第02讲 圆的基本性质（7个知识点+7种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 圆的基本性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点6．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点7．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2023•怀宁县一模）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于　　 A． B． C． D． 2．（淮北模拟）如图，为直径，点、在上，已知，，则　 　度． 题型二．垂径定理 3．（2024•金寨县模拟）已知的半径为5，是的弦，是弦的延长线上的一点，若，，则圆心到弦的距离为　　 A． B．6 C． D．4 4．（2024•合肥模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 5．（2024•池州开学）如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 题型三．垂径定理的应用 6．（2024春•田家庵区校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 7．（2024•潜山市开学）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 　 　米． 8．（2023春•萧县月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径． 题型四．圆心角、弧、弦的关系 9．（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点，如果，那么的长为　　 A． B．3 C．4 D． 10．（2024•利辛县开学）如图，是的弦，半径，，则弦的长是 　　． 11．（2024•安徽模拟）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． （1）求证：； （2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 题型五．点与圆的位置关系 12．（2023•合肥开学）已知的直径长为6，点，在上，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2023•怀宁县一模）在中，圆心在坐标原点上，半径为5，点的坐标为，则点在 　　（填“圆内”，“圆外”或“圆上” 题型六．确定圆的条件 14．（鸠江区校级模拟）如图所示，一圆弧过方格的格点、、，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是　　 A． B． C． D． 15．（2023•庐阳区一模）已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上． 题型七．三角形的外接圆与外心 16．（2024•合肥模拟）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是　　 A． B． C．4 D． 17．（2024•庐阳区校级一模）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 　　． 18．（2023•安庆二模）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，，，，，均为格点，，交于点，过，，三点的圆如图所示，请利用无刻度直尺找出该圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 分层练习 一、单选题 1．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（  ） A．2 B．3 C．4 D．3.5 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图在中，弦于点于点，若则的半径的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB，AC于点D、E，连接OD、OE，若∠DOE=50°，则∠A的度数为（ ） A．65° B．60° C．50° D．45° 5．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）． A． B． C． D． 7．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　） A．8 B．4 C． D． 8．如图，已知⊙O的半径为2，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　） A．OM的长 B．OM的长 C．2OM的长 D．CD的长 9．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在上运动，且不与A、B重合），设EC=x，ED=y，下列能够表示y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是 ． 12．如图，、、是上的点，，垂足为点，若，，则线段的长为 ． 13．如图，点P为△ABC的外心，∠A＝75°，则∠BPC＝ . 14．如图，在中，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题 15．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 16．如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 17． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 河面上有是一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥是抛物线，也有同学说是圆．为了确定拱桥形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材一 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图测量水面宽为m，拱顶离水面的距离为4m 素材二 大雨过后，水位上涨．小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面为m时，水位（相对正常水位）上涨m；当水面宽8m时，水位（相对正常水位）上涨m， 素材三 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材一建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥可能是圆弧，请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 基于假设1和假设2，请分别计算水面宽m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材三分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪种形状．（参考数据：） 18．如图，在中，是直径，点E在上，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 20．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线上的C点处（此时），做好标记测量得到米，用同样的方法测得米．圆弧与交于M、N两点，在N点处测得米（此时垂直）．         根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题： (1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧所在圆的半径． 21．某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 22．在中，，，，点M是射线上一点，以为半径的交直线于点D． (1)如图，当时，求的长； (2)当点D在线段的延长线上时，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果直线与射线相交于点E，且与相似，求线段的长． 23．在平面直角坐标系中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点． ①________； ②若点M在线段上，直接写出的取值范围是_______． (2)若点N在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出m的最小值和最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 圆的基本性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点6．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点7．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2023•怀宁县一模）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用半径相等得到，则，根据三角形外角性质得，所以，同理得到，然后利用进行计算即可． 【解答】解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 2．（淮北模拟）如图，为直径，点、在上，已知，，则　 　度． 【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到，利用三角形内角和定理可计算出，然后根据平行线的性质即可得到的度数． 