专题08 线段和角的动态问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题08 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 7 类型三、线段上动点求时间问题 11 类型四、线段上动点的新定义型问题 14 类型五、几何图形中动角求定值问题 18 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 22 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 26 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 31 压轴能力测评（12题） 36 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【变式训练2】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【变式训练1】（23-24七年级上·江西吉安·期末）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 二、填空题 3．（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 三、解答题 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 6．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 8．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 10．（22-23七年级上·河南驻马店·期末）线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 11．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 7 类型三、线段上动点求时间问题 11 类型四、线段上动点的新定义型问题 14 类型五、几何图形中动角求定值问题 18 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 22 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 26 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 31 压轴能力测评（12题） 36 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为4或 (3)当时，的值为4或或8或 【知识点】数轴上的动点问题、化简绝对值、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，一元一次方程的应用，解题关键是分类讨论，找出等量关系，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答． （1）由题意可知，，结合可得答案； （2）设点表示的数为，根据题意可得，分三种情况当时，当时，当时，分别化简绝对值，解方程求解即可； （3）设点表示的数为，则，，由题意知，根据，得，分当时，当时，当时，三种情况解方程即可， 根据，则，再将求得的x代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点为数轴上表示数2的点，点M表示的数为， ∴，， 则， ∴， 故答案为：； （2）设点表示的数为，则， ∵，，即： ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：，不符合题意， 综上，点表示的数为4或； （3）设点表示的数为，则，， 则， ∵点为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，，此时无解， ∵， 则， 当时，；当时，；当时，；当时，； 综上，当时，的值为4或或8或． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)； (2)点表示的数为或； (3)不发生变化，图见解析，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）本题根据数轴上两点之间的距离算出，利用，得到的长，利用数轴上两点之间的距离，即可解题． （2）本题根据，可判断点不在线段上，设点表示的数为，则可分两种情况进行分析：点在左侧或点在右侧，分别表示出后，根据建立等式求解，即可解题； （3）本题根据点为数轴上的动点，分为以下三种情况，①点在点的左侧，②点在之间，③点在点右侧，利用中点求出线段、的长度，根据图形分析表示出的长度，即可解题． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， ， ， 又点在点的右侧， 点表示的数为， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为， ， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ． 解得． 综上所述，点表示的数为或． （3）解：的长度不发生变换，理由如下： ①点在点的左侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ②点在之间， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ③点在点的右侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，线段中点的定义、一元一次方程的应用、线段的和差，解题关键是根据数轴表示出线段的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【变式训练2】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，根据情况分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8； （2）由（1）分析可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、两点间的距离、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由题意列出方程并求解即可； （2）分两种情况：①    当点M未追上点N时；②    当点M追上点N后，分别列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：， ∴当点追上点时， 的值为； （2）当点未追上点时，，得； 当点追上点后，，得； 综上，当或时，点M与N相距． 【点睛】本题考查线段上动点问题，一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键． （1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长； （2）①点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可； ②分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时， 当点向左运动时，．解得． 当点向右运动时，．解得． 答：当或时，点与点重合． ②当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得； 当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得． 综上所述，满足条件的有：或或或． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)或3或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据美好点的定义即可求解； （2）根据美好点的定义，分三种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据题意得∶， 此时，故点E不是美好点； ， 此时，故点F不是美好点； ， 此时，故点G是美好点； 故答案是：G． 设点H所表示的数是x，则， ∵点H为美好点， ∴， ∴， 解得：或； 故答案是：或． （2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1， ∵，， ∴， ∴秒； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2， ∵，， ∴， ∴秒； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3， ∵，， ∴， ∴秒； 综上所述，t的值为：或3或9． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西吉安·期末）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)，，0，2 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的解一元一次方程和线段中点计算， 根据给定的定义列出方程求解即可； 设线段的运动时间为t秒，表示出点A、点B和点X的坐标，根据题意列出方程求解即可； 根据题意列出关于m的方程，化简为，结合m为整数，求得k值即可． 【详解】（1）解：∵点是点关于原点的“星点”， ∴， ∵， ∴，解得； ∵若点是点关于点的“星点”， ∴，解得， 故答案为：，； （2）设线段的运动时间为t秒，则点A的坐标为，点B得坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点X的坐标为， ∵点是点关于点2的“−2星点”， ∴，解得， ∴线段的运动8秒时，使得点是点关于点2的“−2星点”； （3）∵点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”， ∴，整理得， ∵点表示为整数， ∴当m为、、1和3时，、2、和， 则的值为，，0，2． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）根据角平分线的定义得出：， ，然后代入求值即可； （3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【答案】(1)19，38 (2)正确，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了角平分线的相关计算． （1）根据平分线定义求出，则，再利用角平分线定义求出，即可求出； （2）证明，，则，即可证明一定平分． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线．， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）正确，理由如下 ∴， ∴ 平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∴平分. 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差运算，解题的关键在于能够熟练掌握线段中点的定义．如图所示，先根据线段中点的定义得到，，再由即可得到答案． 【详解】解：如图所示，    ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选B． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 二、填空题 3．（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 三、解答题 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． （1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系； 【详解】（1）解： ，， ， ， 又射线平分， ， ； 故答案为：，； （2）解：；理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 即； 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 8．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 10．（22-23七年级上·河南驻马店·期末）线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)4 (2)①不变，4；②4.2或5.8 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：因为 所以 因为为的中点． 所以，因为， 所以 （2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 因为 所以线段的长度不会发生变化，． ②或． 提示：当点在点的左侧时，如图1所示。 因为， 所以． 由①知． 所以． 当点在点的右侧时，如图2所示． 因为． 所以 由①知，所以 综上所述，当时，线段的长为或． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 11．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②，理由如下： ， ； （2），， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 12．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$