第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（4个知识点+4种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点3．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．圆心角、弧、弦的关系 1．（2021•浦东新区模拟）下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022春•浦东新区校级期中）已知，，均是的半径，，．如果，那么的值是 　　． 3．（2022•宝山区模拟）已知中，，，，过点、，交边于点．且，求的长． 题型二．圆周角定理 4．（2024春•浦东新区校级月考）如图，是的直径，若，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2024•奉贤区三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为 　　． 6．（2024•松江区二模）如图，已知中，，，．点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点． （1）求的半径长； （2）是 上一点，，交于点，联结．求 的正切值． 题型三．圆内接四边形的性质 7． 四边形内接于，，则，满足条件　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•马尾区期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，且满足，连接，则的度数为 　　． 9．如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 题型四．三角形的外接圆与外心 10．（杨浦区三模）如果圆是的外接圆，，那么下列四个选项中，直线必过圆心的是　　 A． B．平分 C．平分 D．平分 11．（2022•长宁区模拟）如图，的半径为，内接于，圆心在内部．如果，，那么的面积为 　　． 12．（2024•长宁区二模）如图，经过平行四边形的顶点，，，点在边上，，． （1）求平行四边形的面积； （2）求的正弦值． 分层练习 一、单选题 1．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（   ） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 2．如图，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一把直角三角板的顶点A、B在⊙O上，边BC、AC与⊙O交于点D、E，已知∠C=30°，则∠AED的大小为（     ） A．90° B．100° C．110° D．120° 4．如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．弧长相等的两段弧是等弧 B．圆周角等于圆心角的一半 C．平分弦的直径垂直于弦 D．不在同一直线上的三个点确定一个圆 6．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20° C．MN∥CD D．MN=3CD 二、填空题 7．如图，点A、B、C都在上，如果，那么的大小是 ． 8．如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度． ． 9．已知的半径为，则的圆周角所对的弦长为 ． 10．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为 ． 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则 ． 12．如图，是的内接三角形，点是的中点，已知，，则的度数是 度． 13．已知，中，，，，以为边作，使得，连接，则线段长的最大值为 ． 14．如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D，当，时，折痕 ． 15．在锐角中已知，则锐角面积S的取值范围为 ． 16．如图，在中，，，点D在边上，且，点E是边上一点，连接，交以为直径的于点F，连接，则线段的最小值为 ． 17．如图，是半圆的直径，半径于点O，平分，交于点D，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号 是 ． 18．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于点G，AF的中点为点H，连接BG，DH．现有以下结论： ①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 19．如图，在中，，是的外接圆，D为弧的中点，E为延长线上一点．若，求的度数． 20．如图，在中，弦，的延长线交于点P，且，C是弧的中点，求证：是的直径． 21．如图1所示为某市的地标——摩天轮，其简图如图2所示．将摩天轮的主体抽象为，其中为摩天轮的底座，为地面，，且关于直线对称．长为米．摩天轮上的舱室沿着做匀速圆周运动，速度为．若两名游客分别从处登上摩天轮，落座于舱．    (1)求底座支架的长； (2)若两名乘客登上摩天轮的时间相隔分钟（忽略等候舱室到达时间），此时，试求的距离．（结果保留一位小数．参考数据：） 22．如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC． （1）求证：AB＝AC； （2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG； （3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长． 23．已知，点为平面内一动点，连接． （1）如图1，当点在射线上方时，在射线，上分别取点，，使得，连接．依题意补全图形，并求的度数； （2）如图2，点在内部，且，，在射线，上分别取点，，使是以为斜边的等腰直角三角形，请画出图形，并求此时的长． 24．（1）如图①，在四边形中，，和是两条对角线，，过点作的垂线交的延长线于点．求的值； （2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形是项目开发的雏形图，其中，，是三条步行街的入口．，，分别是通向水上乐园的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量的长约千米，，．同时根据设计要求还要满足．由于招商类型与环境设计的不同，预计段每月平均每千米的租金收入是10万元，段每月平均每千米的租金收入是万元，段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由． 25．