专题10 平行线中的拐点模型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题10 平行线中的拐点模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、平行线中含一个拐点问题 4 类型二、平行线中含两个拐点问题 9 类型三、平行线中含多个拐点问题 15 类型四、平行线中在生活上含拐点问题 19 压轴能力测评（10题） 23 解题知识必备 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型4：羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 压轴题型讲练 类型一、平行线中含一个拐点问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 类型二、平行线中含两个拐点问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴ ∴，，， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴ 由①得： ∴ ∵比大， ∴, 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【变式训练2】（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键． 【变式训练3】（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 类型三、平行线中含多个拐点问题 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于． 故答案为：． 类型四、平行线中在生活上含拐点问题 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【答案】/30度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，如图，过点E作，则，再求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行 (2)30° 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行公理推论得到即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过E点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行； （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式训练2】（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答．本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选． 二、填空题 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于． 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察图形：       已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度． 【答案】180，360，． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补解题即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴； 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴；    同理可得：； 故答案为：180，360，． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键 （1）通过平行线性质可得，再代入，，可求即可； （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ， ∵，， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； 过点作 ∴， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； 过点作， ， ， ， ； 综上所述：或． 7．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 8．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及规律的探索，解题的关键是掌握平行线的性质，正确作出辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补． （1）过点P作，利用平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质得到，，，进而求解即可； （3）利用（1）（2）中的结论，找出规律，求解即可； （4）利用（1）（2）中的方法求出和之间有一个点和2个点时和，的关系，进而找到规律求解即可． 【详解】如图所示，过点P作， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，过点作，过点作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴； （3）由（1）（2）可得， 当和之间有一个点P时，； 当和之间有两个点，时，； ∴当和之间有n个点时， ； （4）当和之间有一个点P时，如图所示， 同（1）可得，； 和之间有两个点，时，如图所示， 同（2）可得，； ∴若内部有n个点时， ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ． (2)如图2，、、之间的数量关系为 ． (3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧． ①若，求的度数． ②猜想规律：与的数量关系可表示为 ． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系以及角平分线的有关计算，掌握相关结论，学会举一反三是解题关键． （1）作，根据、即可求解； （2）作，根据、即可求解； （3）结合（1）（2）的结论即可求解； 【详解】（1）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴、 ∴、 故答案为： （2）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴、 ∴ 即： 故答案为： （3）解：作，，如图所示： ∵， ∴， 若， 由（1）可得： ∴ ∵，分别平分和， ∴ 由（2）可得： 即： ∴ 由（1）可得： ∴ ∵，分别平分和， ∴ 由（2）可得： 即： ∴ 故答案为： 由②得： ∵与的角平分线交于点， ∴… 依此类推：，，…., ∴ 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平行线中的拐点模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、平行线中含一个拐点问题 4 类型二、平行线中含两个拐点问题 9 类型三、平行线中含多个拐点问题 15 类型四、平行线中在生活上含拐点问题 19 压轴能力测评（10题） 23 解题知识必备 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型4：羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 压轴题型讲练 类型一、平行线中含一个拐点问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 类型二、平行线中含两个拐点问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【变式训练1】①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【变式训练2】（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【变式训练3】（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 类型三、平行线中含多个拐点问题 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 类型四、平行线中在生活上含拐点问题 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：，，，小明马上运用已学的数学知识得出了的度数，聪明的你一定知道 ． 【变式训练1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 【变式训练2】（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（    ）     A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 三、解答题 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察图形：       已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度． 6．（22-23七年级上·吉林长春·期末）（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 7．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 8．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ． (2)如图2，、、之间的数量关系为 ． (3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧． ①若，求的度数． ②猜想规律：与的数量关系可表示为 ． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$