15．关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数m的值之和为 　2　． 【分析】求出不等式组解集，再根据关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，求出m的取值范围，再根据分式方程的解以及增根的定义进一步确定m的取值范围，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【解答】解：≤x﹣1， 3x﹣4≤2x﹣2， 3x﹣2x≤4﹣2， x≤2， 2（x+1）≥﹣x+m， 2x+2≥﹣x+m， 2x+x≥m﹣2， 3x≥m﹣2， x≥， ∵关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解， ∴≤1， m﹣2≤3， m≤5， ∵关于y的分式方程的解为y＝，且为非负整数， ∴m≥0的偶数， ∴m＝0或m＝2或m＝4， 又∵分式方程的增根是y＝2， 当y＝2时，即＝2， 解得m＝4， ∴m≠4， ∴所有符合条件的整数m的值的和为0+2＝2， 故答案为：2． 16．解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 2x＝3x﹣2（x+1）， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，2（x+1）≠0， ∴x＝﹣2是原方程的根； （2）， x﹣1+2（x+1）＝4， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． 17．已知关于x的方程． （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该方程无解，试求m的值． 【分析】（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可； （2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再求出所有情况即可． 【解答】解：（1）把m＝4代入方程得：﹣＝， 方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1， 解方程得：x＝， 检验：当x＝时，（x﹣1）（x+2）≠0， 所以x＝是原方程的解， 即原方程的解是x＝； （2）， 方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①， 整理得：（1﹣m）x＝﹣5②， 有三种情况： 第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1， 把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1， 解得：m＝6； 第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1， 解得：m＝﹣； 第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②， ∴当1﹣m＝0时，方程无解， 即此时m＝1； 所以m＝6或﹣或1． 18．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 19．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求4A﹣B的值． 【分析】（1）先找出最简公分母（x﹣3），方程两边同乘以（x﹣3），解得x＝2+m，再将方程的增根x＝3代入x＝2+m，即可求解． （2）由（1）得m＝1，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3），得，x﹣4+m＝2（x﹣3）， 解得x＝2+m， ∵方程有增根， ∴x＝3， 把x＝3代入x＝2+m中，得3＝2+m， 解得m＝1， ∴m的值为1． （2）由（1）得m＝1， ∴方程为， 方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2），得， 3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1）， 3x﹣4＝Ax+Bx﹣2A﹣B， 可得， 解得， ∴4A﹣B＝2． 20．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可； （2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可猜想方程的解为， 验证：当x＝c时，方程的左边＝＝方程的右边， ∴x＝c是方程的解； 当时，方程的左边＝方程的右边， ∴是方程的解； （2）∵， ∴， ∴x﹣1＝a﹣1或， 解得． 经检验，都是原方程的解，且符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解分式方程 课程标准 学习目标 ①分式方程的概念 ②解分式方程 1. 掌握分式方程的概念并能够熟练的判断分式方程。 2. 掌握解分式方程的方法过程，能够熟练的解分式方程以及熟练的进行其他应用。 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 的方程叫做分式方程。 【即学即练1】 1．下列式子中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路： 去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。 2. 解分式方程的基本步骤： ①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方程。 ②解整式方程： ③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。 ④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。 注意解分式方程一定要检验。 【即学即练1】2．把分式方程＝化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【即学即练2】 解分式方程： （1）； （2）． 【即学即练3】 4．若关于x的分式方程＝0的解为x＝4，则常数a的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．10 【即学即练4】 5．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4 【即学即练5】 6．如果关于x的方程有增根，那么a的值是　 　． 【即学即练6】 7．若关于x的方程无解，则m的值是 　 　． 题型01 判断分式方程 【典例1】下列是分式方程的是（　　） A．+ B．+＝0 C．（x﹣2）＝x D．+1＝0 【变式1】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④ 【变式2】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 【变式1】解方程： （1）； （2）． 【变式2】解方程： （1）； （2）＝1． 【变式3】解分式方程： （1）； （2）． 题型03 根据分式方程的解求值或范围 【典例1】x＝2是分式方程的解，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式1】关于x的分式方程＝2+的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 【变式3】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣14 题型04 根据分式方程的增根或无解求未知字母 【典例1】若分式方程有增根，则增根是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【变式1】若分式方程有增根，则k的值为（　　） A．±1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣2或﹣6 【变式2】已知关于x的分式方程的增根是x＝2，则m的值为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 【典例2】“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得ax＝12+3x﹣9， 移项，得ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项，得（a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母，得ax＝12+3x﹣9， 移项、合并同类项，得（a﹣3）x＝3， 解得， ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴，解得a＝4 下列说法正确的是（　　） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【变式1】若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【变式2】已知关于x的分式方程无解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在①＝5；②（x﹣1）+（x+1）＝4；③﹣＝1；④+＝﹣1；⑤（3x﹣7）中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（2﹣x）＝1+x 4．已知关于x的方程的解是0，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．5 D．﹣5 5．嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 6．对于非零的有理数a，b规定，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程，下列说法错误的是（　　） A．当m＝1时，x＝3 B．当m＝3时，原方程无解 C．x为正数时，m＜3 D．x为负整数时，m有4个整数值 8．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6 10．关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（　　） A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝ C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝ 11．方程的解为x＝ 　 　． 12．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 　 　． 13．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　 　． 14．分式方程＝有增根，则m的值为 　 　． 15．关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数m的值之和为 　 　． 16．解分式方程： （1）； （2）． 17．已知关于x的方程． （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该方程无解，试求m的值． 18．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 19．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求4A﹣B的值． 20．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$