第02讲 三角函数的应用与测高（5个知识点+5种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 三角函数的应用与测高（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2024•龙凤区二模）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　　． 3．（2024•海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 题型二．解直角三角形的应用 4．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•江都区一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 　　．（参考数据：，， 6．（2024•西岗区校级一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知、、三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，． （1）求散热架底边的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 题型三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7．（2023秋•东辽县期末）已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是　　 A．米 B．20米 C．米 D．米 8．（2023秋•兰州期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 　　． 9．（2024•沧州一模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为． （1）求新坡面的长度； （2）试求新坡面底部点到建筑物的距离． 题型四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10．（2024•海珠区一模）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，那么这棵木棉树的高度约　　．（结果精确到（参考数据：，， A．22 B．21 C．20 D．19 11．（2024•新泰市三模）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度　　米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 12．（2024•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①．某学习小组设计了一个方案：如图②，点，，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． （Ⅰ）求线段的长（结果取整数）； （Ⅱ）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 题型五．解直角三角形的应用-方向角问题 13．（2024•青龙县模拟）如图，点为观测站，一艘巡航船位于观测站的南偏西方向的处，一艘渔船在观测站的南偏东方向处，巡航船和渔船与观测站的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里小时的速度前去救助，至少需要的时间是　　 A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时 14．（2024•东营区模拟）如图，已知公路上，两点之间的距离为20米，点在的南偏西的方向上，在的南偏西方向上，则点到公路的距离为 　　米． 15．（2024秋•江北区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．（参考数据： （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？（结果精确到十分位） 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，一个公共房门前的台阶高BC＝1.3米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡∠BAC＝10°，则下列关系式或说法正确的是（    ）． A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC＝1.3tan10° D．AB＝1.3sin10° 3．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点B，将沿OA翻折得到，连接并延长交x轴于点C，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90O，若AB=5，sinA=，则斜边上的高等于（ ） A．3 B．4 C． D． 7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 8．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　） A．8tan20° B． C．8sin20° D．8cos20° 9．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 10．豆豆同学上周末对万州西山钟楼（AB）的高度进行了测量．如图，他站在点 D 处测得西山钟楼顶部点 A 的仰角为 67°．然后他从点 D 沿着坡度为 i=1:的斜坡 DF 方向走 20 米到达点 F，此时测得建筑物顶部点 A 的仰角为 45°．已知该同学的视线距地面高度为 1.6 米（即 CD＝EF＝1.6 米），图 中所有的点均在同一平面内，点 B、D、G 在同一条直线上，点 E、F、G 在同一条直线上，AB、CD、EF 均垂直于 BG.则西山钟楼 AB 的高约为（   ）（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36） A．17.4 米 B．36.8 米 C．48.8 米 D．50.2 米 二、填空题 11．已知某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，则该建筑物的高为 ． 12．如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 ． 13．如图，要测量河两岸的两点之间的距离，可以在河边取的垂线上的一点，若测得，则的长为 ． 14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，请用含α的式子表示BC的长 ．    15．如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，则塔高为 m． 16．如图，在中，，，，把绕点O旋转后，得到，则点的坐标为 ． 17．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为 m高.（保留根号） 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点……以此类推，则点的坐标为 ． 三、解答题 19．如图，某同学在大楼的观光电梯中的点E处测得大楼楼底点C的俯角为，此时该同学距地面的高度为26米，电梯再上升10米到达点D处，此时测得大楼楼顶点B的仰角为，求大楼的高度（参考数据：）． 20．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，，有一艘小船在点处，从测得小船在北偏东的方向，从测得小船在北偏西的方向．求点到海岸线的距离（结果精确到）．    