第02讲 二次函数应用（8个知识点+8种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 二次函数应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点4．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点5．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点6．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点8．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．待定系数法求二次函数解析式 1．（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，逐一判断即可． 【解答】解：．，顶点坐标为， 故不符合题意； ．；顶点坐标为， 故不符合题意； ．，顶点坐标为， 故不符合题意； ．，顶点坐标为， 故符合题意； 故选． 【点评】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题的关键． 2．（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是且开口向下的抛物线的解析式 　　． 【分析】由题意可以设函数解析式为，只要即可． 【解答】解：抛物线开口向下，顶点坐标为， ， 设函数解析式为， 只要取值即可； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数解析式的求法；熟练掌握二次函数解析式的顶点式，同时利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 3．（2024•鼓楼区三模）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点．点为线段上的一动点（不与点重合），连接、，将沿直线翻折得到△，交抛物线于另一点，连接． （1）抛物线的解析式 　　； （2）当时，求点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴于，过作轴于，由，，得，根据将沿直线翻折得到△，即得，四边形是矩形，有，而，得，可得，在中，令，得，即得，． 【解答】解：（1）把、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）过作轴于，过作轴于，如图： ，， ， 将沿直线翻折得到△， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，令得， ，． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造平行线转化比例线段． 题型二．二次函数的三种形式 4．（2023秋•虎丘区校级月考）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 【分析】可将的右边运用完全平方公式展开，再与比较，即可得出、的值． 【解答】解：， 又， ， ，． 故选：． 【点评】本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 5．（2022春•海安市校级月考）将二次函数化为的形式，则　　． 【分析】根据配方法进行整理即可得解． 【解答】解：， ， ． ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键． 题型三．抛物线与x轴的交点 6．（2024•高新区校级三模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 【分析】先把代入得出，再把代入，然后令，解方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为2， ， 解得， 把代入中， 得， 当时，， 即， ， ， 解得或， 二次函数与轴的交点坐标为和， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解一元二次方程直接开平方法，关键是解方程方法的应用． 7．（2024秋•昆山市期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点的下方），且，则的最小值是 　　． 【分析】将点向下平移1个单位的长度）得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移1个单位得到点，此时，的最小，即可求解． 【解答】解：由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：、， 设抛物线和轴的另外一个交点为点，将点向下平移1个单位的长度）得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移1个单位得到点，此时，的最小， 理由：点关于抛物线对称轴的对称点为，则，而且，则四边形为平行四边形，则， 则为最小， 则最小值， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 8．（2024•扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 【分析】（1）把，代入，解方程组求出，的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点坐标为，根据三角形的面积列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）把，代入得：， 解得； （2）由（1）知，二次函数解析式为， 设点坐标为， 的面积为6，， ， ， 即或， 解得或， 或． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． 题型四．图象法求一元二次方程的近似根 9．（2024秋•相城区校级月考）二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是　　 6.17 6.18 6.19 0.02 A． B． C． D． 【分析】根据函数的图象与轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个根的范围． 【解答】解：由表格中的数据看出和0.02更接近于0， 故应取对应的范围为：， 故选：． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 10．（射阳县一模）利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线　　和直线，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解．（结果保留两个有效数字） 【分析】（1）一元二次方程可以转化为，所以一元二次方程的解可以看成抛物线与直线交点的横坐标； （2）函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的近似解． 【解答】解：（1）； （2）图象如图所示： 由图象可得，方程的近似解为：，． 【点评】对于含有一个未知数的方程，我们可以借助学过的几种类型的函数的图象的交点近似地求解． 题型五．二次函数与不等式（组） 11．（2024春•江宁区月考）已知二次函数图象与一次函数的图象交于点、，点、的横坐标分别为、．下列结论：①若，则当时，；②若，则当或时，；③；④．其中正确结论的序号是　　 A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【分析】若时，画出大致函数图象，利用抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对①进行判断；若时，画出大致函数图象，利用抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对②进行判断；根据题意，、为方程的两根，方程整理为，于是利用根与系数的关系可对③④进行判断． 【解答】解：若时，如图1， 当时，，所以①正确 若时，如图2， 当或时，，所以②错误； 二次函数图象与一次函数的图象交于点、，点、的横坐标分别为、， 、为方程的两根， 方程整理为， 根据根与系数的关系得，， ，，所以③错误，④正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数的性质和根与系数的关系． 12．