高二数学期末模拟卷（北京专用，人教A版2019选一全部+选二数列）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知经过点    1,2 , , 4A B m 的直线 l的斜率为 2，则m的值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点    0,1, 2 , 2,3,1A B  ，则 A B､ 两点间的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．已知直线 0x y  与圆 2 2: ( 2) 8C x y   相交于 ,A B两点，则 AB （ ） A．2 6 B．4 C． 6 D．2 4．已知直线 l的一个方向向量为 (2, 3,1)a    ，平面 的一个法向量为 (3,1, 3)n    ，则直线 l与平面 的关系 是（ ） A． l P  B． l  C． / /l  D． l  或 / /l  5．“ 0a  ”是“直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点 (2,0)A 与 (0,4)B 关于直线 0ax y b   对称，则a b （ ） A． 4 B． 2 C．0 D．3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c       ，点M 在OA  上，且满足 2OM MA   ，点N 为 BC的 中点，则MN   （ ） A． 1 2 1 2 3 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 1 1 1 2 2 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    8．已知离心率为 3 的双曲线 2 2 2 1 y x m   与椭圆 2 2 2 1 12 x y n   有相同的焦点，则 2 2m n （ ） A．13 B．21 C．29 D．31 9．已知无穷等比数列 na 的前n项和为 nS ，且 3 5 0a a  ，则下列说法正确的是（ ） A． nS 是递增数列 B． nS 是递减数列 C． nS 一定有最大值 D． nS 一定有最小值 10．如图所示，点F 是抛物线 2 4y x 的焦点，点 ,A B分别在抛物线 2 4y x 及圆  2 21 16x y   的实线部分 上运动，且𝐴𝐵总是平行于 x轴，则 FAB 的周长的取值范围是（ ） A． 8,10 B．  5,8 C．  10,12 D．  8,10 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．准线为 1x   的抛物线的标准方程是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 12．已知圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，则实数a的取值是 . 13．已知数列 na 的前n项和公式为 3 2nnS   ，则 1a  ；数列 na 的通项公式 na  . 14．设O为原点，双曲线 2 2: 1 3 y C x   的右焦点为F ，点 P在C的右支上．则C的渐近线方程是 ； | | OP OF OP     的最大值是 ． 15．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点M ，N 分别在线段 1AD 和 1 1BC 上．给出下列四个结 论：其中所有正确结论的有 ①．MN的最小值为 2 ②．四面体NMBC的体积为 4 3 ③．有且仅有一条直线MN与 1AD 垂直 ④．存在点 ,M N ，使 MBN△ 为等边三角形 三、解答题：本题共 5 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 16．（本小题 14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 平面 ABCD， 2PA AB  ． (1)求证： / /AD 平面PBC ； (2)求直线BD平面 PCD夹角的正弦值； (3)求点 B到平面 PCD的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 17．（本小题 14 分）已知 na 是各项均为正数的等比数列， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 33a 成等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 na n 的前n项和 nS ． 18．（本小题 13 分）已知圆C经过点  2,3A  和  0,1B ，且圆心C在直线 1 0x y   上. (1)求圆C的方程； (2)过点  1,3P  的直线 l与圆C相交于M ，N 两点，若 2 3MN  ，求直线 l的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（本小题 14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，四边形 1 1AAC C是边长为 4 的正方形.再从条件①､条 件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证： AB 平面 1 1AAC C； (2)求直线 1BC 与平面 1ABC所成角的正弦值； (3)设M 是 1 1AC 的中点，棱 1BB 上是否存在点G，使得MG∥平面 1ABC？若存在，求线段BG的长；若不存 在，说明理由. 条件①： 1 2 5BC BA  ； 条件②： 1 1BC AC ； 条件③：平面 ABC 平面 1 1AAC C . 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（本小题 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的左顶点为  3 0A  , ，右顶点为  3,0B ，椭圆上不同 于点 ,A B的一点 P满足 4 9PA PB k k   . (1)求椭圆C的方程； (2)过点  2,0 的直线 l交椭圆C于M N､ 两点，直线 AM BN､ 交于点Q，证明：点Q在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 21．（本小题 15 分）设 rN 且 3r  ，数列 na 的各项均为整数，其前 n项和为 nS 、定义：若 na 满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列，从第 1r  项起往后依次成公比为 2 的等比数列，则称 na 为“r关联数列”； (1)若 na 为“3 关联数列”，求 1a ； (2)若 na 为“6 关联数列”，证明：对任意正整数 n，都有 6 6n na S a S ； (3)设 k、m为正整数且 k m ．若 na 为“r关联数列”，且 1 10a   ，是否存在 k、m，使得 k mS S ?若存在， 求出所有满足条件的 k、m；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 2．已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】由题意， 故选：B． 3．已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦的长 故选：A 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，直线为，直线为，两直线重合； 当直线与直线平行时，， 解得或，而时，两直线重合， 当时，直线为，直线为，两直线平行， 因此直线与直线平行时，，则， 所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 7．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意 ， 又， . 故选：B 8．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【详解】由题意解得，所以． 故选：C． 9．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数， ，而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 10．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．准线为的抛物线的标准方程是 【答案】 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为： 12．已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【答案】 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 13．已知数列的前项和公式为，则 ；数列的通项公式 . 