如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，． (1)当时，求证：； (2)当，时． ①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由； ②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围． 26．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF． (1)当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数； (2)当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长； (3)请直接写出△ADE的周长的最大值． 27．回答下列各题： （1）问题探究 ①如图，在四边形中，，，．则的面积为 ． ②如图，半圆的直径，、为半圆上两点，，，为直径上一动点，请求出的最小值． （2）问题解决 如图，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点，连接、，使得、将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着、修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望最小．以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得，，，，请探究是否存在满足要求的点，若存在，请在图中作出点，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点3．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．圆心角、弧、弦的关系 1．（2021•浦东新区模拟）下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或者劣弧相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质，难度不大． 2．（2022春•浦东新区校级期中）已知，，均是的半径，，．如果，那么的值是 　　． 【分析】分别讨论点在劣弧上或点在优弧上两种情况，再利用平面向量的定义即可得出答案． 【解答】解：当点在劣弧上时， 过点作且，连接，如图． ，，均是的半径， ， ，， 点，，三点在同一条直线上， ， 设圆的半径为， ，， ， ． 当点在优弧上时， 过点作且，连接，如图． 同理可得，点，，三点在同一条直线上， 设圆的半径为， 则，， ， ， ． 故答案为：或． 【点评】本题考查圆的定义、平面向量的定义，熟练掌握圆的定义和平面向量的定义是解答本题的关键． 3．（2022•宝山区模拟）已知中，，，，过点、，交边于点．且，求的长． 【分析】如图，连接，延长交于点．根据圆心角、弧、弦间的关系推知是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得是的中垂线．在直角中根据勾股定理求得线段的长度，进而根据垂径定理来求线段的长度． 【解答】解：如图，连接，延长交于点． ， ， 点是等腰的外心， ，且． 在直角中，，，则． ， ，即， ，即线段的长度是4． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系．注意解题过程中要证明一下是线段的中垂线． 题型二．圆周角定理 4．（2024春•浦东新区校级月考）如图，是的直径，若，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】首先求出，进而利用，得到答案． 【解答】解：如图，连结，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆心角的性质，圆的内接四边形互补，等边三角形的判定，解题的关键是求出． 5．（2024•奉贤区三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为 　　． 【分析】①连接交于，，，过点作于，过点作于，于，证明和全等，得，，则，再证明和全等得，由此可对结论①进行判断； ②根据，得，再根据得，然后根据，及四边形内角和定于可求出的度数，进而可对结论②进行判断； ③设，则，，进而得，根据得，进而由勾股定理即三角形面积公式得，，，则，，，，则，而，据此可对结论③进行判断； ④在中，根据三角函数定义得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①连接交于，，，过点作于，过点作于，于，如图1所示： 四边形为正方形， ，， 依题意得：，，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ， 又， ， ， 即， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 即， 故结论②正确； ③设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ，，， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③正确； ④在中，， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】此题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形等，理解圆的有关概念，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 6．（2024•松江区二模）如图，已知中，，，．点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点． （1）求的半径长； （2）是 上一点，，交于点，联结．求 的正切值． 【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【解答】（1）解：如图，连接，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即的半径长为5； （2）解：， ， ， 的正切值为． 【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键． 题型三．圆内接四边形的性质 7． 四边形内接于，，则，满足条件　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：四边形内接于， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．（2024秋•马尾区期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，且满足，连接，则的度数为 　　． 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数即可． 【解答】解：四边形是圆内接四边形，， ， ， ， ． 故答案为：56． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是是解题的关键． 9．如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，得到，证明△△，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：如图，连接． ， ， ． ， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）解：连接． ， ．是的直径． 由（1）可得． ， ， 在△中，， 的直径为． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 题型四．三角形的外接圆与外心 10．（杨浦区三模）如果圆是的外接圆，，那么下列四个选项中，直线必过圆心的是　　 A． B．平分 C．平分 D．平分 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【解答】解：圆是的外接圆， 点在三边的垂直平分线上． ， 当平分时，也是边的垂直平分线． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心是解答此题的关键． 11．（2022•长宁区模拟）如图，的半径为，内接于，圆心在内部．如果，，那么的面积为 　　． 【分析】连接并延长交于，连接，根据勾股定理的推论得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：连接并延长交于，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：108． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键． 12．（2024•长宁区二模）如图，经过平行四边形的顶点，，，点在边上，，． （1）求平行四边形的面积； （2）求的正弦值． 【分析】（1）过点作，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再利用垂径定理得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用平行四边形的面积公式求解； （2）先证明四边形为矩形得到，，所以，再利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义求解． 【解答】解：（1）过点作，如图， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 在中，， 平行四边形的面积； （2），，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 分层练习 一、单选题 1．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（   ） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 【答案】C 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状、圆周角定理 【详解】解：如图，连接OB，OC， ∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°， ∴∠A=40°，∠A′=140°， ∴∠BAC的度数为：40°或140°． 故选C． 2．如图，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， 的度数为， 故选：C 3．如图，一把直角三角板的顶点A、B在⊙O上，边BC、AC与⊙O交于点D、E，已知∠C=30°，则∠AED的大小为（     ） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再根据圆内接四边形的性质求出∠AED即可． 【详解】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝90°−30°＝60°， ∵四边形ABDE是圆内接四边形， ∴∠AED＝180°−∠B＝120°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，由圆周角定理可知，再根据可知，由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键． 5．下列说法正确的是（    ） A．弧长相等的两段弧是等弧 B．圆周角等于圆心角的一半 C．平分弦的直径垂直于弦 D．不在同一直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【知识点】圆周角定理、圆的基本概念辨析 【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据垂径定理对C进行判断；根据不在同一直线上的三个点确定一个圆对D判断 【详解】解：A、能够完全重合的弧叫等弧，所以A选项错误； B、在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，所以B选项错误； C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于该弦，所以C选项错误； D、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和确定圆的条件． 6．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20° C．MN∥CD D．MN=3CD 【答案】D 【知识点】圆周角定理 【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故A选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ， ∴∠MCD=， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故C选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 二、填空题 7．如图，点A、B、C都在上，如果，那么的大小是 ． 【答案】/42度 【知识点】圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵，点A、B、C都在上， ∴． 故答案为： 8．如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度． ． 【答案】40 【知识点】圆周角定理、等边对等角 【详解】∵∠C=50°， ∴∠AOB=2∠C=2×50°=100°. ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=(180°-100°) ÷2=40°. 点睛：本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的两倍是解答本题的关键. 