精品解析：江西省九江市都昌县2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 9的算术平方根是3 D. 9的算术平方根是 2. 下列各数：，，，，，，，，，是无理数的有__________个．（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 3. 如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣4，﹣1） C. （4，1） D. （﹣4，1） 4. 三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 当a＜0，b＞0函数y＝ax+b与y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四条信息，其中错误的是（　　） A. 这是一次1500m赛跑 B. 甲、乙同时起跑 C. 甲、乙两人中先到达终点的是乙 D. 甲在这次赛跑中的速度为5m/s 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 8. 与互为相反数，求__________． 9. 一次函数的图象经过点，则__________． 10. 若函数是正比例函数，则常数m的值是______． 11. 如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分） 13. （1） （2） 14. 一次函数图象过点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）判断是否在此直线上？ 15. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为多少？（取） 16. 如图，在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称． （1）在图中画出△A1B1C1并写出点A1、B1的坐标； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由． 17. 如图，四边形中，已知，，，． （1）求的长； （2）证明． 18. 某市居民生活用电基本价格为每度元，若每月用电超过度，超出部分按基本电价的收费． （1）写出交纳电费与用电量之间的函数关系式； （2）若该用户月份的电费平均为每度元，求月份共用电多少度？应缴电费多少元？ 19. 的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求a、b的值； （2）求平方根； 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，圆的圆心P的坐标为，圆的半径为3． （1）求圆与坐标轴的交点A，B，C，D的坐标； （2）的面积，并判断的面积为有理数还是无理数； 21. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明a2+b2=c2； (2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值. 22 观察下列规律： ∵， ∴． ∴． … （1）__________； （2）__________； （3）利用上面的规律计算： ． 23. 如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求直线的解析式； （2）作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 9的算术平方根是3 D. 9的算术平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：非负数a的平方根是，算术平方根是， 因此9的平方根是，算术平方根是3． A．9的平方根是，故错误，不符合题意； B．没有平方根，故错误，不符合题意； C．9的算术平方根是3，故正确，符合题意； D．9的算术平方根是3，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的判断，解题关键是熟悉相关概念．平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 2. 下列各数：，，，，，，，，，是无理数的有__________个．（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键，则无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由无理数的定义可得：，，，，为无理数， ∴无理数有5个， 故选：A． 3. 如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣4，﹣1） C. （4，1） D. （﹣4，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据x轴上点的特征求出m，再代入求值即可； 【详解】∵点A（m+2，m﹣1）在x轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴关于x轴对称的点的坐标为（4，1）； 故选C． 【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征，关于x轴对称点的特征，准确计算是解题的关键． 4. 三角形的三边a、b、c满足（a+b）2－c2＝2ab，则此三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+b）-c=2ab，得到结论． 【详解】∵(a+b) −c=2ab， ∴a+b=c. 所以为直角三角形. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握勾股定理的公式. 5. 当a＜0，b＞0函数y＝ax+b与y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像与各项系数关系，分别判断y＝ax＋b与y＝bx＋a所过的象限，最后得出结论. 【详解】解：∵a＜0，b＞0 ∴y＝ax＋b经过一、二、四象限 y＝bx＋a经过一、三、四象限 ∴选B 故答案是：B. 【点睛】本题主要考查一次函数图形与性质，掌握和正确应用图像与系数关系是解题关键. 6. 甲、乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四条信息，其中错误的是（　　） A. 这是一次1500m赛跑 B. 甲、乙同时起跑 C. 甲、乙两人中先到达终点的是乙 D. 甲在这次赛跑中的速度为5m/s 【答案】B 【解析】 【详解】从图中可获取的信息有： 这是一次1500米赛跑，A正确，甲，乙两人中先到达终点的是乙，C正确, 甲在这次赛跑中的速度为1500÷300=5米/秒，D正确, 甲比乙先跑，B错误． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 8. 与互为相反数，求__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性列方程求解，即可求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，利用算术平方根的非负性解题，绝对值非负性，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握几个非负数的和为时这几个非负数都为是解题的关键． 9. 一次函数的图象经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次方程等知识点． 根据一次函数的图象经过点，把点的坐标代入一次函数解析式，从而建立一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案为：． 10. 若函数是正比例函数，则常数m值是______． 【答案】-3 【解析】 【详解】根据函数是正比例函数知x的幂是一次得，m=±3，m=3不符合题意，舍去得m=-3. 11. 如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，根据正方形的面积公式分别求出、，再根据勾股定理计算即可求出． 【详解】解：中，， ， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分当翻折之后的A落在的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标； 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设， 由题意可得，，， ∵与关于直线对称， ∴，， 在Rt中，， ∴． 