【答案】 ； 【详解】在中，令中，得； 当时，，显然不适合， 因此数列的通项公式， 故答案为：； 14．设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的最大值是 ． 【答案】 【详解】由可得，，故，， 则其渐近线方程为； 设，则，， ，由点在双曲线上，故，即， 故 ，由，故. 故答案为：；. 15．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的有 ①．的最小值为2 ②．四面体的体积为 ③．有且仅有一条直线与垂直 ④．存在点，使为等边三角形 【答案】①②④ 【详解】对于①： 因为是正方体， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，，即是与的公垂线段， 因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离， 所以当分别与重合时，最短为2，故①正确； 对于②： 因为是正方体， 所以平面平面，且平面， 所以平面， 可知，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离， 由可知，当点在上运动时，到的距离不变， 所以的面积不变， 所以，所以②正确； 对于③： 当分别与重合时，； 当为中点，与重合时，，所以③错误； 对于④：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， ， ， ， 因为为等边三角形， 由， 得，得，即， 由，得， 则，即，解得或， 即或，故④正确； 故选：①②④．    三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【详解】（1）因为底面为正方形，所以，...............................2分 因为平面，平面，...............................3分 所以平面；...............................4分 （2）因为平面，平面， 所以，...............................5分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，...............................6分 设平面的法向量为， 则，...............................7分 令，则，则，...............................8分    直线平面夹角的正弦值为；...............................10分 （3）由（2）知，平面的法向量为，...............................11分 点到平面的距离为................................14分 17．（本小题14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则，...............................4分 即，解得或（舍去），...............................6分 所以的通项公式为................................8分 （2）由（1）可知：，...............................10分 则 ，...............................13分 所以................................14分 18．（本小题13分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为，线段的中点为，...............................2分 线段的中垂线方程为，即，..............................4分 联立，解得，..............................6分 所以圆心，半径，...............................7分 故圆的方程为；...............................8分 （2）设圆心到直线的距离为， 由，解得，...............................9分 当直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 直线的方程为，即，...............................10分 由，解得，故直线的方程为................................12分 综上，直线的方程为或................................13分 19．（本小题14分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 【详解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面，...............................2分 又因为平面，所以，，所以，...............................3分 又因为，所以，平面，，...............................49分 所以平面；...............................5分 （2） 由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，则，...............................6分 故，，设平面的方向量为， 则，即，...............................8分 令，得，故，设直线与平面所成角为， 则，...............................9分 故直线与平面所成角的正弦值为；...............................10分 （3） 假设存在设点，使得平面，则， 因为平面，所以，，...............................11分 所以，，...............................13分 解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时................................14分 20．（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为................................5分 （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示：    设点，可设直线的方程为：，...............................6分 联立，得，...............................7分 由根与系数的关系，，...............................8分 直线的方程：，①...............................9分 直线的方程：，②...............................10分 ①②得，...............................11分 因为，...............................12分 所以，解得，...............................14分 因此，点在定直线上................................15分 解法二（齐次化）： 由题意如图所示：    设不过点的直线的方程为：，...............................6分 由于直线过，所以................................79分 设，点................................8分 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即，...............................10分 即，由根与系数的关系，，...............................12分 又由题意可得：，所以两式相除得：，...............................13分 即，解得，...............................14分 所以点在定直线上................................15分 21．