【解答】解：， ， 而， ， 又， ． 故答案为：65． 【点评】本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质． 题型二．垂径定理 3．（2024•金寨县模拟）已知的半径为5，是的弦，是弦的延长线上的一点，若，，则圆心到弦的距离为　　 A． B．6 C． D．4 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作于点，连接， 则， ，， ， ， ， 在中，， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理． 4．（2024•合肥模拟）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出． 【解答】解：连接，如图所示： ，， ， 设的半径， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 5．（2024•池州开学）如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 【分析】连接，由垂径定理得，，设的半径为，则，，在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接，如图所示： 点是的中点，， ，， 设的半径为，则， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为10． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型三．垂径定理的应用 6．（2024春•田家庵区校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案． 【解答】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设，则，， 在直角三角形中，，即， 解得，即球的半径为5． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 7．（2024•潜山市开学）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径为5米，则轮子的吃水深度为 　 　米． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【解答】解：由题意， （米， （米， （米． 故答案为：2． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 8．（2023春•萧县月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径． 【分析】因为是弦的中点，根据垂径定理，，则，在△中，有，进而可求得半径． 【解答】解：连接，如图， 是弦的中点， 根据垂径定理：， 又则有：， 设圆的半径是， 在△中，有， 即：， 解得：， 所以圆的半径长是． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 题型四．圆心角、弧、弦的关系 9．（2024•霍邱县模拟）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点，如果，那么的长为　　 A． B．3 C．4 D． 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接，，过作于，过作于，再利用垂径定理求解，再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接，，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ，，， 四边形是正方形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 10．（2024•利辛县开学）如图，是的弦，半径，，则弦的长是 　　． 【分析】过点作，垂足为，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 【解答】解：过点作，垂足为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一性质是关键． 11．（2024•安徽模拟）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，． （1）求证：； （2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：． 【分析】（1）由等弦对等弧，可得，进而得到，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解， （2）由等弧所对圆周角相等，可得，结合，可得，结合同弧所对圆周角相等，可得，等角对等边，即可求解， 【解答】证明：（1）连接，， ， ， ， ， ， ； （2）连接， ， ， ， ， ， 又，， ， ． 【点评】本题考查了等弦对等弧，等弧所对圆周角相等，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 题型五．点与圆的位置关系 12．（2023•合肥开学）已知的直径长为6，点，在上，则的长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断． 【解答】解：圆的弦长小于等于直径长， ， 故选：． 【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；①点在圆内是解题的关键． 13．（2023•怀宁县一模）在中，圆心在坐标原点上，半径为5，点的坐标为，则点在 　　（填“圆内”，“圆外”或“圆上” 【分析】先根据两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【解答】解：点的坐标为， ， 半径为5， 点在上． 故答案为：圆上． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，当点在圆外；当点在圆上；当点在圆内． 题型六．确定圆的条件 14．（鸠江区校级模拟）如图所示，一圆弧过方格的格点、、，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，作出、的垂直平分线，其交点即为圆心． 【解答】解：如图所示， ，， ； ，， ； ， 同理，， 所以为线段的垂直平分线， 易得为线段的垂直平分线， 为圆的两条弦的垂直平分线的交点， 则， 为圆心． 则该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：． 【点评】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心． 15．（2023•庐阳区一模）已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上． 【分析】连接，作出的垂直平分线交直线于点，以为圆心，为半径作圆． 【解答】解：作图如右： 【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，本题要求有较强的作图能力，对同学来说需要熟练掌握． 题型七．三角形的外接圆与外心 16．（2024•合肥模拟）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是　　 A． B． C．4 D． 【分析】根据为的外心得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， 为的外心， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 17．（2024•庐阳区校级一模）如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 　　． 【分析】连接和，根据，于点，推出，算出，根据勾股定理算出，证是等腰直角三角形，根据代入计算即可． 【解答】解：如图，连接和， ，于点，，， ， ， ， ， ， ，（同弧所对圆周角是圆心角的一半） 又， 是等腰直角三角形， ， 故答案为： 【点评】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，掌握知识点计算是解题的关键． 18．（2023•安庆二模）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，，，，，均为格点，，交于点，过，，三点的圆如图所示，请利用无刻度直尺找出该圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【分析】取格点，直线交圆于点，连接和的交点即为圆心，利用全等三角形的判定和性质得到，，即可证明结论． 【解答】解：取格点，直线交圆于点，连接和的交点即为圆心， 证明：，，， ， ， ， ， ， 则为圆的直径； 同理可得，则为圆的直径； 点为圆心． 【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（  ） A．2 B．3 C．4 D．3.5 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值 【详解】如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，AB=10， ∴OC=OB=AB=5， 又∵AB⊥CD于E，CD=8， ∴CE=CD=4， 在Rt△COE中，OE==3， ∴BE=OB-OE=5-3=2， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、求三角形外心坐标 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】∵的外心P到三个顶点的距离相等， ∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图， 由图可知，点P的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键． 