9．已知的半径为，则的圆周角所对的弦长为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，通过作辅助线、、构造了等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接、、， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， 故答案为：． 10．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了圆周角的性质的应用，熟练掌握三角形外角的性质应用是解答本题的关键．根据外角性质及圆周角定理，由同弧所对圆周角相等即可求出． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则 ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，熟记“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”是解题的关键． 【详解】解：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、、是小正方形顶点， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，是的内接三角形，点是的中点，已知，，则的度数是 度． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】根据周角为360°，可求出∠AOC的度数，由圆周角定理可求出∠ABC的度数，关键是求∠CBD的度数;由于D是弧BC的中点，根据圆周角定理知∠DBC＝∠BAC，而∠BAC的度数可由同弧所对的圆心角∠BOC的度数求得，由此得解. 【详解】∵∠AOB＝98°，∠COB＝120° ∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠COB＝142°， ∴∠ABC＝71°， ∵D是弧BC的中点， ∴∠CBD＝∠BAC， 又∵∠BAC＝∠COB＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝101°， 故答案为101度. 【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角的应用能力，解此题的要点在于求∠CBD的度数. 13．已知，中，，，，以为边作，使得，连接，则线段长的最大值为 ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用 【分析】以为直径的圆作，由题意可得，点在圆上（除去两点），连接并延长，交于点，此时最大． 【详解】解：以为直径的圆作， ∵ ∴点在圆上（除去两点）， 连接、、，如下图： 在中，由三角形三边关系可得：， 当三点共线时，，此时最大， 延长交于点，过点作，如下图： 由题意可得：， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹为以为直径的圆（除去两点）． 14．如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D，当，时，折痕 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，再根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，，， ∴，，又， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵， ∴，则， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，得到，则是解答的关键． 15．在锐角中已知，则锐角面积S的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】以为弦构造圆O，根据圆周角定理得到，过O作的垂线并反向延长，分别与交于D，与圆O交于点A，可得点A到的距离最大，推出此时的面积最大；再根据为直角三角形时，利用勾股定理求出，再求出的面积，即为最小值，结合锐角三角形的特征得到结果． 【详解】解：如图，以为弦构造圆O，其中，点A为优弧上一点， ∴， 过O作的垂线并反向延长，分别与交于D，与圆O交于点A， 此时点A到的距离最大，则的面积最大， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形，， 则，， ∴， ∴； 当为直角三角形时，为圆O的直径， ∵，， ∴， ∴， ∴；    ∴锐角面积S的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了辅助圆的问题，圆周角定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，隐圆，三角形的面积，构造法． 16．如图，在中，，，点D在边上，且，点E是边上一点，连接，交以为直径的于点F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用 【分析】取的中点M，连接，求出和的长，利用三角形两边之差小于第三边解题即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接， ， ， 是的中点， ， 在中， ， EC为的直径， ， 又是的中点， ， 根据三角形的三边关系可知： 的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形三边关系，作出辅助线构造三角形是解题的关键． 17．如图，是半圆的直径，半径于点O，平分，交于点D，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号 是 ． 【答案】①④⑤ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线与等腰三角形的性质证明，可判断①；如图，过作于，再证明，可得，可判断②；证明，可判断③；证明，，可判断④；证明，可判断⑤． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， 平分交弧BC于点D， ， ， ∴，故①符合题意； 设，而，则，如图，过作于， ∵平分， ∴， ∴， ，故②不符合题意； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，，， 与不相似，故③不符合题意； 是半圆的直径， ， ， ， ， ， ， 即，故④符合题意； ∵，， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，熟练的运用以上知识解题是关键． 18．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于点G，AF的中点为点H，连接BG，DH．