（本小题15分）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列，...............................2分 则而且，解得...............................4分 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：，...............................5分 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有，...............................7分 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有；...............................9分 （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：，...............................10分 而当时，， 当时， ， 所以，...............................11分 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：，...............................12分 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，，...............................15分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知经过点    1,2 , , 4A B m 的直线 l的斜率为 2，则m的值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为经过点    1,2 , , 4A B m 的直线 l的斜率为 2， 所以 1m  ，且 4 2 2 1   m ，解得 2m  . 故选：D. 2．已知空间两点    0,1, 2 , 2,3,1A B  ，则 A B､ 两点间的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】由题意 2 2 2( 2 0) (3 1) (1 2) 3AB         ， 故选：B． 3．已知直线 0x y  与圆 2 2: ( 2) 8C x y   相交于 ,A B两点，则 AB （ ） A．2 6 B．4 C． 6 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】A 【详解】圆 2 2: ( 2) 8C x y   的圆心 (0,2)C ，半径 2 2r  ， 圆心C到直线 0x y  的距离 2 2 1 1   ， 则弦 AB的长    2 22 2 2 2 2 6AB    故选：A 4．已知直线 l的一个方向向量为 (2, 3,1)a    ，平面 的一个法向量为 (3,1, 3)n    ，则直线 l与平面 的关系 是（ ） A． l P  B． l  C． / /l  D． l  或 / /l  【答案】D 【详解】因为 (2, 3,1) (3,1, 3) 6 3 3 0a n           ， 所以a n   ，则 l  或 / /l  . 故选：D 5．“ 0a  ”是“直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当 0a  时，直线 2 1 0x ay   为 1 0x   ，直线 0( 1) 1a x ay    为 1 0x   ，两直线重合； 当直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行时， 2 ( 1) 0a a a   ， 解得 0a  或 1 2 a  ，而 0a  时，两直线重合， 当 1 2 a  时，直线 2 1 0x ay   为 1 0x y   ，直线 0( 1) 1a x ay    为 2 0x y   ，两直线平行， 因此直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行时， 2 ( 1) 0a a a   ，则 1 2 a  ， 所以“ 0a  ”是“直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．已知点 (2,0)A 与 (0,4)B 关于直线 0ax y b   对称，则a b （ ） A． 4 B． 2 C．0 D．3 【答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】由题可知，线段 AB的中点  1,2 在直线上，即 2 0a b   ， 所以 2a b   ， 故选：B． 7．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c       ，点M 在OA  上，且满足 2OM MA   ，点N 为 BC的 中点，则MN   （ ） A． 1 2 1 2 3 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 1 1 1 2 2 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    【答案】B 【详解】由题意 1 1 3 2 MN MA AB BN OA OB OA BC               2 1 1 3 2 2 OA OB OC OB         2 1 1 3 2 2 OA OB OC       ， 又 , ,OA a OB b OC c       ， 2 1 1 3 2 2 MN a b c        . 故选：B 8．已知离心率为 3 的双曲线 2 2 2 1 y x m   与椭圆 2 2 2 1 12 x y n   有相同的焦点，则 2 2m n （ ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【详解】由题意 2 2 2 1 3, 1 12, m m n        解得 2 2 8 21 m n     ，所以 2 2 29m n  ． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．已知无穷等比数列 na 的前n项和为 nS ，且 3 5 0a a  ，则下列说法正确的是（ ） A． nS 是递增数列 B． nS 是递减数列 C． nS 一定有最大值 D． nS 一定有最小值 【答案】D 【详解】设等比数列 na 的公比为q，由 3 5 0a a  ，得 2 41 1 0a aq q  ，则 21 0,0 1a q   ， 对于 AB，当 1 0q   时， 2 1 20, 0n na a   ，则 2 1 2 2 1 2,n n n nS S S S   ，数列 nS 不单调，AB 错误； 对于 C，当0 1q  时， 0na  ， nS 是递增数列，无最大值，C 错误； 对于 D，当0 1q  时， 1 1nS S a  ；当 1 0q   时， 1 (1 ) 1    n n a q S q ， 若 n为奇数， 1 1(1 | | ) 1 1 n n a a S q q q      ；若n为偶数， 1 (1 | | ) 1 n n a S q q    21 1(1 | | ) (1 )1 a q a q q      ，而 2 1 1 1(1 ) 01 1 a a q a q q q       ， 因此当 1 0q   时，对任意整数n， 2nS S ，D 正确. 10．如图所示，点F 是抛物线 2 4y x 的焦点，点 ,A B分别在抛物线 2 4y x 及圆  2 21 16x y   的实线部分 上运动，且𝐴𝐵总是平行于 x轴，则 FAB 的周长的取值范围是（ ） A． 8,10 B．  5,8 C．  10,12 D．  8,10 【答案】D 【详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 过点A 作准线 1x   的垂线，垂足为E， 则 FAB 的周长为 4 4 5BAF AB BF AB AE BE x         ， 由   2 2 2 4 1 16 y x x y       可得 3 2 3 x y     ， 故3 5Bx  ，故 FAB 的周长的取值范围为  8,10 ， 故选：D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．准线为 1x   的抛物线的标准方程是 【答案】 2 4y x 【详解】由抛物线的准线为 1x   ，故 1 2 2 p p     ，则抛物线方程为 2 2 4y px x  . 所以抛物线标准方程为 2 4y x . 故答案为： 2 4y x 12．已知圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，则实数a的取值是 . 【答案】2 6 【详解】因为圆 2 2 1 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，所以圆 1C 与圆 2C 外切， 又圆 2 2 1 : 1C x y  的圆心为 1(0,0)C ，半径为 1 1r  ，       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     的圆心为 2 ( ,1)C a ，半径 为 2 4r  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 所以 2 1 1 4 5a     ，得到 2 24a  ，又 0a  ，所以 2 6a  ， 故答案为：2 6 . 