专题01 分式化简求值的五种类型-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

专题01 分式化简求值的五种类型 方法一：化简后直接求值 方法二：化简后整体带入求值 方法三：倒数法求值 方法四：自选条件求值 方法五：分式和条件均需化简带入 方法一：化简后直接求值 1．先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 【分析】先把括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ＝• ＝ ＝ ＝ ＝﹣（x+4） ＝﹣x﹣4， 当x＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣4＝﹣1． 2．先化简，再求值：，其中a＝1． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 当a＝1时，原式＝＝﹣1． 3．先化简，再求值：，其中． 【分析】先通分，再除法，结果化为最简分式后，代入a＝求值． 【解答】解：原式＝（+）• ＝• ＝2a， ∵a＝， ∴原式＝2× ＝1． 4．先化简，再求值，其中x＝﹣1． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣）÷ ＝﹣• ＝﹣， 当x＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣2． 5．先化简，再求值，其中，y＝（﹣2024）0． 【分析】先把括号内的式子化简，然后计算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ＝[﹣]• ＝（﹣）• ＝• ＝， 当，y＝（﹣2024）0＝1时，原式＝． 方法二：化简后整体带入求值 6．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0． 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子、分母分解因式并约分，化简后的形式为，然后再将x2﹣2x＝4代入求值即可． 【解答】解： ＝[﹣]• ＝• ＝． ∵x2﹣2x﹣4＝0， ∴x2﹣2x＝4， ∴原式＝＝． 7．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式的值． 【分析】由已知条件得到a2+3a＝1，然后将其代入化简后的分式求值即可． 【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1， ＝• ＝• ＝a（a+3）． ＝a2+3a 所以，原式＝1． 8．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴原式＝． 9．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， ∵x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2＝2x+2， ∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝． 方法三：倒数法求值 10．（1）阅读下面解题过程：已知＝，求的值． 解：∵＝（x≠0）， ∴＝，即x+＝． ∴＝＝＝＝ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目： 已知＝2，求的值． 【分析】类比（1）的方法把＝2变为＝2，得出x+＝，进一步把原式变形得代入求出答案即可． 【解答】解：∵＝2， ∴＝2， ∴x﹣3+＝， ∴x+＝， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 11．在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知＝，＝，＝，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起+＝，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知+＝2，+＝3，+＝4，求++的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，上文中原问题＝　　； （2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：＝，求的值． 【分析】（1）原式分子分母除以abc变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）已知等式变形求出m+的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵+＝2，+＝3，+＝4， ∴++＝， 则原式＝＝； 故答案为：； （2）已知等式变形得：＝，得到m+＝5， 则原式＝＝＝＝． 12．阅读下列解题过程： 已知＝，求的值． 解：由＝，知x≠0，所以＝3，即x+＝3． ∴＝x2+＝﹣2＝32﹣2＝7． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知＝，求的值． （2）已知＝2，＝，＝，求的值． 【分析】（1）已知等式变形求出x+的值，原式变形后，将x+的值代入计算即可； （2）已知三等式变形后相加求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8， 则原式＝＝＝＝； （2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝， 可得++＝1， 则原式＝＝1． 13．先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题， （1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+的值． 解：由a2﹣3a+1＝0知a≠0，∴a﹣3+＝0，即a+＝3 ∴a2+＝﹣2＝7； （2）已知：y2+3y﹣1＝0，求的值． 【分析】（1）由解答过程可以看出，可以先求得a+的值，再用换元法即可求得a2+的值． （2）此题可以仿照（1）先求﹣y，然后求得+y2，再求得+y4，最后通过分式分母同除以y4求得结果． 【解答】解：由y2+3y﹣1＝0，知y≠0，∴y+3﹣＝0，即﹣y＝3， ∴＝+y2﹣2＝9，即+y2＝11， ∴＝121， ∴+y4＝119， 由＝y4﹣3+＝116， ∴＝． 方法四：自选条件求值 14．先化简，再求值：，请从﹣3、﹣2、0、3中选取合适的x的值代入． 【分析】先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵x﹣3≠0，x≠0，x2﹣9≠0， ∴x≠3且x≠0且x≠﹣3， ∴当x＝﹣2时，原式＝． 15．先将分式化简：，然后再从0，1，2，中选择一个适当的数代入求值． 【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝÷（﹣） ＝÷ ＝• ＝﹣， 由题意得：x≠1和±2， 当x＝0时，原式＝﹣＝﹣． 16．先化简，再求值：，请从﹣2，﹣1，0，2中选择一个数字a代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出a的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣）÷ ＝÷ ＝﹣• ＝﹣， ∵a（a﹣2）≠0且a+2≠0， ∴a≠0且a≠±2， ∴a＝﹣1， 则原式＝﹣＝3． 17．先化简，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，解不等式求出x的范围，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝÷（+） ＝÷ ＝• ＝， 解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整数有1、2、3， 由题意可知：x≠2、±3， 当x＝1时，原式＝＝． 18．先化简，再求值：．