现有以下结论： ①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【知识点】相似三角形的判定综合、圆周角定理、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①②；如图所示，连接AE，得到A、B、E、G四点共圆，则∠AEB=∠AGB，当∠AED=∠DEC时，可证明，又E是BC上任意一点，则∠AED不一定等于∠DEC，即可判断③；△DHF是等腰三角形，而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形，即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD， 又∵DF=EC=， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC， ∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠EDC+∠AFD =90°， ∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确； ∴∠DGA=∠ECD=90°， 又∵∠DAG=∠EDC， ∴△ADG∽△DEC，故②正确； 如图所示，连接AE， ∵∠ABE=∠AGE=90°， ∴A、B、E、G四点共圆， ∴∠AEB=∠AGB， ∵点H是AF的中点， ∴AH=HF=DH， ∴∠HDF=∠HFD， ∴∠DHF+2∠AFD=180°， 当∠AED=∠DEC时，则∠AEB+2∠DEC=180°， ∴∠AEB=∠DHF=∠AGB， ∴， 又∵E是BC上任意一点， ∴∠AED不一定等于∠DEC， ∴DH与BG不一定平行，故③错误； ∵△DHF是等腰三角形，而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形， ∴△ABG与△DHF不一定相似，故④错误； 故答案为：①②． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段和角度关系． 三、解答题 19．如图，在中，，是的外接圆，D为弧的中点，E为延长线上一点．若，求的度数． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质．先求解，可得，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．是解本题的关键． 【详解】解：∵D为弧AC的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题意可知四边形ABCD是的内接四边形， ∴， ∴． 20．如图，在中，弦，的延长线交于点P，且，C是弧的中点，求证：是的直径． 【答案】见解析 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，直径所对的角是直角，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据题意证明，即可证明即可得到答案． 【详解】证明：连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故是的直径． 21．如图1所示为某市的地标——摩天轮，其简图如图2所示．将摩天轮的主体抽象为，其中为摩天轮的底座，为地面，，且关于直线对称．长为米．摩天轮上的舱室沿着做匀速圆周运动，速度为．若两名游客分别从处登上摩天轮，落座于舱．    (1)求底座支架的长； (2)若两名乘客登上摩天轮的时间相隔分钟（忽略等候舱室到达时间），此时，试求的距离．（结果保留一位小数．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、圆周角定理、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由勾股定理得出，证明出四边形为矩形，即可得解； （2）连接，过作于，过作，过作于．由题意结合圆周角定理可得，解直角三角形得出，设，再由勾股定理得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接． ，   长为米 在中，根据勾股定理，． 关于对称， 且． 四边形为矩形． ． （2）解：如图，连接，过作于，过作，过作于． ，   由（1）可得：，， ， ， ， 由题意得：， ． 由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：． 在中，． ． 设， ， ． 在中，根据勾股定理，． 根据参考数据，解得． ． 答：相距约． 22．如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC． （1）求证：AB＝AC； （2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG； （3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由GA平分∠BGC可得∠AGB＝∠AGC，然后跟胡圆周角定理证明即可； （2）设∠AGB＝∠AGC＝x，证得∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，则∠BGD＝∠BDG＝2x，可得出结论BD＝BG； （3）延长GC，使CK＝BG＝16，连接AK．根据SAS证明△ABG≌△ACK，可得∠K＝∠AGB＝∠AGC，得出AG＝AK，过点A作AN⊥GK于点N，过点B作BH⊥DG于点H，设HD＝GH＝a，可得出DN＝NG﹣DG＝，证明△ADN∽△BDH，得出比例线段求出a＝6，求出AG的长，证明△AWD∽△BWG，得出，可求出WG． 【详解】（1）证明：∵GA平分∠BGC， ∴∠AGB＝∠AGC， ∴弧AB=弧AC， ∴AB＝AC； （2）证明：设∠AGB＝∠AGC＝x， ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠BAC＝180°﹣2x， ∵AD//BG， ∴∠AGB＝∠DAG， ∴∠AGD＝∠DAG＝x， ∴∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB， ∵∠AWB＝∠AGB+∠DBG， ∴∠DBG＝180°﹣3x﹣x＝180°﹣4x， ∴∠BDG＝180°﹣2x﹣(180°﹣4x)＝2x， ∴∠BGD＝∠BDG＝2x， ∴BD＝BG； （3）解：如图2，延长GC，使CK＝BG=BD＝16，连接AK． ∵AB＝AC，∠ACK＝∠ABG， ∴△ABG≌△ACK（SAS）， ∴∠K＝∠AGB＝∠AGC＝x， ∴AG＝AK， 过点A作AN⊥GK于点N，过点B作BH⊥DG于点H， 设HD＝GH＝a， ∵CD＝5， ∴GK＝2a+5+16＝2a+21， ∵AG＝AK，AN⊥GK， ∴， ∴DN＝NG﹣DG＝， ∵∠AND＝∠BHD，∠ADC＝∠BGD＝∠BDH， ∴△ADN∽△BDH， ∴， ∵∠AGD＝∠DAG， ∴AD=GD＝2a， ∴， ∴a2+8a﹣84＝0， 解得a1＝6，a2＝﹣14（舍去）， ∴AD＝12， ∴在Rt△AND中，， 在Rt△AGN中，AG＝=＝6， ∵AD//BG， ∴△AWD∽△BWG， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 23．