21．如图是某路段路灯的示意图，灯杆长，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为，从D，E两处测得路灯A的仰角分别为和，求灯柱的长度（参考数据：，，）． 22．某景区在距离地面米的悬崖点处垂直水平线搭建了一个悬崖秋千，秋千拉绳均由钢管制作而成，当游客乘坐该秋千时，机器会将秋千拉至最高接近与地面平行的点处(此时) ，然后放下．该悬崖秋千以其惊险刺激立即成为网红打卡地． 若秋千放下秒后点的垂直距离为米，求秋千拉绳的长； 若某一时刻秋千荡至与点水平距离相距米的点处，求的度数，并求此时秋千底端距离悬崖底部多少米(结果保留整数参考数据：)      23．如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）． 24．如图，中，，点D为边上一点．    (1)求作四边形，使得四边形是菱形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)与的交点为O，连结，若， ，求的长． 25．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为12米，它的坡度．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，） 26．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）如图，求证:； （2）如图，以为邻边作平行四边形，连结若． ①试判断的形状，并说明理由； ②求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角函数的应用与测高（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2024•龙凤区二模）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则　　 A． B． C． D． 【分析】先证明△是等边三角形，得，即可得出． 【解答】解：根据题意得：， △是等边三角形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数值，证明三角形是等边三角形是关键． 2．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　　． 【分析】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可． 【解答】解：分三种情况： ①如图1， 高， 此时； ②如图2，高， 此时； ③如图3， 高， 设，，，则， 由三角形面积公式和勾股定理得：， 解得：（负数舍去）， ； 故答案为：或2或1． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论． 3．（2024•海淀区校级模拟）如图，在中，，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）先证，得出，则，得出四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2），为边上的中线，则，在 中，，求出，则，又根据点为中点，求出，则可根据勾股定理可求． 【解答】（1）证明：是边上的中线， ， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ，为边上的中线， ， ， 四边形为矩形； （2）解：，为边上的中线， ， 在 中，， ， ， 又点为中点， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 题型二．解直角三角形的应用 4．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【解答】解：根据题意，设，则， ，四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2024•江都区一模）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 　　．（参考数据：，， 【分析】在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：在△中，，， ， 原直角三角形玻璃的面积， 故答案为：107． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024•西岗区校级一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知、、三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，． （1）求散热架底边的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【分析】（1）利用计算即可； （2）过点作交的延长线于，先计算，再解△，计算，得到，再计算即可得解． 【解答】解：（1）， ， ，， ， 答：的长约为； （2）过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， ，， ， ， 因为． 所以显示屏顶部比原来升高了约． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 题型三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7．（2023秋•东辽县期末）已知，斜坡的坡度，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是　　 A．米 B．20米 C．米 D．米 【分析】设小明上升的距离米，根据坡度的概念用表示出小明行走的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设小明上升的距离米， 斜坡的坡度， 小明行走的水平距离米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则小明上升的距离是米， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 8．（2023秋•兰州期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 　　． 【分析】在中，已知了坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长． 【解答】解：中，，， ， ． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 9．（2024•沧州一模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为． （1）求新坡面的长度； （2）试求新坡面底部点到建筑物的距离． 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质计算； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出，根据正切的定义求出，计算即可． 【解答】解：（1）在中，，米， 则（米， 答：新坡面的长度为12米； （2）在中，，米， 米， 米， （米， 在中，，米， 则（米， 米， 答：新坡面底部点到建筑物的距离为米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10．（2024•海珠区一模）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，那么这棵木棉树的高度约　　．（结果精确到（参考数据：，， A．22 B．21 C．20 D．