清单04 一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单04一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【清单02】函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【清单03】正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【清单04】正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 【清单05】待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 【清单06】一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【清单07】一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【清单08】一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【清单9】求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【清单10】一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点题型1】函数的概念 【典例1】下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式1-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【考点题型2】函数的自变量取值范围 【典例2】已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式2-2】函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点题型3】函数的图像 【典例3】五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．从学校前往基地的平均速度为 B．学生劳动了3.5小时 C．从实践基地返回学校的平均速度为 D．从学校出发小时后，距离学校100千米 【变式3-2】周末，小明一家从家出发开车前往七彩云南欢乐城游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象．如图所示，下列判断不正确的是（    ） A．小陆家距离亲子乐园350千米 B．他们在服务区休息了20分钟 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【变式3-3】如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水。现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度与注水时间的大致图象是（    ） A．B．C．   D．   【考点题型4】正比例函数的定义 【典例4】下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式4-2】如果是正比例函数，则a的值是（    ） A． B．0 C． D． 【变式4-3】已知关于x的函数是正比例函数，则 ． 【考点题型5】正比例函数的性质 【典例5】已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【变式5-1】正比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式5-2】已知点，均在正比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象经过第一、三象限 B．图象是一条射线 C．不论取何值，总有 D．随的增大而减小 【变式5-4】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型6】一次函数的定义 【典例6】下列函数中是一次函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式6-2】已知函数是一次函数，则 ． 【考点题型7】判断一次函数图像 【典例7】两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-1】一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（    ） A．  B．   C．   D．   【变式7-2】已知一次函数，和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-3】已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C．D． 【考点题型8】一次函数图像的性质 【典例8】关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【变式8-1】对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象过点 B．图象向下平移1个单位长度，得到直线 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、三象限 【变式8-2】若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-3】若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式8-4】若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型9】根据一次函数增减性求含参取值范围 【典例9】已知关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知一次函数，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型10】一次函数的变换问题 【典例10】将正比例函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】把直线向下平移2个单位，得到的直线是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】把直线向下平移个单位长度，平移后的直线解析式为 ． 【变式10-3】将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【考点题型11】一次函数与一元一次方程 【典例11】如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 【变式11-1】直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解 ． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是 【考点题型12】一次函数应用 【典例12】某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 【变式12-1】【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 【变式12-1】为丰富同学们的课余生活，培养同学们的艺术情操，广安市某中学准备在学校摆放花卉盆景，购进绣球和月季两种类型的花卉盆景共100盆，其中绣球的价格为每盆25元，购买月季盆景所需的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：盆）的函数关系图象如图所示． (1)分别求出当和时，y与x的函数关系式． (2)若购买月季盆景的数量不超过55盆，但不少于绣球盆景的数量，试问如何购买才能使购买总费用最少？并求出最少总费用． 