在Rt中，， ∴， 即， 解得， ∴点D坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E， ，这时，， 可求出D点坐标为； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时， ，在Rt中， ， 则， Rt中，设， 利用勾股定理 得到， 解得 D点坐标为 故：D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分） 13. （1） （2） 【答案】（1）（2），或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及利用平方根解方程，正确掌握相关法则、定义是解题关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可． （2）直接开平方化为两个一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1） ． （2） ∴， 解得：或． 14. 一次函数的图象过点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）判断是否在此直线上？ 【答案】（1） （2）点不在此直线上 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程，求一次函数函数值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）把代入，得到一元一次方程，解方程即可求得的值，于是得解； （2）求出时的函数值，即可判断出该点是否在此直线上． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点不在此直线上． 15. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为多少？（取） 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图－最短路径问题，勾股定理的应用；应先把圆柱展开即得其平面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长． 详解】解：如图所示， 圆柱展开图为长方形， 则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长， 由勾股定理得． 故蚂蚁经过的最短距离为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称． （1）在图中画出△A1B1C1并写出点A1、B1的坐标； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】(1) A1(-1,4);B1(-2,1);(2)直角三角形. 【解析】 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出A1，B1，C1的位置进而得出答案； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：(1)如图所示： A1(-1,4);B1(-2,1); (2) ∵BC²=1²+2²=5,AB²=1²+3²=10,AC²=2²+1²=5, ∴BC²+AC²=AB², ∴△ABC为直角三角形. 【点睛】本题考查了轴对称变换以及勾股定理的逆定理，正确得出对应点位置是解题的关键． 17. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的长； （2）证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，是斜边，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：在中，，． ∴． 【小问2详解】 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴． 18. 某市居民生活用电基本价格为每度元，若每月用电超过度，超出部分按基本电价的收费． （1）写出交纳电费与用电量之间的函数关系式； （2）若该用户月份的电费平均为每度元，求月份共用电多少度？应缴电费多少元？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当用电量时；当用电量时；分别写出交纳电费与用电量之间的函数关系式即可； （2）首先根据平均电费判断出月份用电超过度，然后根据题意列方程求解，即可求出月份的用电量，进而可求出月份的应缴电费． 【小问1详解】 解：分两种情况： 当用电量时， 则； 当用电量时， 则 ； 综上，交纳电费与用电量之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：电费平均为每度元， 月份用电超过度， 根据题意可得：， 解得：， 应缴电费为：（元）， 答：月份共用电度，应缴电费为元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减运算，解一元一次方程，代数式求值等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 19. 的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求a、b的值； （2）求的平方根； 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是3， ， 解得， ∵的立方根是2． ， ， 解得， ，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 的平方根是． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，圆的圆心P的坐标为，圆的半径为3． （1）求圆与坐标轴的交点A，B，C，D的坐标； （2）的面积，并判断的面积为有理数还是无理数； 【答案】（1），，， （2），为无理数 【解析】 【分析】（1）连接．利用垂径定理和勾股定理求出，即可得到，，再利用线段的和差求出，，即可得到，； （2）连接，利用三角形面积公式求出，根据无理数的定义即可作出判断． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 连接， ∵，，， ∴， ∵属于开不尽方的根号，即为无理数， ∴的面积为无理数． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、无理数等知识，熟练掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键． 21. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明a2+b2=c2； (2)如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值. 【答案】（1）详见解析；（2）18 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到（b-a）2和2ab的值，代入（a+b）2=（b-a）2+4ab，即可得到结论． 试题解析：解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b-a）2，∴c2=4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2 即c2=a2+b2； (2) 由图可知，（b-a）2=2， 4×ab=10-2=8， ∴2ab=8，（a+b）2=（b-a）2+4ab=2+2×8=18． 22. 观察下列规律： ∵， ∴． ∴． … （1）__________； （2）__________； （3）利用上面的规律计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点． （1）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （3）利用题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 23. 如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． （1）求直线的解析式； （2）作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分 （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， 的面积， 当时，如图： 此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 当时，如图： 此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分； 【小问3详解】 解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图： ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$