13．已知数列 na 的前n项和公式为 3 2nnS   ，则 1a  ；数列 na 的通项公式 na  . 【答案】 1； 1 1, 1 2 3 , 2, Nn n n n       【详解】在 3 2nnS   中，令 1n  中，得 1 1 1 3 2 1a S    ； 当 2, Nn n   时， 1 11 3 2 3 2 2 3 n n n n n na S S           ，显然 1 1a  不适合， 因此数列 na 的通项公式 1 1, 1 2 3 , 2, Nn n n a n n        ， 故答案为：1； 1 1, 1 2 3 , 2, Nn n n n       14．设O为原点，双曲线 2 2: 1 3 y C x   的右焦点为F ，点 P在C的右支上．则C的渐近线方程是 ； | | OP OF OP     的最大值是 ． 【答案】 3y x  2 【详解】由 2 2: 1 3 y C x   可得 1a  ， 3b  ，故 2 2 2c a b   ，  2,0F ， 则其渐近线方程为 3 3 1 y x x    ； 设   , 1P m n m  ，则  ,OP m n  ，  2,0OF   ， 2 2 2 | | OP OF m OP m n       ，由点 P在双曲线上，故 2 2 1 3 n m   ，即  2 23 1n m  ， 故   2 22 2 2 2 2 2 4 4 33| | 1 OP OF m m m mOP m n m m           2 3 1 4 3m    ，由 1m  ，故 2 3 3 1 1 2 4 3 4 3| | OP OF mOP           . 故答案为： 3y x  ；2 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 15．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点M ，N 分别在线 段 1AD 和 1 1BC 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的有 ①．MN 的最小值为 2 ②．四面体NMBC的体积为 4 3 ③．有且仅有一条直线MN 与 1AD 垂直 ④．存在点 ,M N ，使 MBN△ 为等边三角形 【答案】①②④ 【详解】对于①： 因为 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体， 所以 1 1C D 平面 1 1ADD A， 1 1C D 平面 1 1BCC B ， 又因为 1AD 平面 1 1ADD A， 1 1BC 平面 1 1BCC B ， 所以 1 1 1C D AD ， 1 1 1 1C D BC ，即 1 1C D 是 1AD 与 1 1BC 的公垂线段， 因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离， 所以当 ,M N 分别与 1 1,D C 重合时，MN 最短为 2，故①正确； 对于②： 因为 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体， 所以平面 1 1ADD A∥平面 1 1BCC B ，且 1AD 平面 1 1ADD A， 所以 1AD ∥平面 NBC， 可知，当点M 在 1AD 上运动时，点M 到平面 NBC的距离不变，距离 2h  ， 由 1 1BC BC∥ 可知，当点N 在 1 1BC 上运动时，N 到BC的距离不变， 所以 NBC 的面积不变， 所以 1 1 1 4 2 2 2 3 3 2 3NBM NBC C V S h        ，所以②正确； 对于③： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 当 ,M N 分别与 1 1,D C 重合时， 1MN AD ； 当M 为 1AD 中点，N 与 1B 重合时， 1MN AD ，所以③错误； 对于④：如图以点D为原点，以 1, ,DA DC DD 所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 设 1 2DM  (0 2)  ， 1 (0 2)C N t t   ， 则  , 0,2M   ，  , 2, 2N t ，  1 2, 2,2B ，  2,2,0B ， 2 2 2(2 ) 4 (2 )MB       ， 2 24 (2 )BN t   ， 2 2 2( ) 4MN t     ， 因为 MBN△ 为等边三角形， 由 2 2MB MN ， 得 2 2 2 2(2 ) 4 (2 ) ( ) 4t           ，得8 8 2 t    ，即 4 4 t     ， 由 2 2BN MB ，得 2 2 24 (2 ) (2 ) 4 (2 )t         ， 则 2 24 42 2(2 )           ，即 2 2(2( 2) 0)   ，解得 2  或 2  ， 即 2 4 2 2t      或 2 2t     ，故④正确； 故选：①②④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 三、解答题：本题共 5 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题 14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 平面 ABCD， 2PA AB  ． (1)求证： / /AD 平面PBC ； (2)求直线BD平面 PCD夹角的正弦值； (3)求点 B到平面 PCD的距离． 【详解】（1）因为底面 ABCD为正方形，所以 / /AD BC，...............................2 分 因为 AD 平面PBC ， BC 平面PBC ，...............................3 分 所以 / /AD 平面PBC ；...............................4 分 （2）因为PA 平面 ABCD， ,AB AD 平面 ABCD， 所以 ,PA AB PA AD  ，...............................5 分 以A 为坐标原点， , ,AB AD AP所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，        2,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 2,2,0B D P C ，...............................6 分 设平面 PCD的法向量为?⃗? = (𝑥, 𝑦, 𝑧)， 则         , , 2,2, 2 2 2 2 0 , , 0,2, 2 2 2 0 m PC x y z x y z m PD x y z y z                    ，...............................7 分 令 1y  ，则 1, 0z x  ，则  0,1,1m  ，...............................8 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 直线BD平面 PCD夹角的正弦值为    2, 2,0 0,1,1 1 cos , 24 4 1 1 BD m BD m BD m               ；...............................10 分 （3）由（2）知，平面 PCD的法向量为  0,1,1m  ，...............................11 分 点 B到平面 PCD的距离为    0,2,0 0,1,1 2 2 1 1 2 BC m m          ................................14 分 17．（本小题 14 分）已知 na 是各项均为正数的等比数列， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 33a 成等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 na n 的前n项和 nS ． 【详解】（1）设等比数列 na 的公比为 0q  ，且 1 1a  ， 因为 1a ， 2a ， 33a 成等差数列，则 1 322 3aa a  ，...............................4 分 即 22 1 3q q  ，解得 1 3 q  或 1q   （舍去），...............................6 分 所以 na 的通项公式为 1 1 1 1 1 3 3 n n n a          ................................8 分 （2）由（1）可知： 1 1 3n n a n n   ，...............................10 分 则   1 1 1 1 1 1 2 3 3 9 3n n S n                           1 1 1 1 1 1 2 3 3 9 3n n                   1 1 1 13 13 1 1 2 2 3 21 3 n nn n n n                    ，...............................13 分 所以  13 1 1 2 3 2 n n n n S             ................................14 分 18．