已知，点为平面内一动点，连接． （1）如图1，当点在射线上方时，在射线，上分别取点，，使得，连接．依题意补全图形，并求的度数； （2）如图2，点在内部，且，，在射线，上分别取点，，使是以为斜边的等腰直角三角形，请画出图形，并求此时的长． 【答案】（1）∠PAB=45°，画图见解析；（2）2，画图见解析 【知识点】圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）以P为圆心，OP为半径作⊙P交OM于点A，交ON于点B即可．过点P作PH⊥OB于点H，交OA于点J，连接JB．证明A，P，J，B四点共圆，推出∠PAB=∠JBO=45°即可． （2）以P为圆心，OP为半径作⊙P交OM于点A，交ON于点B即可． 【详解】解：（1）如图1中，图形即为所求． 过点P作PH⊥OB于点H，交OA于点J，连接JB． ∵PO=PB，PH⊥OB， ∴OH=BH，JO=JB，∠OPH=∠BPH， ∵∠MON=45°， ∴JH=OH=BH， ∴∠JBO=∠JOB=45°， ∵PO=OB=PA， ∴∠OAB=∠OPB=∠JPB， ∴A，P，J，B四点共圆， ∴∠JBO=∠PAB=45°． （2）如图2中，以P为圆心，OP为半径作⊙P交OM于点A，交ON于点B． ∵∠APB=2∠AOB=90°， ∴△PAB是等腰直角三角形， ∴PA=OP=2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．（1）如图①，在四边形中，，和是两条对角线，，过点作的垂线交的延长线于点．求的值； （2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形是项目开发的雏形图，其中，，是三条步行街的入口．，，分别是通向水上乐园的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量的长约千米，，．同时根据设计要求还要满足．由于招商类型与环境设计的不同，预计段每月平均每千米的租金收入是10万元，段每月平均每千米的租金收入是万元，段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）每月租金总收入的最大值是万元 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据四边形内角和以及余角的定义得出与相似，即可得解； （2）先根据题意说明点，，，四点共圆，得出，设，则，根据锐角三角函数求出，进而求出，，作交延长线于点，说明和，根据相似比表示出，，用表示出总费用，当为共圆直径时，最大，即总费用最大，求出此时的即可解答． 【详解】解：（1）四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 的值为； （2）解：在中，， 在四边形中，， 点，，，四点共圆， 过点作于， 在中，， 设，则， 在中，，， ， ， ，， 作交延长线于点， ， ， ，即， ， ， ， ，， 总费用， ， ， 由可得， ， 即， 当为共圆的直径时，最大，即最大， 设共圆的圆心为，连接，，， ，即半径，直径， 总费用的最大值为万元． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，与圆有关的概念和性质，正确作出辅助线是解题关键． 25．如图，在中，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，． (1)当时，求证：； (2)当，时． ①是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长；若不存在，请说明理由； ②连接，点在的延长线上，若点关于的对称点恰好落在内，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①存在，或或；② 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据得出，连接，可得则，即可得证； （2）①勾股定理可得，进而可得，，，，，分三种情况讨论，分别解直角三角，即可求解； ②根据题意得出四边形是菱形，分当在上时，当在上时，求得临界值，进而结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 连接，如图， ∵是直径， ∴， ∴， 即， ∴； （2）∵中，， ∴， ∴， ∵ ∴，， 若存在是等腰三角形； ①当时，，则 连接， ∵是直径， ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，过点作于点， ∵ ∴（等腰三角形三线合一） ∴平行， ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， 解得：， 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵∵ ∴， 解得：， 综上所述，或或； ②连接，依题意， ∴四边形是菱形， 当在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴为的中位线， ∴ ∴， ②当在上时，∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，菱形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 26．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF． (1)当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数； (2)当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长； (3)请直接写出△ADE的周长的最大值． 【答案】(1)60°； (2)AG＝6； (3)6＋4 【知识点】利用相似三角形的性质求解、旋转综合题(几何变换)、已知圆内接四边形求角度、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）用角平分线的性质和旋转性质即可； （2）作FMAD，根据相似三角形的判定和性质得出，MC=，取线段AM的中点P，则PM=，得出点F的运用轨迹，当B、F、M共线时，BF取最小值，过点B作BQ⊥AC于点Q，QM=1，利用勾股定理求解得出，再由△ADG∽△BFG可求AG； （3）连接BE，设，AE平分，可得，由四边形两组对角互补得到四点共圆，作的外接圆，是等边三角形，可将绕点C顺时针旋转得到，得E、A、N三点共线，求出的最大值，即可求出的周长． 