（2024•玄武区校级模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则根据对称轴方程可对①进行判断；利用时，可对②进行判断；根据二次函数的性质得到，则抛物线与直线有两个公共点，从而可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点问题得到方程的根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，解得，，然后写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：抛物线与轴的交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线， 即， ，所以①正确； 时，， ，所以②错误； 抛物线开口向上， ， 抛物线与直线有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根，所以③正确； 抛物线与轴的交点坐标为，， 方程的根为，， 对于方程有或， 即方程的解为，， 的开口向上， 当时，， 即不等式的解集是，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：把解一元二次不等式转化为比较亮函数值的大小，而比较函数值的大小可通过利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了二次函数的性质和抛物线与轴的交点问题． 13．（2024•滨海县校级模拟）如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求的值和抛物线的关系式； （2）求不等式的解集（直接写出答案）． 【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数解析式求得、的值即可得，将点坐标代入可得的值； （2）由函数图象中双曲线在直线上方时的范围可得． 【解答】解：（1）将点、代入解析式得： ， 解得：，， 则函数解析式为； 将点代入可得， 解得：； （2）由函数图象可知不等式的解集为或． 【点评】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系及待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 题型六．根据实际问题列二次函数关系式 14．（2024•梁溪区一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，分别交，于，，设交于，根据正方形的性质和相似三角形的判定的得出，从而求出，设，则，由，得出，然后有三角形的面积公式得出与的关系式． 【解答】解：过点作，分别交，于，，设交于，如图： 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列函数解析式，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是对这些知识的掌握和运用． 15．（工业园区期中）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　． 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是，并且过，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可． 【解答】解：设， 因为抛物线过， 所以代入得： ， 解得， 故此抛物线的函数关系式为： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键． 题型七．二次函数的应用 16．（2021春•沭阳县月考）已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为　　 A． B． C． D． 【分析】将关系式是转化为顶点式就可以直接求出结论． 【解答】解：， ， 顶点坐标为， 到达最高处的时间为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键． 17．（2024•南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米关于滑行的时间（秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行 　　秒才能停下来． 【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值． 【解答】解：由题意得， ， ， 时，飞机滑行的距离最大， 即当秒时，飞机才能停下来． 故答案为：20． 【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键． 18．（2024•无锡模拟）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【分析】（1）这个矩形地块的长为米，根据矩形的面积列出函数解析式即可； （2）根据函数的性质求函数最值． 【解答】解：（1）这个矩形地块的长为米，则长为米， 根据题意得：， 关于的函数表达式为； （2）， ，每段栅栏不可分割， 当时，有最大值，最大值为11248， 答：当时，所围矩形土地的面积最大为11248平方米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系列出函数解析式是解题的关键． 题型八．二次函数综合题 19．（2024•泗阳县模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；⑤点是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可； ②正确，利用对称轴公式，可得，可得结论； ③错误，应该是时，随的增大而增大； ④正确，判断出，可得结论； ⑤正确，设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， 观察图象可知，当时，随的增大而减小，故③错误， 一次函数的图象经过点， ， ，此时在第四象限，故④正确． 抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 20．（2022•广陵区二模）如图，分别过点，、2、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则　　． 【分析】根据函数图象上的坐标的特征求得、、，；、、，；然后由两点间的距离公式求得，，，；最后将其代入求值即可． 【解答】解：根据题意，知、、、的点都在函与直线、2、、的图象上， 、、、的点都在直线与直线、2、、图象上， 、、，； 、、，； ， ， ， ； ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和． 21．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，已知，． （1）求抛物线的表达式，并求出点的坐标． （2）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． （3）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点作直线交轴于点，得到直线的表达式为：，即可求解；过点作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则（舍去）或， 即； （2）过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ，故当时，面积最大， 此时点； （3）由（2）知，直线的表达式为：， 过点作直线交轴于点， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点下方取点，使，则点， 过点作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点，或，， 综上，点的坐标为：或，或，． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由根与系数的关系求得AB的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据列出关于的方程，解方程即可 【详解】令，则ax2﹣4ax+3＝0， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝， ∴AB＝|x1﹣x2|＝， 令x＝0，y＝3， ∴OC＝3， ∴S△ABC＝AB•OC＝， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点的问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程跟与系数的关系是解题关键． 2．如图，是二次函数的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，， 所以．故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则．故②正确． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以， 则．故③正确． 因为时，函数值小于零，且抛物线的对称轴为直线， 所以时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以．故④正确． 故选：D． 3．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是（　　）m．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题目所建坐标系可知，将代入抛物线解析式中，求出x的值，再结合图象即可选择． 