（本小题 13 分）已知圆C经过点  2,3A  和  0,1B ，且圆心C在直线 1 0x y   上. (1)求圆C的方程； (2)过点  1,3P  的直线 l与圆C相交于M ，N 两点，若 2 3MN  ，求直线 l的方程. 【详解】（1）直线 AB的斜率为 3 1 1 2 0      ，线段 AB的中点为  1,2 ，...............................2 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 线段 AB的中垂线方程为  2 1y x    ，即 3 0x y   ，..............................4 分 联立 1 0 3 0 x y x y        ，解得 2 1 x y     ，..............................6 分 所以圆心  2,1C  ，半径    2 22 0 1 1 2r BC       ，...............................7 分 故圆C的方程为    2 22 1 4x y    ；...............................8 分 （2）设圆心C到直线 l的距离为d， 由 2 22 2 3MN r d   ，解得 1d  ，...............................9 分 当直线 l的斜率不存在时，其方程为 = 1x  ，满足条件； 当直线 l的斜率存在时，设其斜率为 k， 直线 l的方程为  3 1y k x   ，即 3 0kx y k    ，...............................10 分 由 2 2 1 3 1 1 k k d k        ，解得 3 4 k  ，故直线 l的方程为3 4 15 0x y   ................................12 分 综上，直线 l的方程为3 4 15 0x y   或 1 0x   ................................13 分 19．（本小题 14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，四边形 1 1AAC C是边长为 4 的正方形.再从条件①､条 件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证： AB 平面 1 1AAC C； (2)求直线 1BC 与平面 1ABC所成角的正弦值； (3)设M 是 1 1AC 的中点，棱 1BB 上是否存在点G，使得MG∥平面 1ABC？若存在，求线段BG的长；若不存 在，说明理由. 条件①： 1 2 5BC BA  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 条件②： 1 1BC AC ； 条件③：平面 ABC 平面 1 1AAC C . 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 【详解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出 AB边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为 1 1BC AC ，又四边形 1 1AAC C是边长为 4 的正方形，所以 1 1AC AC ， 1 1 1AC BC C  ， 1AC 平面 1,ABC 1BC 平面 1,ABC 所以 1AC 平面 1,ABC 又 AB 平面 1,ABC 所以 1AC AB ，选①②无法 证明 AB 平面 1 1AAC C； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面 ABC 平面 1 1AAC C，平面 ABC 平面 1 1AAC C AC ，四边形 1 1AAC C是边长为 4 的正方形，所以 1AA AC ，所以 1AA 平面 ABC，...............................2 分 又因为 AB 平面 ABC，所以 1AA AB ， 1 2 5BC BA  ，所以 2AB  ，...............................3 分 又因为 2 2 21AB AA BC  ，所以 AB AC ， AC 平面 ABC， 1AA AC A ，...............................49 分 所以 AB 平面 1 1AAC C；...............................5 分 （2）由（1）知 1, ,AB AA AC两两垂直，故以 AB方向为 x轴， 1AA 方向为 y 轴， AC方向为 z轴，建立空间 直角坐标系，则        1 12,0,0 , 0,4,0 , 0,0,4 , 0,4,4B A C C ，...............................6 分 故  1 2,4,4BC    ，    1 2,4,0 , 2,0,4BA BC      ，设平面 1ABC的方向量为  , ,n x y z  ， 则 1 0 0 n BA n BC         ，即 2 0 2 0 x y x z      ，...............................8 分 令 2x  ，得 1y z  ，故  2,1,1n   ，设直线 1BC 与平面 1ABC所成角为 ， 则 1 4 6 sin cos , 96 6 BC n      ，...............................9 分 故直线 1BC 与平面 1ABC所成角的正弦值为 6 9 ；...............................10 分 （3）假设存在设点G，使得MG∥平面 1ABC，则    2, ,0 , 0,2G m m ， 因为MG∥平面 1ABC，所以MG n   ，  0,4,2M ，...............................11 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 所以  2, 4, 2MG m    ， 4 4 2 0MG n m        ，...............................13 分 解得 2m  ，故  2, 2,0G ， 2BG  ， 所以存在点G，G为 1BB 中点，使得MG∥平面 1ABC，此时 2BG  ................................14 分 20．（本小题 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的左顶点为  3 0A  , ，右顶点为  3,0B ，椭圆上不同 于点 ,A B的一点 P满足 4 9PA PB k k   . (1)求椭圆C的方程； (2)过点  2,0 的直线 l交椭圆C于M N､ 两点，直线 AM BN､ 交于点Q，证明：点Q在定直线上. 【详解】（1）如图所示： 根据题意， 3a  ，设点 P的坐标为  0 0,x y ，由于点 P在椭圆上， 所以 2 2 0 0 2 1 9 x y b   ，得   2 2 02 0 9 9 x b y    ， 则  2 22 200 0 0 2 2 0 0 0 0 9 1 4 3 3 9 9 9 9 9PA PB x by y y b k k x x x x                ， 解得 2 4b  ，所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 9 4 x y   ................................5 分 （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 设点    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，可设直线MN 的方程为： 2x my  ，...............................6 分 联立 2 2 2 1 9 4 x my x y       ，得  2 24 9 16 20 0m y my    ，...............................7 分 由根与系数的关系， 1 2 1 22 2 16 20 , 4 9 4 9 m y y y y m m        ，...............................8 分 直线 AM 的方程：   1 1 3 3 x y y x    ，①...............................9 分 直线BN 的方程：   2 2 3 3 x y y x    ，②...............................10 分 ① ②得，         1 2 1 2 