【详解】（1）解：∵AD由AB旋转得到 ∴AD=AB ∵AE平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴∠AEC＝60°； （2）如图，过点F作作FMAD，交AC于点M， ∵∆ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=AD=6， ∵FMAD，DF＝2CF ∴∆CMF~∆CAD， ∴， ∴，MC=， 取线段AM的中点P，则PM=， ∵MP=MF=MC=2， ∴点F的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的圆， ∴当B、F、M共线时，BF取最小值， 过点B作BQ⊥AC于点Q，则QM=1， BQ=，   ∴BM=， ∴ ∵FMAD 又∵BF取最小值点F在BM上，   ∴ ∴△ADG∽△BFG ∴， ∴， ∴；   ∴当BF取最小值时，； （3）如图，连接BE， 设 ∵AE平分 ∴ 在∆ADE与∆ABE中， ， ∴∆ADE≅∆ABE， ∴DE=BE， ∴ ∵AD=AC， ∴ ∴=60° ∴∠AED＝120°， ∴∠AED＝∠AEB=120°， 又， ∴∠AEB+∠ACB=180°， ∴∠EBA=∠D=60°-α， ∴∠EBC+∠EAC=∠EBA +∠ABC+∠EAB+∠BAC=180°， ∴四点共圆   作的外接圆，则点F在上， 又是等边三角形， ∴可将绕点C顺时针旋转得到 由旋转的性质得： ， ∴ ∴E、A、N三点共线 ∴为等边三角形， ∴ ∵，如图所示，AH为BC边上的高： AH=， ∴的外接圆的半径    ∴CE的最大值为 即的最大值为 ∵的周长是 ∴的周长是. 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定,等边三角形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建辅助圆来确定线段的最值问题. 27．回答下列各题： （1）问题探究 ①如图，在四边形中，，，．则的面积为 ． ②如图，半圆的直径，、为半圆上两点，，，为直径上一动点，请求出的最小值． （2）问题解决 如图，四边形为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点，连接、，使得、将四边形分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着、修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望最小．以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得，，，，请探究是否存在满足要求的点，若存在，请在图中作出点，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①12；②；（2）P（4，2），理由见解析． 【知识点】解非直角三角形、圆周角定理、一次函数与几何综合 【分析】（1）①过点A作于E，由等腰三角形性质可得BE=CE=3，在中，由勾股定理可得AE=4，由，，可得点D到BC的距离为AE=4， 故可求． ②补全圆O，作点C关于直径的对称点E，根据圆的对称性，点E也在圆O上，连接DE交AB于点P连接CP,此时PC+PD最小，连接CD，过点D作DFCE于F，由，得，由，AB为直径，可得，，由，AB为直径，根据垂径定理可得,，故，进而可得，，，在等腰直角中，由勾股定理可得CD=，在中，可得DF==，在中，可得DE= = ，进而可得PC+PD的最小值． （2）如图，连接AC，过点D作交x轴于点E，连接AE，由①可得，故，由A、C点坐标可求AC解析式为：，由，可求DE解析式为：，故E(12，0)，可得，故，进而可得点P在内且AP和CP将面积分成3：1两部分即可使AP和CP将分成面积相等的两部分，过点A作AGBC于G，过点B作BFAC于F，可得AC=，BC=8，AG=6，由等积法可得，解得BF=，在BF上取点M使得BM=，在BC上取点N使得BN=6，连接MN，可得，可知，可得点P在直线MN上时，此时AP和CP将面积分成3：1两部分，即此时AP和CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分，过点C作MN的对称点H交MN于Q，连接AH交MN于P连接CP，此时AP+CP最短，由，N（6，0），可得直线MN解析式为：，由，C（8，0），可求直线CH解析式为：，进而得MN与CH的交点坐标为Q（7，-1），根据中点坐标公式可求H(6，-2)，进而可求直线AH解析式为：，进而可求得P点坐标． 【详解】（1）①如图，过点A作于E， ∵AB=AC，，BC=6， ∴BE=CE=3， ∴在中，AE=， ∵，， ∴点D到BC的距离为AE=4， ∴． 故答案为：12． ②如图，补全圆O，作点C关于直径的对称点E，根据圆的对称性，点E也在圆O上，连接DE交AB于点P连接CP,此时PC+PD最小，连接CD，过点D作DFCE于F， ∵， ∴， ∵，AB为直径， ∴，， ∵，AB为直径， ∴,， ∴， ∴，，， 在等腰直角中，CO=OD=5， ∴CD=， 在中，CD=，， ∴DF==， 在中，，DF=， ∴DE= == ， ∴PC+PD=PE+PD=DE= ， ∴PC+PD的最小值为． （2）存在点P（4，2），理由如下： 如图所示，连接AC，过点D作交x轴于点E，连接AE， 由①可得， ∴， ∵，， ∴设AC解析式为，代入可得：， ∴AC解析式为：， ∵， ∴设直线DE的解析式为：，代入点可得：m=12， ∴DE解析式为：， ∴E(12，0)， ∵C(8，0)， ∴， ∴， ∴点P在内且AP和CP将面积分成3：1两部分即可使AP和CP将分成面积相等的两部分， 过点A作AGBC于G，过点B作BFAC于F， ∵，， ∴AC=，BC=8，AG=6， ∴， 即， ∴BF=， 在BF上取点M使得BM=，在BC上取点N使得BN=6，连接MN， 则， ∴， ∴点P在直线MN上时，此时AP和CP将面积分成3：1两部分， 即此时AP和CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分， 过点C作MN的对称点H交MN于Q，连接AH交MN于P连接CP，此时AP+CP最短， ∵， ∴可设直线MN解析式为：， ∵N（6，0）， ∴直线MN解析式为：， ∵， ∴可设CH解析式为：， ∵C（8，0）， ∴直线CH解析式为， ∴将直线MN与CH解析式联立得MN与CH的交点坐标为Q（7，-1）， ∵MN垂直平分CH， ∴Q为CH的中点， ∴H(6，-2)， ∵A(2，6)， ∴设直线AH解析式为：，代入可得：k=-2，b=10， ∴直线AH解析式为：， ∵直线MN解析式为：， ∴两直线解析式联立解得P（4，2）． ∴存在点P坐标为（4，2）使得AP与CP将四边形ABCD面积等分并且AP+CP最小． 【点睛】本题综合考查了三角形面积关系，圆周角定理，解直角三角形，两条线段和最小问题，一次函数的位置关系及交点问题，题目较难，分析出符合题意的点P的位置是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$