【变式12-2】端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【考点题型13】一次函数综合 【典例13】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)求出点A、点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【变式13-2】如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【变式13-3】在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04一次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【清单02】函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【清单03】正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【清单04】正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 【清单05】待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 【清单06】一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【清单07】一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【清单08】一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【清单9】求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【清单10】一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点题型1】函数的概念 【典例1】下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、C、D对于的任何值，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义， B对于部分的值，的值不是唯一的，不符合函数的定义， 故选：B． 【变式1-3】下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据以下特征进行判断即可：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①是的函数； ②，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ③是的函数； ④是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：C． 【变式1-4】一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 【考点题型2】函数的自变量取值范围 【典例2】已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【变式2-1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 【变式2-2】函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 【变式2-3】函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故选：D 【考点题型3】函数的图像 【典例3】五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 过了一段时间到达苏晟家停车，则速度减少到0， 苏晟上车后，程林开车加速行驶，速度从0开始增加， 一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， ∴能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是A 故选A． 【变式3-1】某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．从学校前往基地的平均速度为 B．学生劳动了3.5小时 C．从实践基地返回学校的平均速度为 D．从学校出发小时后，距离学校100千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从学校前往基地花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；在出发1.5小时后到达实践基地，在出发6小时后离开实践基地，据此可判断B；根据选项A的速度乘以时间，据此可判断D． 【详解】A． 从学校前往基地的平均速度为，原说法错误，不符合题意； B． 学生劳动了小时，原说法错误，不符合题意； C． 从实践基地返回学校的平均速度为，原说法正确，符合题意； D． 从学校出发小时后，距离学校，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】周末，小明一家从家出发开车前往七彩云南欢乐城游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象．如图所示，下列判断不正确的是（    ） A．小陆家距离亲子乐园350千米 B．他们在服务区休息了20分钟 C．他们出发80分钟后达到服务区 D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图像的应用，利用数形结合得出关键点坐标是解题的关键． 根据函数图象的信息逐项判定即可． 【详解】解：A.由题意可知，小陆家距离亲子乐园225千米，故选项A的判定错误，选项A符合题意； B. 他们在服务区休息了20（分钟），故选项B的判断正确，选项B不合题意； C. 汽车经过80分钟后到达服务区，故选项C的判断正确，选项C不合题意； D.在服务区休息前的行驶速度：，休息后的行驶速度：，则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，故选项D的判定正确，选项D不合题意； 故选：A． 【变式3-3】如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水。现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度与注水时间的大致图象是（    ） A．B．C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：刚开始向小水杯中匀速注水，小水杯液面高度上升，大水杯液面保持不变，为，直到小水杯注满水后，开始向大水杯注水，此时大水杯液面高度开始匀速上升，直到大水杯液面平到小水杯液面，然后大水杯液面继续匀速上升，但上升速度更慢， 故选：． 【考点题型4】正比例函数的定义 【典例4】下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【变式4-1】已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数叫做正比例函数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得. 故选：A 【变式4-2】如果是正比例函数，则a的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1． 根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：A． 【变式4-3】已知关于x的函数是正比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中a是常数且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 【考点题型5】正比例函数的性质 【典例5】已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当时，，图象不经过点，故该选项不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】正比例函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【分析】此题考查正比例函数的性质，根据比例系数，得到图象过一，三象限，正确理解正比例函数的比例系数与图象的关系是解题的关键 【详解】解：∵, ∴正比例函数的图象过第一，三象限， 故选：A 【变式5-2】已知点，均在正比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，利用正比例函数的增减性得出的符号，进而求出m的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数图象上有两点，， 当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式5-3】已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象经过第一、三象限 B．图象是一条射线 C．不论取何值，总有 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，当时，函数图象在第二、四象限， y的值随x的值的增大而减小．