21 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 33 53 3 3 3 2 3 x y my y yx y y my y yx x x y x y y my y y my y y               ...............................11 分 因为  1 2 1 2 5 4 my y y y  ，...............................12 分 所以     1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 5 553 4 5 53 4 y y ymy y yx x my y y y y y          ，解得 9 2 x  ，...............................14 分 因此，点Q在定直线 9 2 x  上................................15 分 解法二（齐次化）： 由题意如图所示： 设不过点  3,0B 的直线MN 的方程为：  3 1m x ny   ，...............................6 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 由于直线MN 过(2,0)，所以 1m   ................................79 分 设 1 2 1 2 3 1 2 , , 3 3BM BN AM y y k k k k k k x x        ，点  0 0,Q x y ................................8 分 椭圆C的方程转化为，  2 24( 3) 24 3 9 0x x y     ，代入直线MN 的方程得，  2 220( 3) 24 3 9 0x n x y y      ，即 2 9 24 20 0 3 3 y y n x x              ，...............................10 分 即 29 24 20 0k nk   ，由根与系数的关系， 1 2 20 9 k k   ，...............................12 分 又由题意可得： 1 3 4 9 k k   ，所以两式相除得： 2 35k k ，...............................13 分 即 0 0 0 0 5 3 3 y y x x    ，解得 0 9 2 x  ，...............................14 分 所以点Q在定直线 9 2 x  上................................15 分 21．（本小题 15 分）设 rN 且 3r  ，数列 na 的各项均为整数，其前 n项和为 nS 、定义：若 na 满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列，从第 1r  项起往后依次成公比为 2 的等比数列，则称 na 为“r关联数列”； (1)若 na 为“3 关联数列”，求 1a ； (2)若 na 为“6 关联数列”，证明：对任意正整数 n，都有 6 6n na S a S ； (3)设 k、m为正整数且 k m ．若 na 为“r关联数列”，且 1 10a   ，是否存在 k、m，使得 k mS S ?若存在， 求出所有满足条件的 k、m；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为数列 na 为“3 关联数列”，所以前 3 项依次成公差为 1 的等差数列，从第 2 项起往后依次 成公比为 2 的等比数列，...............................2 分 则 2 1 3 11, 2,a a a a    而且 3 22a a ，解得 1 0a  ...............................4 分 （2）因为数列 na 为“6 关联数列”，所以前 6 项依次成公差为 1 的等差数列，从第 5 项起往后依次成公比 为 2 的等比数列， 则 5 1 6 14, 5,a a a a    而且 6 52a a ，解得 1 3a   ， 根据等差，等比数列通项公式可得： 5 4, 6 2 , 7n n n n a n      ，...............................5 分 所以数列 na 前十项列举为： 3, 2, 1,0,1,2,4,8,16,32,   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 则数列 nS 前十项列举为： 3, 5, 6, 6, 5, 3,1,9,25,57,       所以数列 n na S 前十项列举为：9,10,6,0, 5, 6,4,72,400,1824,   通过上述列举可猜想对任意正整数 n，都有 6 6n na S a S ，...............................7 分 证明：当 10n  时，由数列 n na S 列举可得 6 6n na S a S ， 当 10n≥ 时，     4 5 51 23 2 1 0 1 2 4 8 16 32 2 6 7 2 1 2 n n n nS                         ， 所以  5 52 7 2n nn na S    当 10n≥ 时， 5 52 2 32 7n    ，所以  5 52 7 2 0nn nna S     ，而 6 6 6a S   ， 所以仍然满足 6 6n na S a S ， 综上可得：对任意正整数 n，都有 6 6n na S a S ；...............................9 分 （3）由数列 na 为“r关联数列”，且 1 10a   ，则有    1 10 2 1 12 , 10 1 1 11 ,r ra r r a r r                 且 12r ra a  ，解得 13r  ，所以数列 na 通项公式为： 12 11, 13 2 , 14n n n n a n      ，...............................10 分 而当 13n  时，         210 ( 11) 21 10 9 8 11 2 2 2n S n n n n n                ， 当 14n  时，     11 12 11 210 9 8 0 1 2 4 2 55 56 2 1 2n n n nS                        ， 所以 2 11 21 , 13 2 2 2 56, 14 n n n n n S n        ，...............................11 分 当 13n  时，由二次函数对称性计算可得： 10 11 9 12 13 855, 54, 52,S S S S S S         当 14n  时， 156 2nnS   是一个递增数列，所以要使得 k mS S ， k m ， 则有 13, 14k m  ，即满足 2 1121 2 56 2 2 mk k    ， 变形得： 10 22 21 112m k k    ，...............................12 分 当 2 1014, 21 112 2 16mm k k      ， *Nk ； 当 2 1015, 21 112 2 32mm k k      ， *5 Nk   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 当 2 1016, 21 112 2 64mm k k      ， *Nk ； 而当 17m  时， 112 56 64 56 8 0mmS       ， 而当 13k  时， ( 21) 0 2k k k S    ，所以 17m  ，不可能满足 k mS S ， 综合上述使得 k mS S 的 k、m为 5 15 k m    ， 10 11 k m    ， 9 12 k m    ， 8 13 k m    ...............................15 分 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A D D B B C D D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．； 14．； 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分） 【详解】（1）因为底面为正方形，所以，...............................2分 因为平面，平面，...............................3分 所以平面；...............................4分 （2）因为平面，平面， 所以，...............................5分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，...............................6分 设平面的法向量为， 则，...............................7分 令，则，则，...............................8分    直线平面夹角的正弦值为；...............................10分 （3）由（2）知，平面的法向量为，...............................11分 点到平面的距离为................................14分 17．