3．如图在中，弦于点于点，若则的半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理求得OD，AD的长，并且在直角△AOD中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：弦，于点，于点， 四边形是矩形，，， ， ； 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；利用垂径定理求出AD，AE的长是解决问题的关键． 4．如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB，AC于点D、E，连接OD、OE，若∠DOE=50°，则∠A的度数为（ ） A．65° B．60° C．50° D．45° 【答案】A 【详解】试题分析：由∠DOE=50°，可求得∠BOD与∠COE的和，又由OB=OD=OC=OE，可求得∠B+∠C的和，继而求得答案． 解：∵∠DOE=50°， ∴∠BOD+∠COE=130°， ∵OB=OD，OC=OE， ∴∠B=，∠C=， ∴∠B+∠C=180°﹣（∠BOD+∠COE）=180°﹣×130°=115°， ∴∠A=180°﹣（∠B+∠C）=65°． 故选A． 考点：圆周角定理． 5．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、求角的余弦值 【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵是的直径，． ∴，，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 6．已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆的基本概念辨析、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，根据，可得，然后根据等腰三角形的性质和外角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ， ， 又， ， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 7．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 8．如图，已知⊙O的半径为2，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　） A．OM的长 B．OM的长 C．2OM的长 D．CD的长 【答案】B 【分析】作直径AE，连接BE，得直角三角形ABE，根据圆周角定理可证∠CBD=∠MAO，运用三角函数定义求解即可． 【详解】作直径AE，连接BE．如图所示： 则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，∴∠BDC=∠ABE=90°，即△ABE和△BCD都是直角三角形，∴∠CBD=∠EAB． 又∵△OAM是直角三角形，OA=2，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和三角函数定义．通过作辅助线证出∠CBD=∠EAB是解决问题的关键． 9．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示： 则， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 【点睛】考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键. 10．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在上运动，且不与A、B重合），设EC=x，ED=y，下列能够表示y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、利用垂径定理求值 【分析】根据相交弦定理可知，x和y成反比例关系，在根据弦长确定函数自变量的取值范围即可． 【详解】如图：当CD经过圆心时，CD⊥AB，且CD平分AB， ∵AB=8， ∴AE=4， ∴OE=， ∴CE=CO-CE=5-3=2，DE=CD-CE=10-2=8， 即当x=2时，y=8． ∴xy=16，即y=， 当CD和AB重合时： ∵AB=8， ∴CD=8， ∴CE=DE=4， 即当x=4时，y=4， ∵点C不与点A和点B重合， ∴图像上（4，4）应为空心． 故选：C 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，垂径定理，相交弦定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．相交弦定理，过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等． 二、填空题 11．已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是 ． 【答案】1或7 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，再根据勾股定理可计算出OF＝4，OE＝3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF． 【详解】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴EF⊥CD． ∵的直径为10， ∴OA=OC=5 ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3， ∴OE＝＝3, OF＝＝4 ①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1； ②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7． 则AB与CD间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 12．如图，、、是上的点，，垂足为点，若，，则线段的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】解：， ， 在中，， ． 故答案为：． 13．如图，点P为△ABC的外心，∠A＝75°，则∠BPC＝ . 【答案】150°. 【分析】∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BPC是弧BC所的圆心角，通过圆周角定理可求出∠BPC的度数． 【详解】根据题意，得： ∠BPC=2∠A=2×75°=150°． 故答案是：150°． 【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 14．如图，在中，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值 【分析】以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点，此时的长度最小，即，过E作于点M， 根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 如图，以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点， 此时的长度最小， ∵将沿对折得到，且点E是的中点， ∴， ∵， ∴此时的周长最小， 过E作于点M， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是关键． 三、解答题 15．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 16．如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） (1)求圆弧所在圆的半径： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 【答案】(1) (2)能通过，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可求解； （2）在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得，进而求出点G到到的距离，然后与车高进行大小比较即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F， ∵ 隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（）， ∴， ∵ 矩形的长为宽为， ∴，且之间的距离为， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆弧所在圆的半径为． （2）解：在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得， 由点O到的距离为， 故点G到到的距离为， 故这辆货运卡车能通过该隧道． 17． 如何确定拱桥形状？ 问题 背景 河面上有是一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥是抛物线，也有同学说是圆．为了确定拱桥形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材一 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图测量水面宽为m，拱顶离水面的距离为4m 素材二 大雨过后，水位上涨．