根据正比例函数的性质，利用排除法求解． 【详解】解：A、∵，∴图象在第二、四象限，故原说法错误； B、正比例函数的图象是一条直线，故原说法错误； C、应为当时，，故原说法错误； D、∵，∴随的增大而减小，故原说法正确； 故选：D． 【变式5-4】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的增减性求参数，根据正比例函数的性质可得，解出a的值即可． 【详解】解：∵函数中y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故选：B． 【考点题型6】一次函数的定义 【典例6】下列函数中是一次函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟记“形如 (k、b为常数，)的函数，叫做一次函数，k 叫做一次项系数”的相关概念是解题关键．根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A．函数是反比例函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； C．函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； D．函数是一次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 【变式6-2】已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 【考点题型7】判断一次函数图像 【典例7】两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-2】已知一次函数，和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当，时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，没有正确选项； 当，时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A正确； 当，时， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，没有正确选项； 当，时， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确； 故选：A． 【变式7-3】已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据经过第几象限，从而判断的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、三、四象限，得，自相矛盾，故舍去； B、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，故舍去； C、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，自相矛盾，故舍去； D、、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，符合，该选项是正确的； 故选：D 【考点题型8】一次函数图像的性质 【典例8】关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 【变式8-1】对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象过点 B．图象向下平移1个单位长度，得到直线 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：A、 当时，，图象不过点，结论不正确； B、图象向下平移1个单位长度，得到直线，结论不正确； C、，y随x的增大而增大，结论正确； D、图象经过第一、三、四象限，结论不正确； 故选C． 【变式8-2】若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，解题关键是熟悉直线所在的位置与k、b的符号的关系．根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 故选：B 【变式8-3】若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时，则有， 解得：， 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，则有， 解得：， 综上所述，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，），当，时，图象经过一、二、三象限，当，时，图象经过一、三、四象限，当，时，图象经过一、二、四象限，当，时，图象经过二、三、四象限． 【变式8-4】若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据题意可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C 【考点题型9】根据一次函数增减性求含参取值范围 【典例9】已知关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：B． 【变式9-1】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围． 【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小， ∴， 解得： 故选：D． 【变式9-2】已知一次函数，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性即在 中，k>0时y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小即可求解． 【详解】依题意得，解得 故选C． 【考点题型10】一次函数的变换问题 【典例10】将正比例函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律直接可得答案，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律． 【详解】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位长度， ∴图象的函数表达式为， 故选：． 【变式10-1】把直线向下平移2个单位，得到的直线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换，理解一次函数图象平移规律是解题的关键． 根据一次函数图象平移中的“上加下减”原则，即可判断． 【详解】解：原直线的；向下平移2个单位长度得到了新直线， 那么新直线的． 所以新直线的解析式为． 故选：A． 【变式10-2】把直线向下平移个单位长度，平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】直线向下平移个单位长度，则平移后直线解析式为，即． 故答案为：． 【变式10-3】将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键． 利用平移时的值不变，只有发生变化，由上加下减求解即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度， 平移后的直线所对应的函数解析式为， 即． 故答案为：． 【考点题型11】一次函数与一元一次方程 【典例11】如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 【答案】A 【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可． 【详解】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y=ax+b过B（-3，0）， ∴方程ax+b=0的解是x=-3， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式11-1】直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令y=0求出x的值，即可求出与轴的交点坐标. 【详解】当y=0时， 2x+4=0， 解得 x=-2， ∴直线与轴的交点坐标为. 故选D. 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点，熟知x轴上点的纵坐标为0是解答此题的关键． 【变式11-2】如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解 ． 