19 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在△中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在△和△中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在△中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在△中，， 米， 在△中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2024•新泰市三模）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点100米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为80米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度　69.3　米．（结果精确到0.1米，参考数据：． 【分析】过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题． 【解答】解：如图所示： 过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， （米，（米， （米， （米， （米， 大楼的高度约为69.3米． 故答案为：69.3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键． 12．（2024•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①．某学习小组设计了一个方案：如图②，点，，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． （Ⅰ）求线段的长（结果取整数）； （Ⅱ）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【分析】设 ，由，得到，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论； 根据三角函数的定义得到．于是得到． 【解答】解：设 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 答：线段的长约为； ， ． ． 答：桥塔的高度约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 题型五．解直角三角形的应用-方向角问题 13．（2024•青龙县模拟）如图，点为观测站，一艘巡航船位于观测站的南偏西方向的处，一艘渔船在观测站的南偏东方向处，巡航船和渔船与观测站的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里小时的速度前去救助，至少需要的时间是　　 A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时 【分析】连接，根据题意可知，根据勾股定理求出，然后根据巡航船的速度解答即可． 【解答】解：连接， 根据题意可知， 是直角三角形， （海里）， 巡航船的速度为30海里小时， （小时）， 即至少需要2.5小时． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方向角含义，正确求出的度数． 14．（2024•东营区模拟）如图，已知公路上，两点之间的距离为20米，点在的南偏西的方向上，在的南偏西方向上，则点到公路的距离为 　　米． 【分析】过点作公路于点，证，得米，再在中，根据计算求得的长即可． 【解答】解：如图，过点作公路于点， 则，，，米， ，， ， 米， 在中，， （米， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 15．（2024秋•江北区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．（参考数据： （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？（结果精确到十分位） 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在△中，利用勾股定理可求出的长，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【解答】解：（1）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在△中，，米， （米， （米， 米， 米， （米， 米， 在△中，， （米， 道路的长度约为米； （2）米，米， （米， 在△中，米， （米， 在△中，， （米， 甲的路程（米， 乙的路程（米， ，两人速度相同， 乙先到达点． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了直角三角形，锐角三角函数定义，根据余弦函数定义可以求得，将代入即可求得． 【详解】解：如图，，，，    则， ． 故选：B． 2．如图，一个公共房门前的台阶高BC＝1.3米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡∠BAC＝10°，则下列关系式或说法正确的是（    ）． A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC＝1.3tan10° D．AB＝1.3sin10° 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据坡度的定义，以及锐角三角函数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】斜坡AB的坡度，，故A选项不符合题意； 斜坡AB的坡度，故选项B符合题意； ∵， ∴，故选项C不符合题意； ∵， ∴，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查坡度的定义以及锐角三角函数的定义，熟练掌握坡度的定义以及锐角三角函数的定义，是解题的关键． 3．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，，厘米， ， （厘米）， 故选：C． 4．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米， 在中，， ∴米， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点B，将沿OA翻折得到，连接并延长交x轴于点C，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题 【分析】由折叠可知，然后根据互余关系得到，可得到，计算的值即可得到C的坐标． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵点 ∴， ∴，即， ∴点C坐标为． 故选：C 【点睛】本题主要考查折叠的基本性质，折叠前后图形对应点连线被折痕坐在直线垂直平分，借助互余关系和三角函数计算是解题的关键． 6．在Rt△ABC中，∠C=90O，若AB=5，sinA=，则斜边上的高等于（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据题意可得：AB=5，BC=3，AC=4，则根据等面积法可得斜边上的高为：． 考点：三角函数、直角三角形的性质． 7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知, ∵坡度， ∴, 设，则， ∵, ∴，解得：． ∴． 故选A． 8．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　） A．8tan20° B． C．8sin20° D．