（本小题14分） 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则，...............................4分 即，解得或（舍去），...............................6分 所以的通项公式为................................8分 （2）由（1）可知：，...............................10分 则 ，...............................13分 所以................................14分 18．（本小题13分） 【详解】（1）直线的斜率为，线段的中点为，...............................2分 线段的中垂线方程为，即，..............................4分 联立，解得，..............................6分 所以圆心，半径，...............................7分 故圆的方程为；...............................8分 （2）设圆心到直线的距离为， 由，解得，...............................9分 当直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 直线的方程为，即，...............................10分 由，解得，故直线的方程为................................12分 综上，直线的方程为或................................13分 19．（本小题14分） 【详解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面，...............................2分 又因为平面，所以，，所以，...............................3分 又因为，所以，平面，，...............................49分 所以平面；...............................5分 （2） 由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，则，...............................6分 故，，设平面的方向量为， 则，即，...............................8分 令，得，故，设直线与平面所成角为， 则，...............................9分 故直线与平面所成角的正弦值为；...............................10分 （3） 假设存在设点，使得平面，则， 因为平面，所以，，...............................11分 所以，，...............................13分 解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时................................14分 20．（本小题15分） 【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为................................5分 （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示：    设点，可设直线的方程为：，...............................6分 联立，得，...............................7分 由根与系数的关系，，...............................8分 直线的方程：，①...............................9分 直线的方程：，②...............................10分 ①②得，...............................11分 因为，...............................12分 所以，解得，...............................14分 因此，点在定直线上................................15分 解法二（齐次化）： 由题意如图所示：    设不过点的直线的方程为：，...............................6分 由于直线过，所以................................79分 设，点................................8分 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即，...............................10分 即，由根与系数的关系，，...............................12分 又由题意可得：，所以两式相除得：，...............................13分 即，解得，...............................14分 所以点在定直线上................................15分 21．（本小题15分） 【详解】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列，...............................2分 则而且，解得...............................4分 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：，...............................5分 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有，...............................7分 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有；...............................9分 （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：，...............................10分 而当时，， 当时， ， 所以，...............................11分 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：，...............................12分 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，，...............................15分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 18．（13 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知经过点    1,2 , , 4A B m 的直线 l的斜率为 2，则m的值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点    0,1, 2 , 2,3,1A B  ，则 A B､ 两点间的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．已知直线 0x y  与圆 2 2: ( 2) 8C x y   相交于 ,A B两点，则 AB （ ） A．2 6 B．4 C． 6 D．2 4．已知直线 l的一个方向向量为 (2, 3,1)a    ，平面 的一个法向量为 (3,1, 3)n    ，则直线 l与平面 的关 系是（ ） A． l P  B． l  C． / /l  D． l  或 / /l  5．“ 0a  ”是“直线 2 1 0x ay   与直线 0( 1) 1a x ay    平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点 (2,0)A 与 (0,4)B 关于直线 0ax y b   对称，则a b （ ） A． 4 B． 2 C．0 D．3 7．如图，空间四边形OABC中， , ,OA a OB b OC c       ，点M 在OA  上，且满足 2OM MA   ，点N 为BC的 中点，则MN   （ ） A． 