【详解】当时， ， 解得：， 结合图象可知，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题关键是结合图形确定的值． 4．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数的最大值为1 D．函数的图象与坐标轴有2个交点 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与y轴的交点坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的顶点式、二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故A选项正确； ∵，即抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 当时，y取最大值，最大值为2，故C选项错误； ∵， ∴函数的图象与x轴有两个交点， 当时，，即函数的图象与y轴有一个交点为， ∴函数的图象与坐标轴有3个交点，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数顶点式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为点 D，则：①；②的面积为；③当时，若点，在图象上，则；上述结论正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】该题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是确定顶点坐标和与轴交点． 根据解析式先确定顶点，和与轴交点，即可确定①②，再根据函数开口方向和对称轴确定③； 【详解】∵， ∴顶点，故①正确； 令，则， 解得：， ， ，故②错误； 对称轴为，当时，离对称轴越近值越大， ∵， ∴，故③错误； 故选：B． 6．如图1，一张边长为、（为正整数）的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，可以取得的最小整数是(    ) A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用长方形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ． ，且， 当时，随的增大而增大， 当时，可以取得最小整数，此时． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，根据各数量之间的关系，找出k关于a的函数关系式是解题的关键． 7．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③． 【详解】解：根据题意得：，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为， 墙长为，， 解得， 的取值范围为，故②错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误． 故选：D． 8．如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P、Q同时从点C出发，点P沿运动到点B时停止，点Q沿折线运动到点B时停止，它们运动的速度都是，设P、Q同时出发t秒时，的面积为，则y与t的函数关系图象大致是图中的（    ）    A．   B．    C．   D．   【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分类讨论：①当，即点P在线段上，点Q在线段上；②当，即点P在线段上，点Q在线段上时；③，即点P在线段上，点Q在线段上时；④当，即点P在线段上，且与点B重合，点Q在线段上时；这四种情况下的函数图象，根据函数图象的性质进行判断． 【详解】解：①当，即点P在线段上，点Q在线段上，则，此时该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故D选项是错误； ②当，即点P在线段上，点Q在线段上时， ，该函数图象是y随x增大而增大的直线的一部分，故A选项是错误； ③，即点P在线段上，点Q在线段上时；，此时该函数图象是开口向下的抛物线，故C选项是错误； ④当，即点P在线段上且与点B重合，点Q在线段上时，，该函数图象是直线的一部分，故B正确； 综上所述，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围． 9．已知二次函数的与的部分对应值如下表： … －1 0 1 2 … … 0 3 4 3 … 则下列关于该函数的判断中不正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线对称轴为直线 C．当时的函数值小于时的函数值 D．当时， 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由表格知抛物线过点（-1，0），（0，3），（1，4）可求，由，抛物线开口向下，可判定A ，是抛物线对称轴，可判断B由 ，，函数值 ，可判断C ，当时，函数图像在x轴上方可判断D即可． 【详解】解：由表格知抛物线过点（-1，0），（0，3），（1，4）， 代入抛物线得， 解得， ， ，抛物线开口向下， ∴A选项正确，不符合题意， ∵是抛物线对称轴， ∴B选项正确，不符合题意， ∵，，，，， ∴C选项不正确，符合题意， ∵当时，函数图像在x轴上方，故， ∴D选项正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查二次函数性质，掌握从表格获取信息的能力，待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 10．已知如图：抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，，其中正确结论是（    ） ①；②点、及都在上，则；③，则；④． A．②④ B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据题意得：抛物线与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则，根据，可得，从而得到，进而可得，进而得到点，继而得到，故①错误；根据点关于对称轴的对称点为，且，可得，故②正确；根据，可得或，故③错误；分别求出点，，可得，故④正确． 【详解】解： 根据题意得：抛物线与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则， ，， ， ， ， ， ， 点， ， 解得： ， ， 轴， 点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， 点， 把点代入，得： ， 解得： ，故①错误； ，且对称轴为直线， 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小， ，，， ， 点关于对称轴的对称点为， ，故②正确； ， ， ， ， 整理得：， 解得：或，故③错误； ，， 当时，，， ∴点，， ，故④正确； 正确的有②④． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，涉及到求抛物线的对称轴、比较函数值大小、求二次函数的解析式等，综合性较强，有一定难度，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题 11．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为 米时，花圃的面积有最大值，最大值是 ． 【答案】 8 128平方米/128m2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、列二次函数关系式 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x) 米，根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，然后求出面积的最大值，即可求解． 【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32 - 2x)米，设矩形的面积为S，则S 关于x的函数关系式为： S= (32 - 2x)x =-2x2+ 32x =-2(x-8)2+ 128， 当x = 8时，S有最大值，最大面积为128； （当垂直于墙的一边长为8米，则平行于墙的一边长为32-2x=16米，符合题意） ∴当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128平方米． 故答案为：8；128． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出二次函数，利用二次函数的性质求解． 12．已知二次函数的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 … … 2 5 5 … 下列结论：①点B的坐标是；②这个函数的最大值大于5；③有一个根在4与5之间；④当，时，．