8cos20° 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°． 【详解】解：设木桩上升了h米， ∴由已知图形可得：tan20°=， ∴木桩上升的高度h=8tan20° 故选A. 9．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可． 【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 10．豆豆同学上周末对万州西山钟楼（AB）的高度进行了测量．如图，他站在点 D 处测得西山钟楼顶部点 A 的仰角为 67°．然后他从点 D 沿着坡度为 i=1:的斜坡 DF 方向走 20 米到达点 F，此时测得建筑物顶部点 A 的仰角为 45°．已知该同学的视线距地面高度为 1.6 米（即 CD＝EF＝1.6 米），图 中所有的点均在同一平面内，点 B、D、G 在同一条直线上，点 E、F、G 在同一条直线上，AB、CD、EF 均垂直于 BG.则西山钟楼 AB 的高约为（   ）（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36） A．17.4 米 B．36.8 米 C．48.8 米 D．50.2 米 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】在中，根据坡度求出DG和FG，过E、C点作EH⊥AB，CK⊥AB，分别交AB于H，K.延长DC交HE于I.在设AH=y米,则可求HE=y米.分别表示AK和KC，在解直角三角形，求出y，随即可求出AB的长. 【详解】在中， ∵， ∴， 设FG=3x米,则DG=4x米 根据勾股定理 即 解得x=4或x=-4（舍去） ∴FG=3x=12米，DG=4x=16米. 如下图：过E、C点作EH⊥AB，CK⊥AB，分别交AB于H，K.延长DC交HE于I. ∵CK⊥AB ∴∠CKB=90°， 由题可得∠B=90°，∠CDB=90°， ∴四边形BDCK为矩形， ∴KB=CD=1.6米，CK=BD, 同理可证四边形HBGE为矩形 ∴HB=EG，HE=BG， ∴HK=HB-KB=EF+GF-KB=GF=12米， 设AH=y米， 在中， ∵∠AEH=45°， ∴为等腰直角三角形，HE=AH=y米. 在中，AK=AH+HK=y+12米， CK=BD=BG-DG=y-16. 解得y≈36.6米 ∴AB=AH+HB=36.6+12+1.6=50.2米. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的应用，矩形的性质和判定，勾股定理.在和能求出直角边AH和AK，HE和KC的数量关系是解决本题的关键. 二、填空题 11．已知某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，则该建筑物的高为 ． 【答案】21.6 【详解】试题分析：设该建筑物的高为x米，根据同一时刻物体的高与影长的关系即可列方程求解. 设该建筑物的高为x米，由题意得 解得 则该建筑物的高为21.6米. 考点：相似三角形的应用 点评：本题是相似三角形的基础应用题，难度一般，主要考查学生对生活常识的理解能力. 12．如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数及勾股定理等知识；设菱形边长为x，由得的长，由建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】 解：设菱形边长为x， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 13．如图，要测量河两岸的两点之间的距离，可以在河边取的垂线上的一点，若测得，则的长为 ． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，利用正切的定义可得出，代入数据后即可求出的长度，此题得解． 【详解】解：在中，，， ， （米）． 故答案为：． 14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，请用含α的式子表示BC的长 ．    【答案】 【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其对边与邻边的比值，据此求解即可. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20， ∴=，即BC=. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握相关概念是解题关键. 15．如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，则塔高为 m． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】用分别表示出，长，根据得方程求，进而求得长． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∵． ∴大楼高． 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．如图，在中，，，，把绕点O旋转后，得到，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，分类讨论绕点O顺时针、逆时针两种旋转情况求解． 【详解】在 中， ∵， ∴，，， ①当绕点逆时针旋转后，点的对应点落在轴的负半轴上，如图，此时的坐标为； ②当绕点顺时针旋转后，点的对应点落在第三象限，如图，则 ， ， ∴点 的横坐标为纵坐标为， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为 或 故答案为：或 17．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为 m高.（保留根号） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，在Rt△BEF中，可求出BF，则EC=AF=AB-BF. 【详解】如图所示，延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F， 由题意得∠E=∠MBN=30°，EF=AC=15m， 在Rt△BEF中， ∴EC=AF=AB-BF=20-. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点……以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查规律探究，涉及菱形的性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，根据题意可得点，且为等边三角形，，则，那么，则，同理可求得，即可得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴点， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 则， 同理可求得， 即可得， 那么，， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，某同学在大楼的观光电梯中的点E处测得大楼楼底点C的俯角为，此时该同学距地面的高度为26米，电梯再上升10米到达点D处，此时测得大楼楼顶点B的仰角为，求大楼的高度（参考数据：）． 【答案】55.5米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过D、E分别作，易得四边形，四边形均为矩形，为等腰直角三角形，进而求出的长，解，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：过D、E分别作， 由题意知：四边形，四边形均为矩形，， ∴米，米，， ∴， ∴米， ∴米，                                            在中，（米）， ∴（米）． 