1 2 1 2 3 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 1 1 1 2 2 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    8．已知离心率为 3 的双曲线 2 2 2 1 y x m   与椭圆 2 2 2 1 12 x y n   有相同的焦点，则 2 2m n （ ） A．13 B．21 C．29 D．31 9．已知无穷等比数列 na 的前n项和为 nS ，且 3 5 0a a  ，则下列说法正确的是（ ） A． nS 是递增数列 B． nS 是递减数列 C． nS 一定有最大值 D． nS 一定有最小值 10．如图所示，点F 是抛物线 2 4y x 的焦点，点 ,A B分别在抛物线 2 4y x 及圆  2 21 16x y   的实线部 分上运动，且𝐴𝐵总是平行于 x轴，则 FAB 的周长的取值范围是（ ） A． 8,10 B．  5,8 C．  10,12 D．  8,10 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分． 11．准线为 1x   的抛物线的标准方程是 12．已知圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，则实数a的取值是 . 13．已知数列 na 的前n项和公式为 3 2nnS   ，则 1a  ；数列 na 的通项公式 na  . 14．设O为原点，双曲线 2 2: 1 3 y C x   的右焦点为F ，点 P在C的右支上．则C的渐近线方程是 ； | | OP OF OP     的最大值是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 15．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点M ，N 分别在线段 1AD 和 1 1BC 上．给出下列四个 结论：其中所有正确结论的有 ①．MN的最小值为 2 ②．四面体NMBC的体积为 4 3 ③．有且仅有一条直线MN与 1AD 垂直 ④．存在点 ,M N ，使 MBN△ 为等边三角形 三、解答题：本题共 5小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 16．（本小题 14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 平面 ABCD， 2PA AB  ． (1)求证： / /AD 平面PBC ； (2)求直线BD平面 PCD夹角的正弦值； (3)求点 B到平面 PCD的距离． 17．（本小题 14 分）已知 na 是各项均为正数的等比数列， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 33a 成等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 na n 的前n项和 nS ． 18．（本小题 13 分）已知圆C经过点  2,3A  和  0,1B ，且圆心C在直线 1 0x y   上. (1)求圆C的方程； (2)过点  1,3P  的直线 l与圆C相交于M ，N 两点，若 2 3MN  ，求直线 l的方程. 19．（本小题 14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，四边形 1 1AAC C是边长为 4 的正方形.再从条件①､条 件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证： AB 平面 1 1AAC C； (2)求直线 1BC 与平面 1ABC所成角的正弦值； (3)设M 是 1 1AC 的中点，棱 1BB 上是否存在点G，使得MG∥平面 1ABC？若存在，求线段BG的长；若不 存在，说明理由. 条件①： 1 2 5BC BA  ； 条件②： 1 1BC AC ； 条件③：平面 ABC 平面 1 1AAC C . 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 20．（本小题 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的左顶点为  3 0A  , ，右顶点为  3,0B ，椭圆上不同 于点 ,A B的一点 P满足 4 9PA PB k k   . (1)求椭圆C的方程； (2)过点  2,0 的直线 l交椭圆C于M N､ 两点，直线 AM BN､ 交于点Q，证明：点Q在定直线上. 21．（本小题 15 分）设 rN 且 3r  ，数列 na 的各项均为整数，其前 n项和为 nS 、定义：若 na 满足前 r项依次成公差为 1 的等差数列，从第 1r  项起往后依次成公比为 2 的等比数列，则称 na 为“r关联数列”； (1)若 na 为“3 关联数列”，求 1a ； (2)若 na 为“6 关联数列”，证明：对任意正整数 n，都有 6 6n na S a S ； (3)设 k、m为正整数且 k m ．若 na 为“r关联数列”，且 1 10a   ，是否存在 k、m，使得 k mS S ?若存在， 求出所有满足条件的 k、m；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 7．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 9．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 10．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．准线为的抛物线的标准方程是 12．已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 13．已知数列的前项和公式为，则 ；数列的通项公式 . 14．设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的最大值是 ． 15．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的有 ①．的最小值为2 ②．四面体的体积为 ③．有且仅有一条直线与垂直 ④．存在点，使为等边三角形 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17．（本小题14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（本小题13分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 19．（本小题14分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 20．（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 21．（本小题15分）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部+选择性必修第二册《数列》。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 7．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 9．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 10．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．准线为的抛物线的标准方程是 12．已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 13．已知数列的前项和公式为，则 ；数列的通项公式 . 14．设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的最大值是 ． 15．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的有 ①．的最小值为2 ②．四面体的体积为 ③．有且仅有一条直线与垂直 ④．存在点，使为等边三角形 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17．（本小题14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（本小题13分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 19．（本小题14分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 20．（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 21．（本小题15分）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$