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】②③④ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解． 【详解】解：将，代入得， 解得， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴这个函数的最大值大于5， ②正确． 当时，， ∴点坐标为， ∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称， 点坐标为，①错误． 对于， ∵当时，，当时，， ∴与x轴有一个交点在4与5之间， ∴方程有一个根在4与5之间，故③正确； ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 13．若抛物线与轴只有一个交点，且过点，则＝ ． 【答案】9. 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【详解】试题分析：首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-时，y=0．且b2-4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（--3，n），B（-+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（--3）2+b（--3）+c=-b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值． 试题解析：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=-时，y=0．且b2-4c=0，即b2=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n）， ∴点A、B关于直线x=-对称， ∴A（--3，n），B（-+3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（--3）2+b（--3）+c=-b2+c+9 ∵b2=4c， ∴n=-×4c+c+9=9． 考点：抛物线与x轴的交点． 14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点为A、B，则它们与顶点C形成的△ABC形状一定为 ． 【答案】等腰三角形． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据二次函数图象抛物线与x轴两个交点以及对称性即可解答. 【详解】解：∵二次函数图象抛物线与x轴两个交点A、B关于对称轴对称，顶点C在对称轴上， ∴△ABC形状一定为等要三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，理解若抛物线与x轴两个交点及其关于对称轴对称是解答此题的关键. 15．某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，每件的售价应为 元． 【答案】 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（40﹣x）=﹣（x﹣35）2+25． ∵30≤x≤40，∴当x=35时，二次函数有最大值25． 故答案为35． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 16．二次函数（a，b为常数）的图象如图所示，设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据题意得出方程的根即为二次函数的图象与直线的交点横坐标，结合函数图象得出当直线与二次函数在x轴下方图象相交时，满足，均小于0，，再考虑临界条件，然后求解即可． 【详解】解：由可得，， 方程的根即为二次函数的图象与直线的交点横坐标， 当直线与二次函数在x轴下方图象相交时，满足，均小于0， 则， 特殊的，当时， ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用图象法求解未知数的取值范围，理解题意，将方程变形为两个函数的交点问题是解题关键． 17．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 ． 【答案】4 【知识点】判断点与圆的位置关系、与三角形中位线有关的求解问题、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解． 【详解】解：令0＝x2﹣3，则x＝±3， 故点B（﹣3，0）， 设圆的半径为r，则r＝3， 连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线， 当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大， 则OM＝BP＝（BC＋r）＝＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线． 18．如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、圆的周长和面积问题、图形问题(实际问题与二次函数) 【详解】解：∵抛物线m经过点和，∴抛物线m的对称轴为直线，∵抛物线通过平移得到抛物线m，∴设抛物线m的解析式为，将代入，得，解得，∴抛物线m的解析式为，顶点A的坐标为，连接、，如解图，由勾股定理得.由圆的对称性或垂径定理，可知点C的坐标为，∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积.    三、解答题 19．抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交点坐标为C（0，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）6 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入，解得， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3）， 所以△ABC的面积＝×4×3＝6． 故答案为（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）6. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 20．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量． (1)若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？ (2)每件商品降价多少元时日利润最大？ 【答案】(1)40元 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是： （1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）根据（1）列出的方程求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 每件售价应定为（元）． 答：每件售价应定为40元． （2）设日利润元，每件降价元． 当时，最大，此时（元） 答：每件商品降价10元时日利润最大． 21．某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克设水果店一天的利润为W元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)平均每年的增长率为 (2)当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）设这种水果去年到明年每田产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设这种水果去年到明年每亩产平均每年的增长率为， 由题意，得：， 解得：(舍去)． 答：平均每年的增长率为； （2）设每千克的平均销售价为元，由题意得： 当时，w有最大值为2450， 答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元． 22．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)． 【答案】门的高度约为9.1m 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长． 【详解】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得，即， 门的高度约为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 23．