20．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，，有一艘小船在点处，从测得小船在北偏东的方向，从测得小船在北偏西的方向．求点到海岸线的距离（结果精确到）．    【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，过点作于点，设，则，，再由，求解即可得出答案，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，设，   ， 在中，， ， 在中，，， ，即， 解得． 答：点到海岸线的距离约为． 21．如图是某路段路灯的示意图，灯杆长，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为，从D，E两处测得路灯A的仰角分别为和，求灯柱的长度（参考数据：，，）． 【答案】灯柱的长度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G，则，在中求出的值，在中求出的值，由即可得出灯柱的长度． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G， 故四边形是矩形 在中， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 经检验是此方程的根 即：灯柱的长度为． 22．某景区在距离地面米的悬崖点处垂直水平线搭建了一个悬崖秋千，秋千拉绳均由钢管制作而成，当游客乘坐该秋千时，机器会将秋千拉至最高接近与地面平行的点处(此时) ，然后放下．该悬崖秋千以其惊险刺激立即成为网红打卡地． 若秋千放下秒后点的垂直距离为米，求秋千拉绳的长； 若某一时刻秋千荡至与点水平距离相距米的点处，求的度数，并求此时秋千底端距离悬崖底部多少米(结果保留整数参考数据：)      【答案】（1）20；（2）318 【知识点】已知余弦求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）分别过点作的垂线，垂足分别为点设拉绳米．根据在中，；在中，，则有，即可求解. （2）过点作于点，可得，在中，，可得，最后根据即可求解. 【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为点由题意可知，米 设拉绳米． 在中，， 在中， 则 解得即秋千拉绳的长为米． 如图，过点作于点．    由题意得(米)， 在中， (米)， 此时秋千底端距离悬崖底部的高度为米． 【点睛】此题主要考查构造直角三角形，然后解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题关键. 23．如图，晚上小明站在路灯P的底下观察自己的影子时发现，当他站在F点的位置时，在地面上的影子为BF，小明向前走2米到D点时，在地面上的影子为AD，若AB=4米，∠PBF=60°，∠PAB=30°，通过计算，求出小明的身高．（结果保留根号）． 【答案】米 【知识点】勾股定理及逆定理 【详解】试题分析：设CD=EF=x，根据Rt△CAD，求出AD与x的关系，根据Rt△BEF，求出BF与x的关系，然后根据BD=DF－BF=2－BF，AB=AD+BD=4求出x的值． 试题解析：设小明的身高为x米，则CD=EF=x米． 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，tan∠CAD=，即tan30°=，AD=x 在Rt△BEF中，∠BFE=90°，tan∠EBF=EF/BF，即tan60°=，BF= 由题意得DF=2，∴BD=DF-BF=2-，∵AB=AD+BD=4，∴x+2-=4 解得：x=． 答：小明的身高为米． 考点：锐角三角函数的应用． 24．如图，中，，点D为边上一点．    (1)求作四边形，使得四边形是菱形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)与的交点为O，连结，若， ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）如图所示，①作线段的垂直平分线，交于点D；②以点B为圆心，以为半径画弧，交垂直平分线于点E；即得所求． （2）过点E作于点F，由菱形得，，，可证四边形是矩形，解得，，由勾股定理，由斜边中线定理，得． 【详解】（1）解：如图所示，①作线段的垂直平分线，交于点D； ②以点B为圆心，以为半径画弧，交垂直平分线于点E； ③连接，，，即得所求． （2）过点E作于点F， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，    在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查尺规作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；构造直角三角形求解线段是解题的关键． 25．天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为12米，它的坡度．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，坡度坡角问题，以及含30度角的直角三角形的性质．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点F，过点E作，垂足为G，根据题意可得，米，，再根据已知可得在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点F，过点E作，垂足为G， 由题意得，，米，， ∵斜坡的坡度， ∴， 在中，， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：塔的高度约为米． 26．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）如图，求证:； （2）如图，以为邻边作平行四边形，连结若． ①试判断的形状，并说明理由； ②求证：； （3）如图，在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）①为等边三角形，证明见解析；②证明见解析；（3）的面积为 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊三角形的三角函数、四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由平行四边形和的平分线交于点；可推导得到，从而证明； （2）①平行四边形和，求得；再由平行四边形和的平分线交，推导出平行四边形为菱形，从而判断为等边三角形； ②由且，结合等边可推导出；再由推导出，再结合，证明；从而得到答案； （3）由，和等边，可推导出，及,从而完成求解． 【详解】（1）∵平行四边形 ∴且 ∴ ∵的平分线交于点 ∴ ∴ ∴ （2）①∵ ∴ ∵平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形 ∵ ∴为等边三角形； ②∵且 ∴ ∴ ∵且等边 ∴ ∴ ∵且 ∴ ∵等边 ∴ ∴ ∴ （3）如图，CG和BC相交于点H ∵， ∴ ∴ ∵等边 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∵且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、全等三角形、等腰三角形、全等三角形、勾股定理和三角函数的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、三角函数、直角三角形的性质，从而完成求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$