小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面为m时，水位（相对正常水位）上涨m；当水面宽8m时，水位（相对正常水位）上涨m， 素材三 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材一建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥可能是圆弧，请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 基于假设1和假设2，请分别计算水面宽m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材三分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪种形状．（参考数据：） 【答案】假设1：；假设2：该圆弧的半径为米；填表见解析；拱桥更接近圆弧． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，熟练掌握掌握二次函数与垂径定理是解题的关键． 假设1：由题意得：，设抛物线解析式为，将代入即可求解； 假设2：设圆心，连接，由题意得：，， 设半径为，则，根据即可求解； 【详解】解： 假设1： 由题意得：， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当水面宽为m时，将代入得：； 当水面宽为m时，将代入得：； 假设2：设圆心，连接，如图所示： 由题意得：，， 设半径为，则， ∵， ∴， 解得：， ∴该圆弧的半径为米； 当水面宽为m时，设，交于点， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍负）； 当水面宽为m时，同理可得， 解得：（舍负）； 填表如下： 水面宽m 水面宽为m 水位上涨的实际观测值（m） 假设1的预测值（m） 假设2的预测值（m） 根据离差平方和的定义，对于假设1，离差平方和为：； 对于假设1，离差平方和为：； ∵， ∴拱桥更接近圆弧． 18．如图，在中，是直径，点E在上，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、解一元二次方程——直接开平方法、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）连接，证明，则，得到，利用得到，由垂径定理的推论即可得到结论； （2）由垂径定理得到，由可设，则，在中，由得到，解得或（不合题意，舍去），可得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与交于点F．是直径， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴设， 则， 在中，， 由得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理及其推论、弧和弦之间的关系、全等三角形判定和性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 19．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 20．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线上的C点处（此时），做好标记测量得到米，用同样的方法测得米．圆弧与交于M、N两点，在N点处测得米（此时垂直）．         根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题： (1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧所在圆的半径． 【答案】(1) (2)圆弧不是半圆，理由见解析 (3) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、利用垂径定理求值、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，由题意知，，，设抛物线的解析式为，待定系数法计算求解即可； （2）由题意知，，将代入，计算求得或，即，，由，可知圆弧不是半圆； （3）由，可知圆弧所在圆的圆心在的负半轴上，设圆心坐标为，由半径长度相等可得，，解得，，进而可求半径长． 【详解】（1）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 由题意知，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意知，， 将代入得，， 解得，或， ∴，， ∵， ∴圆弧不是半圆； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴圆弧所在圆的圆心在的负半轴上， 设圆心坐标为， 由半径长度相等可得，， 解得，， ∴半径为， ∴圆弧所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，圆，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，圆，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 21．某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 【答案】(1) (2) (3)方案一中的种植宽度要大些 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、利用垂径定理求值、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系． （1）根据垂径定理和勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可； （3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论． 【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，解得， 即圆的半径为； （2）解：根据题意，，，， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （3）解：如图1，连接， 由题意，，，，， 在中，，， 由勾股定理得， ∴； 如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1， 将代入得，解得， ∴， ∵， ∴方案一中的种植宽度要大些． 22．在中，，，，点M是射线上一点，以为半径的交直线于点D． (1)如图，当时，求的长； (2)当点D在线段的延长线上时，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果直线与射线相交于点E，且与相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)6或 【知识点】圆的基本概念辨析、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）在中，，则； （2）如图1，设，则，在中，，即，解得，进而求解； （3）当点M在点B的右侧时，在中，，，则， ，则，进而求解；当点M在的左侧时，同理可解． 【详解】（1）解：在中，，，设， 则，，，， 如图1，，过点M作于点N， ∵，则， 在中，， 则； （2）解：如图1，设，则， 则， 在中，， 即，解得， 则； 则； ∵， ∴． （3）解：当点M在点B的右侧时， 如图2，过点M作于点N，过点作于点P， 设圆的半径为r， ∵与相似，则， 在中，，， 则， ，， ∴， ∵，解得， 则． 当点M在的左侧时， 如图3，过点M作于点N，过点D作，交延长线于点P， 设圆的半径为r， ∵与相似，则， 在中，，， 则， ， ∴， ∵， 解得， 则； 综上，为6或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及到圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理的运用等，有一定的综合性，难度适中． 23．在平面直角坐标系中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“美好距离”，记作． (1)如图1，已知点． ①________； ②若点M在线段上，直接写出的取值范围是_______． (2)若点N在直线上，求的取值范围； (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出m的最小值和最大值． 【答案】(1)①  ② (2) (3)的最小值为，最大值为 【知识点】用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值 【分析】（1）①运用新定义“美好距离”，即可求得答案；②根据新定义“美好距离”，分别求出，即可得出答案； （2）设可得，运用新定义“美好距离”，可 得 ，再利用，即可求得答案； （3）如图，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵到的距离的最小值，最大值， ， 故答案为:； ②当在点处, 到的距离的最小值，最大值， ， 当在点处, 到的距离的最小值，最大值， ， ； （2）解：设， ， ∴， ∵点N在直线上, 设直线交轴于点，交轴于点，如图， 则时, 时, ， ， ， 当 时, 最小, ，即， ， ∵无最大值, ； （3）如图， ∵的最小值为, 最大值为6， ∴两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的半径为， ， ∴的最小值是 ， 在中， ， 解得： (舍去)或 ， ∴的最小值为，最大值为． 【点睛】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$