如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为，顶点坐标，又由对称性可得，即得，可知当点三点共线时，最短，最短值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点的坐标，最后利用三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了用待定系数法求函数解析式，轴对称最短线段问题，三角形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∵点在抛物线的对称轴上，点关于对称轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，最短，最短值为的长， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．已知抛物线与x轴交点A(1,0)，B(-3,0)与y轴交点B(0,3)，如图1所示，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1若R为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 (3)在x轴上取一动点P（m,0），，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示,求证EF=EP. (4)设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使直接写出点T的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：． (2)． (3)，，证明见解析. (4)T的坐标． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式即可． （2）由的值最小，可知RB为等腰直角三角形的斜边长，当AR与等腰直角三角形的一边在一条直线上时，最短，从而求解． 【详解】（1）根据题意得： 解得： 则抛物线的解析式是：． （2）如图1中，作于H ∵OB=OC=3， ∴， 在中， ∴ ∴当H、R、A共线时，的值最小， 此时, ∴, ∴的最小值为 ． （3）如图2中， ∴， 则D的坐标是 设直线BC的解析式是，则，解得：， 则直线BC的解析式是同理，直线CD的解析式是． ∵动点P(m,0)在x轴上，−3<m<−1，且PF⊥x轴． ∴点，点即，， ， ∴EF=EP． （4）如图3中， 延长AB交MN于T，连接TC ∵MN垂直平分线段AC， ∴TC=TA ∴，即 ∵直线AB的解析式为 ∴x=1时，y=6， ∴T的坐标． 【点睛】本题考查了垂线的性质及应用、待定系数法求一次函数解析式，巧用二次函数对称性解决问题． 25．小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：(，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象． (1)直接写出z关于x的函数关系式； (2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式； (3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低而日销售量就比9月30日提高了(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：，，) 【答案】25．(1)由图像知，当1≤x≤20时，设z＝kx＋b则有 当20＜x≤30时z＝45 (2)当1≤x≤20时， ＝-x2＋10x＋1200 当20＜x≤30时， W＝yz－20y＝45(－2x＋80)－20(－2x＋80) ＝－50x＋2000 (3)9月30日的价格为45元，日销售量为20个 9月份当1≤x≤20时日销售利润为 W＝－x2＋10x＋1200＝－(x2－10x＋25)＋1225＝－(x－5)2＋1225 当9月5日时日利润最大为1225元． 当20＜x≤30时，利润为W＝－50x＋2000， 当x增加时W减小，故为x＝21时最大．最大日销售利润为950元 综上9月份日销售利润最大为1225元． 由题意得45(1－a%)·20(1＋6a%)－20×20(1＋6a%)＝1225－569 化简得18a2－700a＋5200＝0 a1＝10， 答：a的值为10． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、因式分解法解一元二次方程 【详解】考点：二次函数的应用． 分析：（1）根据图象得出销售价格z与销售时间x（天）的关系为一次函数关系进而求出即可； （2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而求出函数关系式即可； （3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函数的最值求法以及一次函数的增减性，得出9月份日销售利润最大为1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）?20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569进而求出a的值即可． 解：(1)由图像知，当1≤x≤20时，设z＝kx＋b则有 当20＜x≤30时z＝45 (2)当1≤x≤20时， ＝-x2＋10x＋1200 当20＜x≤30时， W＝yz－20y＝45(－2x＋80)－20(－2x＋80) ＝－50x＋2000 (3)9月30日的价格为45元，日销售量为20个 9月份当1≤x≤20时日销售利润为 W＝－x2＋10x＋1200＝－(x2－10x＋25)＋1225＝－(x－5)2＋1225 当9月5日时日利润最大为1225元． 当20＜x≤30时，利润为W＝－50x＋2000， 当x增加时W减小，故为x＝21时最大．最大日销售利润为950元 综上9月份日销售利润最大为1225元． 由题意得45(1－a%)·20(1＋6a%)－20×20(1＋6a%)＝1225－569 化简得18a2－700a＋5200＝0 a1＝10， 答：a的值为10． 26．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；② (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可； ②根据平移的特点求出点B的坐标即可； （2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设点，，求出，求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； （3）解：设， 由（1）②可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点，， 则有， 解得， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴h的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点4．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点5．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点6．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点8．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．待定系数法求二次函数解析式 1．（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为　　 A． B． C． D． 2．（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是且开口向下的抛物线的解析式 　　． 3．（2024•鼓楼区三模）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点．点为线段上的一动点（不与点重合），连接、，将沿直线翻折得到△，交抛物线于另一点，连接． （1）抛物线的解析式 　　； （2）当时，求点的坐标． 题型二．二次函数的三种形式 4．（2023秋•虎丘区校级月考）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 5．（2022春•海安市校级月考）将二次函数化为的形式，则　　． 题型三．抛物线与x轴的交点 6．（2024•高新区校级三模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为　　 A．、 B．、 C．、 D．、 7．（2024秋•昆山市期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点的下方），且，则的最小值是 　　． 8．（2024•扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 题型四．图象法求一元二次方程的近似根 9．（2024秋•相城区校级月考）二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是　　 6.17 6.18 6.19 0.02 A． B． C． D． 10．（射阳县一模）利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线　　和直线，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解．