【答案】4 【详解】解：根据图象可得，一次函数y=ax+b的图象经过（4，1）点， 因此关于x的方程ax+b=1的解x=4． 故答案是4． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程，利用数形结合思想解题是关键． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是 故答案为： 【考点题型12】一次函数应用 【典例12】某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据A，B两工地租车方案，即可求解； （2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解； （3）根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设工地租甲型车台，租乙型车台；则工地租甲型车台，租乙型车台； 故答案为：；； （2）解：， 即与的函数解析式为； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， 当时，y取得最小值，最小值为14600， 即工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元． 【变式12-1】【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得,且，进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）可知：，，则，进而可以得解． 【详解】解：（1）由题意得：，， 当，时，，   ；     当，时，，    ；     联立①②可得，     解得．     （2）由（1）可知：，， ∴，     ∴． ∴关于的函数解析式为． 【变式12-1】为丰富同学们的课余生活，培养同学们的艺术情操，广安市某中学准备在学校摆放花卉盆景，购进绣球和月季两种类型的花卉盆景共100盆，其中绣球的价格为每盆25元，购买月季盆景所需的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：盆）的函数关系图象如图所示． (1)分别求出当和时，y与x的函数关系式． (2)若购买月季盆景的数量不超过55盆，但不少于绣球盆景的数量，试问如何购买才能使购买总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) (2)当购买绣球盆景45盆，月季盆景55盆时，购买总费用最少，最少总费用为2045元 【分析】本题考查一次函数的应用．根据图象判断出折线属于分段函数关系是解决本题的关键． （1）图形为折线，函数为分段函数．当时，为正比例函数；当时，为一次函数．设出相应函数解析式，把相关点代入计算即可； （2）设购买月季盆景a盆，则购买绣球盆景盆．根据购买月季盆景的数量不超过55盆，但不少于绣球盆景的数量可得到a的取值范围；根据总费用等于两种费用之和得到相关函数解析式，然后根据取值范围判断出函数的增减性，即可得到最少费用． 【详解】（1）解：当时，设． 把代入，得， ， ． 当时，设． 把、代入，得 解得 ． 综上， （2）解：设购买月季盆景a盆，则购买绣球盆景盆．由题意，得 解得． 设购买这两种花卉盆景所需的总费用为w元，则． ， 随a的增大而减小， 当时，w的值最小，，此时， 当购买绣球盆景45盆，月季盆景55盆时，购买总费用最少，最少总费用为2045元． 【变式12-2】端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)（且为整数）； (2)A水果车辆2辆，B水果车辆14辆，C水果车辆4辆时获利最大，最大利润为33.2万元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆．根据题意，列出等式，即可求解； （2）由利润车辆数每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆． ， （且为整数）； （2）解： ， 随的增大而减小， 时，（万元） 答：装载A水果的汽车2辆，B水果的汽车14辆，C水果的汽车2辆时获利最大，最大利润为33.2万元． 【考点题型13】一次函数综合 【典例13】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， 设， ， 解得， 的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C． (1)求出点A、点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)3 (3) 【分析】（1）根据坐标轴点的特征求解即可． （2）联立式y=x，得点C（2，2），根据三角形的面积公式即可求解． （3）分PC=OC、CP=OP、OC=OP三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）把代入中得， 把代入中得x=6， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）联立方程组得：， 解得：， 点C的坐标为． 的面积为： （3）存在． ∵点C（2，2）， ∴， 设P（x，0）， ①当PC=OC=2时，如图， ∵点C（2，2）， ∴PC2=22+（x-2）2， ∴， ∴x=0或4， ∵x=0时，与点O重合，故舍去， ∴点P（4，0）； ②当CP=OP时，如图， ∵CP=OP，∠AOC=45°， ∴∠OCP=45°， ∴∠OPC=90°， ∴点C（2，2）， ∴OP=2， ∴点P（2，0）； ③当OC=OP=2时，如图， 点P（2，0）或（-2，0）， 综上所述：点P坐标为P点的坐标可能是：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 【变式13-2】如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）A（0，4），B（4，0），y=x+1；（2）6；（3）当点F在第一象限时，点F的坐标为（2，2）；当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 【分析】（1）依据一次函数y=-x+4，求得A（0，4），B（4，0），依据D是AB的中点，可得D（2，2），运用待定系数法即可得到直线CD的函数表达式； （2）先求得C（-2，0），BC=2=4=6，再根据△DBE的面积=△BCE的面积-△BCD的面积，进行计算即可； （3）在四个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等． 【详解】（1）一次函数y=﹣x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵D是AB的中点， ∴D（2，2）， 设直线CD的函数表达式为y=kx+b，则，解得， ∴直线CD的函数表达式为y=x+1； （3）y=x+1，令y=0，则x=﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC=2=4=6， ∴△DBE的面积=△BCE的面积﹣△BCD的面积=×6×（4﹣2）=6； （3）如图所示， 当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）； 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式13-3】在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)ⅰ）；ⅱ）直线经过定点． 【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标； （2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值； ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点． 【详解】（1）解：作于点C，   ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； （2）解：ⅰ）如图所示，    作于点N， ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为， 中，， ， ，即， ， 即a的值为； ⅱ）直线经过定点． 理由： 点P的坐标为，， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ，即， 当时，，， 此时无论a为何正数，直线必过点． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$