其中x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，且x为整数． 【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据三角形的三边关系可得x＝2，再代入，即可求解． 【解答】解： ＝ ＝ ＝； ∵x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长， ∴2﹣1＜x＜2+1， 即1＜x＜3， ∵x为整数， ∴x＝2， 当x＝2时，原式＝． 方法五：分式和条件均需化简带入 19．先化简，再求值：，其中a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由非负数的性质求出a，b的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解： ＝•+ ＝•+ ＝+ ＝ ＝， a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0，即（a+2）2+|4﹣b|＝0， ∴a+2＝0，4﹣b＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， ∴原式＝＝2． 20．化简求值，x是不等式组的一个整数解． 【分析】先通分括号内，再运算除法化简得，然后算出不等式组的整数解为：0，1，2，结合分式有意义，则当x＝1时，，据此即可作答． 【解答】解：原式＝ ＝• ＝• ＝， 解， 得﹣1＜x≤2， ∴不等式组的整数解为：0，1，2， ∵2x≠0，x﹣2≠0， ∴x≠0，x≠2， ∴当x＝1时，． 21．先化简，再求值：，其中m，n满足（m﹣1）2+n2+6n+9＝0． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用完全平方公式、非负数的性质分别求出m、n，代入计算即可． 【解答】解：原式＝﹣÷（﹣） ＝﹣÷ ＝﹣• ＝﹣ ＝， ∵（m﹣1）2+n2+6n+9＝0， ∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0， ∴m﹣1＝0或，n+3＝0， 解得：m＝1，n＝﹣3， 则原式＝＝﹣． 22．先化简，再求值：，其中． 【分析】先利用分式的减法和除法化简分式，再求出a的值代入化简结果计算即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ 当时， 原式＝． 23．先化简，再求值：÷（1+）﹣，其中x是不等式组的整数解． 【分析】先对题目中的分式进行约分化简，然后根据x是不等式组的整数解，求出x的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：÷（1+）﹣ ＝ ＝ ＝ ＝， 解不等式组得，1≤x＜3， ∵x是不等式组的整数解， ∴x＝1或x＝2， ∴当x＝1时，原式＝﹣1； 当x＝2时，原式无意义． 24．先化简，再求值：，其中a，b是方程组的解． 【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a与b的值求出并代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式＝÷ ＝• ＝， 由于， 解得：， 当a＝2，b＝﹣3时， 原式＝ ＝ ＝． 25．已知关于x、y的二元一次方程组（a为实数），若方程组的解始终满足y＝a+1，化简并求的值． 【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，解二元一次方程组求出a，代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝÷（﹣） ＝÷ ＝• ＝﹣， 对于方程组，②﹣①得y＝2a﹣1， ∵y＝a+1， ∴2a﹣1＝a+1， 解得：a＝2， 则原式＝﹣． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式化简求值的五种类型 方法一：化简后直接求值 方法二：化简后整体带入求值 方法三：倒数法求值 方法四：自选条件求值 方法五：分式和条件均需化简带入 方法一：化简后直接求值 1．先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 2．先化简，再求值：，其中a＝1． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值，其中x＝﹣1． 5．先化简，再求值，其中，y＝（﹣2024）0． 方法二：化简后整体带入求值 6．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0． 7．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式的值． 8．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0． 9．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 方法三：倒数法求值 10．（1）阅读下面解题过程：已知＝，求的值． 解：∵＝（x≠0）， ∴＝，即x+＝． ∴＝＝＝＝ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目： 已知＝2，求的值． 11．在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知＝，＝，＝，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起+＝，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知+＝2，+＝3，+＝4，求++的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，上文中原问题＝　 ； （2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：＝，求的值． 12．阅读下列解题过程： 已知＝，求的值． 解：由＝，知x≠0，所以＝3，即x+＝3． ∴＝x2+＝﹣2＝32﹣2＝7． ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知＝，求的值． （2）已知＝2，＝，＝，求的值． 13．先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题， （1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+的值． 解：由a2﹣3a+1＝0知a≠0，∴a﹣3+＝0，即a+＝3 ∴a2+＝﹣2＝7； （2）已知：y2+3y﹣1＝0，求的值． 方法四：自选条件求值 14．先化简，再求值：，请从﹣3、﹣2、0、3中选取合适的x的值代入． 15．先将分式化简：，然后再从0，1，2，中选择一个适当的数代入求值． 16．先化简，再求值：，请从﹣2，﹣1，0，2中选择一个数字a代入求值． 17．先化简，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 18．先化简，再求值：．其中x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，且x为整数． 方法五：分式和条件均需化简带入 19．先化简，再求值：，其中a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0． 20．化简求值，x是不等式组的一个整数解． 21．先化简，再求值：，其中m，n满足（m﹣1）2+n2+6n+9＝0． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值：÷（1+）﹣，其中x是不等式组的整数解． 24．先化简，再求值：，其中a，b是方程组的解． 25．已知关于x、y的二元一次方程组（a为实数），若方程组的解始终满足y＝a+1，化简并求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$