（结果保留两个有效数字） 题型五．二次函数与不等式（组） 11．（2024春•江宁区月考）已知二次函数图象与一次函数的图象交于点、，点、的横坐标分别为、．下列结论：①若，则当时，；②若，则当或时，；③；④．其中正确结论的序号是　　 A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 12．（2024•玄武区校级模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 　　． 13．（2024•滨海县校级模拟）如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求的值和抛物线的关系式； （2）求不等式的解集（直接写出答案）． 题型六．根据实际问题列二次函数关系式 14．（2024•梁溪区一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 15．（工业园区期中）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　． 题型七．二次函数的应用 16．（2021春•沭阳县月考）已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为　　 A． B． C． D． 17．（2024•南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米关于滑行的时间（秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行 　　秒才能停下来． 18．（2024•无锡模拟）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 题型八．二次函数综合题 19．（2024•泗阳县模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若一次函数的图象经过点，则点在第四象限；⑤点是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2022•广陵区二模）如图，分别过点，、2、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则　　． 21．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，已知，． （1）求抛物线的表达式，并求出点的坐标． （2）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． （3）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（　　） A． B． C．﹣1 D．1 2．如图，是二次函数的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是（　　）m．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数的最大值为1 D．函数的图象与坐标轴有2个交点 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为点 D，则：①；②的面积为；③当时，若点，在图象上，则；上述结论正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图1，一张边长为、（为正整数）的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，可以取得的最小整数是(    ) A． B． C． D．3 7．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 8．如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P、Q同时从点C出发，点P沿运动到点B时停止，点Q沿折线运动到点B时停止，它们运动的速度都是，设P、Q同时出发t秒时，的面积为，则y与t的函数关系图象大致是图中的（    ）    A．    B．    C．   D．   9．已知二次函数的与的部分对应值如下表： … －1 0 1 2 … … 0 3 4 3 … 则下列关于该函数的判断中不正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线对称轴为直线 C．当时的函数值小于时的函数值 D．当时， 10．已知如图：抛物线与交于点，分别交轴于点，，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．已知，，其中正确结论是（    ） ①；②点、及都在上，则；③，则；④． A．②④ B．①③ C．②③ D．③④ 二、填空题 11．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为 米时，花圃的面积有最大值，最大值是 ． 12．已知二次函数的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 … … 2 5 5 … 下列结论：①点B的坐标是；②这个函数的最大值大于5；③有一个根在4与5之间；④当，时，．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 13．若抛物线与轴只有一个交点，且过点，则＝ ． 14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点为A、B，则它们与顶点C形成的△ABC形状一定为 ． 15．某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，每件的售价应为 元． 16．二次函数（a，b为常数）的图象如图所示，设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则实数m的取值范围为 . 17．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段PA的中点，连接OM．则线段OM的最大值是 ． 18．如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．    三、解答题 19．抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交点坐标为C（0，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积． 20．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．商家想尽快销售完该款商品，采取降价措施增加销量． (1)若日利润保持不变，每件售价应定为多少元？ (2)每件商品降价多少元时日利润最大？ 21．某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克． (1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少； (2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克设水果店一天的利润为W元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？ 22．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)． 23．如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 24．已知抛物线与x轴交点A(1,0)，B(-3,0)与y轴交点B(0,3)，如图1所示，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1若R为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 (3)在x轴上取一动点P（m,0），，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示,求证EF=EP. (4)设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使直接写出点T的坐标． 25．小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：(，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象． (1)直接写出z关于x的函数关系式； (2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式； (3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低而日销售量就比9月30日提高了(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：，，) 26．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$